Symbole de Jacobi

Fichier:Carl Jacobi.jpg

Charles Jacobi, mathématicien à l'origine du symbole de Jacobi

Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien prussien Charles Gustave Jacob Jacobi<ref>Modèle:Article.</ref>. C'est une généralisation du symbole de Legendre.

Définition

Le symbole de Jacobi <math>\left(\frac an\right)</math> est défini pour tout entier relatif <math>a</math> et tout entier naturel impair <math>n</math> comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de <math>n</math> : pour tout <math>k\in\N</math> et tous nombres premiers impairs <math>p_1,\dots,p_k</math> (non nécessairement distincts),

<math>\left(\frac a{\prod_{1\le i\le k}p_i}\right)=\prod_{1\le i\le k}\left(\frac a{p_i}\right)</math>.

Propriétés

Soient <math>m,n</math> positifs impairs et <math>a,b</math> entiers quelconques. Alors<ref name=Apostol>Voir par exemple :

• Modèle:Ouvrage ;
• Modèle:Ouvrage ;
• le lien ci-dessous vers Wikiversité.</ref> :
• <math>\left(\frac a1\right)=1</math> ;
• si <math>n</math> est premier, le symbole de Jacobi <math>\left(\frac an\right)</math> est simplement le symbole de Legendre ;
• si <math>a</math> et <math>n</math> ne sont pas premiers entre eux, <math>\left(\frac an\right)=0</math> ;
• si <math>a</math> et <math>n</math> sont premiers entre eux, <math>\left(\frac an\right)=\pm1</math> ;
• <math>\left(\frac{ab}n\right)=\left(\frac an\right)\left(\frac bn\right)</math> ;
• <math>\left(\frac an\right)\left(\frac am\right)=\left(\frac a{mn}\right)</math> ;
• si Modèle:Math alors <math>\left(\frac an\right) = \left(\frac bn\right)</math> ;
• généralisation de la loi de réciprocité quadratique :
  • théorème fondamental : <math>\left(\frac mn\right)=\left(\frac nm\right)(-1)^{\frac{(m-1)(n-1)}4}</math>,
  • première loi complémentaire :<math>\left(\frac{-1}n\right)=(-1)^{\frac{n-1}2}</math>,
  • deuxième loi complémentaire :<math>\left(\frac2n\right)=(-1)^{\frac{n^2-1}8}</math>.

Résidus

Les énoncés généraux sur les résidus quadratiques faisant intervenir le symbole de Legendre ne s'étendent pas au symbole de Jacobi : si <math>\left(\frac an\right)=-1</math> alors Modèle:Mvar n'est pas un carré Modèle:Math mais si <math>\left(\frac an\right)=1</math>, Modèle:Mvar n'est pas nécessairement un carré Modèle:Math<ref name=Apostol/>. Par exemple : <math>\left(\frac 29\right)=\left(\frac 23\right)^2=(-1)^2=1</math> mais Modèle:Math n'est pas un carré Modèle:Math (ni même Modèle:Math).

Voir aussi

• Symbole de Kronecker (théorie des nombres)