Voir la source de Relation d'ordre

{{Homon|Ordre}}

Une '''relation d'ordre''' dans un [[ensemble]] est une [[relation binaire]] dans cet ensemble qui permet de comparer ses éléments de manière cohérente. Un ensemble muni d'une relation d'ordre est un ensemble ordonné. On dit aussi que la relation définit sur cet ensemble une [[Structure (mathématiques)|structure]] d'ordre ou tout simplement un ordre.

== Définitions et exemples ==
=== Relation d'ordre ===
Une relation d'ordre est une [[relation binaire]] [[Relation réflexive|réflexive]], [[Relation antisymétrique|antisymétrique]] et [[Relation transitive|transitive]] :
soit ''E'' un ensemble ; une [[Relation binaire#Définition formelle|relation interne]] ≤ sur ''E'' est une relation d'ordre si pour tous ''x'', ''y'' et ''z'' éléments de ''E'' :
* ''x'' ≤ ''x'' (réflexivité)
* (''x'' ≤ ''y'' et ''y'' ≤ ''x'') ⇒ ''x'' = ''y'' (antisymétrie)
* (''x'' ≤ ''y'' et ''y'' ≤ ''z'') ⇒ ''x'' ≤ ''z'' (transitivité)
La forme même de ces axiomes permet d'affirmer que ces derniers sont également vérifiés par la [[Relation binaire#Réciproque|relation binaire réciproque]] ≥, définie par
:''y'' ≥ ''x'' si et seulement si ''x'' ≤ ''y''.
À toute relation d'ordre est donc associée une relation d'ordre opposée sur le même ensemble ; les formules ''x'' ≤ ''y'' et ''y'' ≥ ''x'' se lisent indifféremment : « ''x'' est inférieur à ''y'' », ou « ''x'' est plus petit que ''y'' », ou « ''y'' est supérieur à ''x'' », ou « ''y'' est plus grand que ''x'' » (ou parfois « ''x'' est au plus égal à ''y'' », ou « ''y'' est au moins égal à ''x''»)<ref>{{Bourbaki-Ensembles}}, {{p.|III.4}}.</ref>.

On associe également à toute relation d'ordre ≤, une relation dite d’''ordre strict'' notée alors < (qui n'est pas une relation d'ordre au sens défini précédemment puisque la réflexivité n'est pas satisfaite), qui est la restriction de la relation d'ordre aux couples d'éléments distincts :
:''x'' < ''y'' si et seulement si ''x'' ≤ ''y'' et ''x'' ≠ ''y''.
La formule ''x'' < ''y'' s'écrit aussi ''y'' > ''x'', et se lit : « ''x'' est strictement inférieur à ''y'' », ou « ''x'' est strictement plus petit que ''y'' », « ''y'' est strictement supérieur à ''x'' », ou « ''y'' est strictement plus grand que ''x'' »<ref>{{Harvsp|Bourbaki|p=III.5}}.</ref>.

Pour éviter toute confusion, une relation d'ordre au sens de la définition générale (réflexive et antisymétrique) est parfois qualifiée d’''ordre ''large''.

Certaines relations d'ordre sont des [[Relation binaire#Relation totale|relations ''totales'']], c'est-à-dire que deux éléments de ''E'' sont toujours ''comparables'' : pour tous ''x'', ''y'' de ''E'' :
: ''x'' ≤ ''y'' ou ''y'' ≤ ''x''.
On dit alors que ≤ est une relation d'''[[ordre total]]'', et que l'ensemble ''E'' est ''totalement ordonné'' par cette relation. Une relation d'ordre sur ''E'' est dite ''partielle'' si elle n'est pas totale, et ''E'' est alors ''partiellement ordonné''. Il est à noter qu'en anglais, on désigne par ''[[Ensemble_partiellement_ordonné|ordre partiel]]'' un ordre quelconque, qui peut donc être total. Cette terminologie est parfois également utilisée en français.

=== Ensemble ordonné ===
Un ensemble ordonné est un ensemble muni d'une relation d'ordre. Si un ensemble ordonné est fini, il peut être représenté graphiquement sous la forme d'un [[diagramme de Hasse]], de façon similaire à la représentation habituelle d'un [[théorie des graphes|graphe]] sur papier, ce qui peut permettre de travailler plus aisément dessus. S'il est infini, on peut dessiner une partie de son diagramme de Hasse.

