Ovale de Cassini

Fichier:Line of Cassini.svg

Quelques ovales de Cassini. Les foyers sont (-1, 0) et (1, 0).

En mathématiques, un ovale de Cassini est un ensemble de points du plan tel que le produit des distances de chaque point P de l'ovale à deux autres points fixés P₁ et P₂ est constant, c’est-à-dire de telle sorte que le produit

<math>P_1P\times P_2 P \, (=b^2)\,</math>

soit constant. Les points P₁ et P₂ sont appelés les foyers de l'ovale.

Les ovales de Cassini portent le nom de Giovanni Domenico Cassini.

Si l'on note b² le produit constant qui précède, et a la demi-distance entre les foyers,

la forme de l'ovale dépend du rapport b/a.

• Si b/a est plus grand que 1, le lieu est une boucle simple et continue.
• Si b/a est plus petit que 1, le lieu est composé de deux boucles non sécantes.
• Si b/a est égal à 1, le lieu est une lemniscate de Bernoulli.

Équations

Si les foyers des ovales sont de coordonnées (a, 0) et (−a, 0), l'équation de la courbe est donnée par

<math>((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4.\,</math>

Ou, en coordonnées polaires :

<math>r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4.\,</math>

Propriétés

Trajectoires orthogonales

Fichier:Cassini ovals and hyperbola.gif

Les hyperboles équilatères (en noir) admettent comme trajectoires orthogonales des ovales de Cassini (ici, a = 1)

Les ovales de Cassini sont les trajectoires orthogonales aux hyperboles équilatères de centre (0, 0) et passant par le point (1, 0).

En effet, l'équation de cette famille d'hyperboles est

<math>y^2 - x^2 + \lambda x y +1 = 0, \, \lambda \in \R.</math>

Elle est solution de l'équation différentielle  :

<math>(x^2 + y^2 + 1) y\,dx -(x^2 + y^2 - 1) x\,dy=0.</math>

Ce qui donne l'équation différentielle des trajectoires orthogonales :

<math>(x^2 + y^2 + 1) y\,dy +(x^2 + y^2 - 1) x\,dx =0 = d \left(\frac14 (x^2 + y^2)^2 - \frac{x^2}{2}+ \frac{y^2}{2} \right).</math>

Les trajectoires orthogonales sont donc d'équation

<math> (x^2 + y^2)^2 - 2x^2+ 2y^2 = \mu, \, \mu \in \R,</math>

et on retrouve bien l'équation des ovales de Cassini.

Sections planes d'un tore

Fichier:Tor-cass-1-3.svg

Ovales de Cassini comme sections planes d'un tore (le tore de droite est à trou nul).

On obtient des ovales de Cassini par intersection d'un tore par un plan parallèle à son axe et à une distance égale au rayon du cercle générateur.

Généralisations

On peut faire de même avec plus de deux foyers, ou plus de deux dimensions.

Par exemple, un ovale de Cassini à n foyers est l'ensemble des points P vérifiant :

• <math>P_1P \times P_2P \times \cdots \times P_nP = b^n</math>

Cette définition s'étend naturellement à l'espace, ce qui définit une surface implicite.

• Ovale de Cassini à trois foyers.

  Ovale de Cassini à trois foyers.

• Surface de Cassini à 6 foyers.

  Surface de Cassini à 6 foyers.

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:Mathcurve