Nombre de Graham

Le nombre de Graham, du nom du mathématicien Ronald Graham, est un entier naturel connu pour avoir été longtemps le plus grand entier apparaissant dans une démonstration mathématique<ref>Vers la fin des années 1980, des entiers bien plus grands que le nombre de Graham sont apparus dans plusieurs démonstrations mathématiques sérieuses, par exemple en relation avec les formes finies du théorème de Kruskal découvertes par Harvey Friedman.</ref>. Il est beaucoup trop grand pour être écrit grâce à la notation scientifique et nécessite une notation permettant d'écrire de très grands nombres. Toutefois, il est possible d'obtenir ses derniers chiffres sans trop de difficulté. Ainsi ses dix derniers chiffres sont 2464195387Modèle:Référence souhaitée.

Le problème de Graham

Le nombre de Graham entretient un lien avec une branche des mathématiques connue sous le nom de théorie de Ramsey :

On ne connait pas encore la réponse à cette question, mais on sait depuis 2003<ref>Modèle:Article.</ref> que ce plus petit n doit être supérieur ou égal à 11 et depuis 2008<ref>Modèle:Lien web.</ref> qu'il vaut même au moins 13.

Quant aux majorants de ce plus petit n, le meilleur connu en 1971 était<ref>Modèle:Article (Modèle:P.).</ref>

(il a été affiné depuis<ref>Modèle:Lien web. Commentaires de David Roberts : Modèle:Citation étrangère.</ref>).

Ce nombre est énorme, mais encore moins que le « nombre de Graham » G ci-dessous. Le nombre G doit sa célébrité et son nom à ce qu'il a été présenté en 1977 par Martin Gardner, dans le Scientific American, comme un majorant dû à Graham<ref>Modèle:Article. Cette inexactitude est reprise dans Modèle:MathWorld.</ref>, au lieu<ref>Pour plus de détails, voir Modèle:Lien web.</ref> du majorant bien plus précis ci-dessus, trouvé par Graham et Rothschild.

Définition

Le nombre de Graham est le Modèle:64e de la suite :

<math>4,\ 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3,\ 3\uparrow\cdots\uparrow3,\ 3\uparrow\cdots\uparrow3,\ \ldots</math>

où chaque terme est le nombre de flèches du terme suivant, en utilisant la notation des flèches de Knuth.

De façon équivalente, soit f(n) = hyper(3, n + 2, 3) = 3 → 3 → n ; alors le nombre de Graham est la valeur de la Modèle:64e itérée de la fonction f au point 4.

<math>

\left.

\begin{matrix} 
 G &=&3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\
   & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\ 
   & &\underbrace{\qquad\;\; \vdots \qquad\;\;} \\ 
   & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdot\cdot \uparrow}3 \\
   & &3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3
\end{matrix} 

\right \} \text{64 niveaux} </math>

Le nombre de Graham G lui-même ne s'exprime pas commodément avec la notation des flèches chaînées de Conway, mais on a l'encadrement

<math> 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 < G < 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2.</math>

De même, la hiérarchie de croissance rapide permet d'écrire l'encadrement

<math>f_{\omega+1}(63)<G<f_{\omega+1}(64).</math>

Voir aussi

Bibliographie

{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} John H. Conway et Richard Guy, Modèle:Langue, Springer-Verlag, 1996, Modèle:P. Modèle:Lire en ligne