=== Exemples et contre-exemples ===
[[Image:Hasse diagram of powerset of 3.svg|vignette|Fig. 1. Diagramme de Hasse de l'inclusion, sur l'ensemble des parties d'un ensemble à 3 éléments.]]
[[Image:Hasse diagram divisibility relation 0 to 9.svg|vignette|Fig. 2. Diagramme de Hasse de la relation de divisibilité pour les entiers entre 0 et 9.]]

* La relation « est inférieur (ou égal) à » est une relation d'ordre total sur l'ensemble des entiers ([[Entier naturel|naturels]] ou [[Entier relatif|relatifs]]), sur l'ensemble des [[Nombre rationnel|rationnels]] ou l'ensemble des [[Nombre réel|réels]].
* Étant donné un ensemble ordonné (''E'', ≤), l'[[ordre lexicographique]] sur l'ensemble des [[n-uplet|''n''-uplets]] d'éléments de ''E'' est l'« ordre du dictionnaire », plus simple à définir par [[#Relation d'ordre strict|son ordre strict associé]] : (''x''{{ind|1}}, … , ''x{{ind|n}}'') < (''y''{{ind|1}}, … , ''y{{ind|n}}'') si ''x{{ind|i}} = y{{ind|i}}'' pour tous les indices ''i'' jusqu'à un certain ''k'' < ''n'' et ''x''{{ind|''k''+1}} < ''y''{{ind|''k''+1}}.
* La relation d'inclusion, « est un [[sous-ensemble]] de » ou « est contenu dans », est une relation d'ordre sur l'[[ensemble des parties d'un ensemble|ensemble ''E'' des parties d'un ensemble]] ''X''. Si ''X'' est fini, ''E'' est fini (plus précisément si ''X'' contient ''n'' éléments, ''E'' en contient 2{{exp|''n''}}). La figure 1 représente le [[diagramme de Hasse]] de (''E'', ⊂) pour ''n'' = 3.
* Toute restriction à une partie ''F'' de ''E'' d'un ordre sur ''E'' est un ordre sur ''F''. En particulier (d'après le point précédent) : sur n'importe quel ensemble ''F'' de parties d'un ensemble ''X'', l'inclusion est une relation d'ordre — cet « exemple » est en fait générique : tout ordre est [[#Applications monotones|isomorphe]] à un ordre de cette forme<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Aleksandr Gennadievich Kurosh|A. G. Kurosh]]|titre=Lectures in General Algebra|éditeur=[[Pergamon Press]]|année=1965|passage=11|lire en ligne={{Google Livres|wHXiBQAAQBAJ|page=11}}}}.</ref> ;
* La relation de [[Divisibilité#Dans l'ensemble des entiers naturels|divisibilité est une relation d'ordre partiel sur les entiers naturels]]. La figure 2 représente le diagramme de Hasse de sa restriction aux entiers de 0 à 9.
* L'ordre d'inclusion (cf. ci-dessus), sur l'ensemble des parties d'un [[produit cartésien]] ''U''×''V'', est la [[Relation binaire#Définition formelle|finesse relative des relations binaires]] de ''U'' dans ''V''. Pour ''V'' = ''U'', cette relation permet par exemple (par restriction, cf. ci-dessus) de comparer entre elles :
** les [[Relation d'équivalence|relations d'équivalence]] sur ''U'' (ou, ce qui revient au même : les [[Partition (mathématiques)|partitions]] de ''U'') ;
** les relations d'ordre sur ''U''.
* <span id="ordreproduit">Étant donné une [[Famille (mathématiques)|famille]] (''E{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} d'ensembles ordonnés, l'ordre naturel sur l'[[Produit cartésien#Produit cartésien d'une famille d'ensembles|ensemble produit]] ∏{{ind|''i''∈''I''}}''E{{ind|i}}'' est l''''ordre produit'''</span>, défini par :{{Retrait|(''x{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} ≤ (''y{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} si et seulement si pour tout indice ''i'', ''x{{ind|i}}'' ≤ ''y{{ind|i}}''.}}Par exemple sur l'ensemble [[Exponentiation ensembliste|''E{{exp|I}}'']] des fonctions de ''I'' dans un ensemble ordonné ''E'', l'ordre produit est donné par : ''f'' ≤ ''g'' si pour tout ''i'' ∈ ''I'', ''f''(''i'') ≤ ''g''(''i''). Pour l'ordre produit sur [[Fonction réelle d'une variable réelle|ℝ{{exp|ℝ}}]], une fonction est plus petite qu'une autre si sa courbe est toujours en dessous de l'autre courbe.
* On peut généraliser l'ordre lexicographique (mentionné en début de liste) de la façon suivante<ref>{{Harvsp|Bourbaki|p=III.22-23}}.</ref> : si ''I'' est [[bon ordre|bien ordonné]], on définit un ordre sur ∏{{ind|''i''∈''I''}}''E{{ind|i}}'' par :{{retrait|(''x{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} < (''y{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} si et seulement s'il existe des indices ''i'' pour lesquels ''x{{ind|i}}'' ≠ ''y{{ind|i}}'' et si, pour le plus petit d'entre eux, on a ''x{{ind|i}}'' < ''y{{ind|i}}''.}}Si les ordres sur les ''E{{ind|i}}'' sont totaux, l'ordre lexicographique sur ∏{{ind|''i''∈''I''}}''E{{ind|i}}'' l'est aussi (mais pas en général l'ordre produit).
* Une [[#Préordre|relation de préordre]] n'est pas une relation d'ordre en général car il manque la propriété d'antisymétrie. Mais tout [[Relation d'équivalence#Structure quotient|quotient]] d'un préordre par la [[relation d'équivalence]] associée est un ordre.
* Une [[#Relation d'ordre strict|relation d'ordre strict]] sur un ensemble non vide n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas réflexive. Mais si < est un ordre strict sur ''E'', la relation « ''x'' < ''y'' ou ''x = y'' » est un ordre sur ''E''.
* Une [[Ordre cyclique|relation d'ordre cyclique]] n'est pas une relation d'ordre car c'est une [[relation ternaire]]. Mais les relations binaires obtenues en fixant l'un de ses trois arguments sont des relations d'ordre strict.
* Un [[arbre enraciné]] est un graphe orienté acyclique associé à une relation d'ordre partiel particulière, importante en informatique.

== Notions associées ==
=== Applications monotones ===
{{article détaillé|Fonction monotone}}

Si {{math|(''E'', ≤)}} et {{math|(''F'', ≼)}} sont deux ensembles ordonnés, une application {{math|''f''}} de {{math|''E''}} dans {{math|''F''}} est dite ''croissante'' (ou parfois croissante au sens large, ou isotone<ref name=Caspard73>{{Ouvrage|auteur1=Nathalie Caspard|auteur2=Bruno Leclerc|auteur3=Bernard Monjardet|titre=Ensembles ordonnés finis|sous-titre=concepts, résultats et usages|éditeur=Springer|année=2007|passage=73|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|m1CYIthyR3QC|page=73}}}}.</ref>) quand elle conserve l'ordre, ''décroissante'' (au sens large), ou antitone<ref name=Caspard73/> quand elle inverse celui-ci, c'est-à-dire que :
:{{math|''f''}} est croissante quand pour tous {{math|''x''}} et {{math|''y''}} de {{math|''E''}}, {{math|''x'' ≤ ''y'' ⇒ ''f''(''x'') ≼ ''f''(''y'')}} ;
:{{math|''f''}} est décroissante quand pour tous {{math|''x''}} et {{math|''y''}} de {{math|''E''}}, {{math|''x'' ≤ ''y'' ⇒ ''f''(''x'') ≽ ''f''(''y'')}}.

Elle est dite ''strictement croissante'' quand elle conserve l'ordre strict : pour tous {{math|''x''}} et {{math|''y''}} de {{math|''E''}}, {{math|''x'' < ''y'' ⇒ ''f''(''x'') ≺ ''f''(''y'')}},

et ''strictement décroissante'' quand elle l'inverse : pour tous {{math|''x''}} et {{math|''y''}} de {{math|''E''}}, {{math|''x'' < ''y'' ⇒ ''f''(''x'') ≻ ''f''(''y'')}}.

À noter que si une application croissante de {{math|(''E'', ≤)}} dans {{math|(''F'', ≼)}} est [[application injective|injective]] alors elle est strictement croissante, mais que la [[réciproque]] est fausse en général (elle est vraie cependant si l'ordre sur {{math|''E''}} est total)<ref>{{Harvsp|Bourbaki|p=III.7}} et III.14.</ref>.

Une application ''monotone'' ou monotone au sens large (resp. strictement monotone) est une application croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante).

La [[bijection réciproque]] d'une [[bijection]] croissante {{math|''f'' : (''E'', ≤) → (''F'', ≼)}} n'est pas nécessairement croissante (prendre par exemple<ref>[[Gustave Choquet]], ''Cours d'analyse'', 1966, {{p.|23}}.</ref> l'[[application identité]], de {{math|''E''}} = ℝ muni de l'ordre d'[[Égalité (mathématiques)|égalité]] dans {{math|''F''}} = ℝ muni de l'ordre usuel). Elle l'est cependant si ≤ est total (si {{math|''f''{{-1}}(''y''{{ind|1}}) ≥ ''f''{{-1}}(''y''{{ind|2}})}} alors, par croissance de ''{{math|f}}'', {{math|''y''{{ind|1}} ≽ ''y''{{ind|2}}}}. Donc par [[contraposée]] : si {{math|''y''{{ind|1}} ≺ ''y''{{ind|2}}}} et si ≤ est total alors {{math|''f''{{-1}}(''y''{{ind|1}}) < ''f''{{-1}}(''y''{{ind|2}})}}).

Un '''isomorphisme entre deux ensembles ordonnés''' {{math|(''E'', ≤)}} et {{math|(''F'', ≼)}} est une bijection {{math|''f''}} de {{math|''E''}} dans {{math|''F''}} qui est croissante et dont la réciproque est croissante, ce qui revient à dire que {{math|''f''}} est bijective et vérifie pour tous {{math|''x''}} et {{math|''y''}} de {{math|''E''}} :
: {{math|''x'' ≤ ''y'' ⇔ ''f''(''x'') ≼ ''f''(''y'')}}<ref name="Roman13">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Steven Roman|titre=Lattices and Ordered Sets|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2008|pages totales=305|passage=13|isbn=978-0-387-78900-2|lire en ligne={{Google Livres|NZN8aum26LgC|page=13}}}}.</ref>.

Un [[plongement]] d'ensembles ordonnés de {{math|(''E'', ≤)}} dans {{math|(''F'', ≼)}} est une application {{math|''f''}} de {{math|''E''}} dans {{math|''F''}} vérifiant pour tous {{math|''x''}} et {{math|''y''}} de {{math|''E''}} :
: {{math|''x'' ≤ ''y'' ⇔ ''f''(''x'') ≼ ''f''(''y'')}}
(une telle application est forcément [[Injection (mathématiques)|injective]]). Les isomorphismes d'ordres sont donc les plongements [[surjection|surjectifs]]<ref name="Roman13"/>.

Dans la [[théorie des catégories|catégorie]] des ensembles ordonnés, les [[morphisme]]s sont par définition les applications croissantes<ref>{{harvsp|Roman|2008|p=284}}.</ref>, et les [[isomorphisme]]s sont, par conséquent, ceux introduits ci-dessus.

=== Plus grand élément et élément maximal ===

Dans un ensemble ordonné ''E'', il n'existe pas forcément de [[Extremum|plus grand élément]]. Si ''E'' est fini, il contiendra (au moins) un [[élément maximal]]. Si ''E'' est un [[ensemble inductif]] infini, le [[lemme de Zorn]] garantit encore l'existence d'un élément maximal.

=== Relation d'ordre strict ===
[[#Relation d'ordre|On a vu qu]]'à une relation d'ordre ≤ sur un ensemble ''E'', on associait naturellement une relation < sur ''E'', qui est alors une '''[[relation d'ordre strict]]''', c'est-à-dire [[Relation antiréflexive|antiréflexive]] (''x'' < ''x'' n'est vrai pour aucun élément ''x'' de ''E'') et transitive.

Or toute relation d'ordre strict est [[Relation antisymétrique|antisymétrique]] et même [[Relation asymétrique|asymétrique]] (ce qui équivaut à : antisymétrique et antiréflexive), c'est-à-dire que pour tous ''x'' et ''y'' :
:''x'' < ''y'' ⇒ non (''y'' < ''x)''.

Par conséquent, réciproquement, à toute relation d'ordre strict < sur ''E'', on peut associer une relation d'ordre ≤ sur ''E'' en posant :
:''x'' ≤ ''y'' si et seulement si ''x'' < ''y'' ou ''x'' = ''y''.

On vérifie facilement qu'en mettant bout à bout ces deux constructions, à partir d'un ordre ou d'un ordre strict, on retrouve la relation de départ. Choisir l'une ou l'autre des axiomatisations n'a donc pas d'importance en soi.

Pour un ordre strict, la totalité s'exprime ainsi :
:∀ ''x'', ''y'' ∈ ''E'' ( ''x'' < ''y'' ou ''x'' = ''y'' ou ''y'' < ''x'' ).
et l'on dit alors que c'est une ''relation d'ordre strict total''<ref>Par exemple {{article|nom=Riguet|prénom=J.|titre=Relations binaires, fermetures, correspondances de Galois|revue=[[Société mathématique de France#Publications|Bull. Soc. Math. Fr.]]|volume=76|année=1948|pages=114-155|url= http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1948__76__114_0|p.=139}}.</ref>. Il n'y a pas de confusion possible avec la notion de [[Relation binaire#Relation totale|relation totale]], car les relations d'ordre strict sont antiréflexives, tandis que les relations totales sont réflexives.

Pour un ordre strict total, les trois possibilités — ''x'' < ''y'', ''x'' = ''y'' et ''y'' < ''x'' — sont exclusives, et l'on parle parfois, à la suite de [[Georg Cantor|Cantor]], de ''propriété de [[Trichotomie (mathématiques)|trichotomie]]''.

=== Relation acyclique ===
La [[clôture réflexive transitive]] d'une relation ''R'' est une relation d'ordre — ou encore : la [[clôture transitive]] de ''R'' est antisymétrique — si et seulement si ''R'' est [[relation acyclique|acyclique]].

La clôture transitive de ''R'' est un ordre strict si et seulement si ''R'' est strictement acyclique, c'est-à-dire si son [[Graphe orienté acyclique|graphe est acyclique]].

=== Négation (ou complémentaire) d'une relation d'ordre ===
La négation d'une relation binaire <math>R</math> définie sur un ensemble <math>A</math> est la relation de graphe le [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] de celui de <math>R</math> dans <math>A \times A</math>. On la note <math>\not\! R</math>.
Dit autrement, deux éléments sont en relation par <math>\not\! R</math> si et seulement s'ils ne le sont pas par <math>R</math>.

Dire qu'un ordre est total, c'est dire que sa négation est l'ordre strict inverse. C’est-à-dire qu'il y a équivalence pour un ordre <math>\leqslant</math> entre :
* <math>\leqslant</math> est total ;
* <math>x \not\leqslant y \iff y < x</math>.

Par contre, dès qu'il existe deux éléments distincts non comparables par un ordre, sa négation ne peut être un ordre (strict ou large), car elle n'est pas antisymétrique. La négation d'un ordre non total n'est donc jamais un ordre.

Par exemple, la négation de l'inclusion ⊄ sur l'ensemble des parties d'un ensemble d'au moins deux éléments n'est pas un ordre, car, si ''a'' ≠ ''b'', on a toujours {''a''}≠{''b''} avec cependant {''a''}⊄{''b''} et {''b''}⊄{''a''}.

=== Ordre dual ===
L''''ordre dual''' (ou '''ordre opposé<ref name=Bergman/>''') d'un ensemble ordonné ''P'' = (''E'', ≤) est l'ensemble ordonné ''P''{{exp|op}} = (''E'', ≤{{exp|op}}), où ≤{{exp|op}} est la [[#Relation d'ordre|relation d'ordre opposée de ≤, c'est-à-dire la relation ≥]] (on utilise parfois * au lieu de {{exp|op}})<ref name="Bergman">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[George Bergman]]|titre=An invitation to general algebra and universal constructions|lieu=Cham|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2015|numéro d'édition=2|année première édition=1988|pages totales=572|passage=113|isbn=978-3-319-11478-1|lire en ligne=https://math.berkeley.edu/~gbergman/245/3.3.pdf}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Bourbaki|p=III.4}} et III.77.</ref>.

Le bidual (''P''{{exp|op}}){{exp|op}} de ''P'' est égal à ''P''.

=== Préordre ===
{{Voir|Préordre}}
Un '''[[préordre]]''' est une relation binaire ''réflexive'' et ''transitive''.

Tout préordre ℛ sur un ensemble {{math|''E''}} induit une relation d'ordre sur l'ensemble {{math|''E''}} [[Relation d'équivalence#Ensemble quotient|quotienté]] par la [[relation d'équivalence]] ~ définie par « {{math|''x''~''y'' si et seulement si (''x''ℛ''y'' et ''y''ℛ''x'')}} ».

''Pour plus de précisions et des exemples, voir l'article détaillé.''

== Propriétés complémentaires ==

=== Compatibilité ===
La compatibilité d'une relation d'ordre avec une [[structure algébrique]] ne se définit qu'au cas par cas<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|auteur3=[[et al.|al.]]|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence|sous-titre=Niveau L1|éditeur=[[Dunod]]|année=2013|numéro d'édition=2|passage=37|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|K3gcey1WUXMC|page=37}}}}.</ref>.
* Un ordre ≤ sur un [[demi-groupe]] (''G'', +) est dit compatible si, pour tous ''x'', ''y'' et ''z'' dans ''G'' tels que ''x'' ≤ ''y'', on a ''x + z'' ≤ ''y + z'' et ''z + x'' ≤ ''z + y''.<br />Lorsque (''G'', +) est un [[Groupe (mathématiques)|groupe]], on dit alors que (''G'', +, ≤) est un [[groupe ordonné]], et qu'un élément est [[Nombre positif|positif]] s'il est supérieur à l'[[élément neutre]].<br />Tout groupe totalement ordonné [[Archimédien#Groupe|archimédien]] est [[Groupe abélien|abélien]] et se [[Injection (mathématiques)|plonge]] dans ([[Nombre réel|ℝ]], +, ≤).
* Un [[Pseudo-anneau|anneau]] ou un [[Corps gauche|corps]] (''A'', +, ×) est dit [[Corps ordonné|ordonné]] s'il est muni d'un ordre ≤ tel que (''A'', +, ≤) soit un groupe ordonné et que le produit de deux éléments positifs soit positif.<br />Tout [[corps totalement ordonné]] archimédien se plonge dans (ℝ, +, ×, ≤).<br />Dans un corps totalement ordonné, –1 n'est jamais un [[Carré (algèbre)|carré]] ni même une somme de carrés.
* Un [[espace vectoriel ordonné]] est un [[espace vectoriel]] réel (''E'', +, ∙) muni d'un ordre ≤ tel que (''E'', +, ≤) soit un groupe ordonné et que tout vecteur produit d'un réel positif par un vecteur positif soit positif.

=== Ensemble bien ordonné ===

Un ensemble ordonné est dit '''[[Ensemble bien ordonné|bien ordonné]]''' si tout [[sous-ensemble]] non [[ensemble vide|vide]] de cet ensemble possède un [[extremum|plus petit élément]].

=== Treillis ===

Un ensemble est appelé [[treillis (ensemble ordonné)|treillis]] s'il est ordonné et si tout couple d'éléments possède [[borne (mathématiques)|une borne supérieure et une borne inférieure]].

== Applications ==
=== Topologie de l'ordre ===
Un ensemble ordonné peut être muni de [[topologie de l'ordre|plusieurs topologies issues de l'ordre]] : la topologie de l'ordre, la topologie de l'ordre à droite et la topologie de l'ordre à gauche.

=== Liens avec les complexes simpliciaux ===
Une classe importante de [[complexe simplicial|complexes simpliciaux]] provient d'ensembles ordonnés finis. On définit le complexe d'ordre D(P) d'un ensemble ordonné fini P comme étant l'ensemble des [[Chaîne (ordres)|chaînes]] de P. Le complexe d'ordre est [[trivial]]ement un complexe simplicial.

L'étude de l'ensemble ordonné en lui-même donne des informations sur son complexe d'ordre, et il est donc intéressant d'étudier un complexe simplicial comme le complexe d'ordre d'un ensemble ordonné.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=3|
* [[Antichaîne]]
* [[Corps ordonné]]
*[[Correspondance de Galois]]
*[[Idéal (théorie des ordres)]]
* ''[[Order]]'', revue mathématiques traitant de la théorie des ordres
*[[Ordre bien fondé]]
*[[Ordre cyclique]]
* [[Ordre partiel complet]]
*[[Section commençante]]
*[[Théorème d'extension de Szpilrajn]]
*[[Type d'ordre]]
}}

=== Bibliographie ===
* {{Enumerative Combinatorics|vol=1}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Efe A. Ok|titre=Order Theory and its Applications|éditeur=|année=|isbn=|lire en ligne=https://sites.google.com/a/nyu.edu/efeok/books#order-theory}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Préordre]]

[[en:Partially ordered set]]