Méthode de Ferrari

La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari (1540) permet de résoudre par radicaux les équations du quatrième degré, c'est-à-dire d'écrire les solutions comme une combinaison d'additions, soustractions, multiplications, divisions, et racines carrées, cubiques et quartiques constituée à partir des coefficients de l'équation. Elle fournit pour les quatre solutions, sous une apparence différente, la même formule que celle des méthodes ultérieures de Descartes (1637) et de Lagrange (1770).

Principe de la méthode

On ramène d'abord<ref>Cette étape préalable ne simplifiant pas la suite, certains auteurs s'en dispensent : voir Modèle:Ouvrage, Modèle:Ouvrage, ou la fin du chapitre « Méthode de Ferrari » sur Wikiversité (lien ci-dessous).</ref> l'équation (en divisant par le coefficient dominant puis en translatant la variable de façon à éliminer le terme de degré 3) à une équation de la forme

<math>z^4+pz^2+qz+r=0</math>.

Le point central de la méthode<ref>Modèle:Lien web.</ref><ref>Modèle:Ouvrage.</ref> consiste à remplacer ensuite le monôme Modèle:Math par le polynôme Modèle:Math, paramétré par Modèle:Math, et à trouver une valeur de Modèle:Math convenable, qui permette d'écrire Modèle:Math comme une différence de deux carrés donc, via une identité remarquable, comme un produit de deux polynômes du second degré.

Certains auteurs<ref>Modèle:Harvsp.</ref><ref>Modèle:Ouvrage.</ref> préfèrent commencer par une complétion du carré, Modèle:Math, ce qui leur permet de présenter la méthode de Ferrari avec un autre paramètre (Modèle:Math<ref>Modèle:Harvsp.</ref>), égal à la moitié de celui de Descartes et Lagrange (Modèle:Math).

Mise en œuvre

<math>\begin{array}{rl}z^4 + p z^2 + q z+ r & =(z^2+\lambda)^2-2\lambda z^2 -\lambda^2 + p z^2 + q z + r\\ &=(z^2+\lambda)^2-\left[(2\lambda-p)z^2-qz+\lambda^2-r\right].\end{array}</math>

Le terme Modèle:Math, vu comme polynôme en Modèle:Mvar, s'écrit sous forme d'un carré si et seulement si son discriminant, Modèle:Math, est nul.

On résout donc l'équation correspondante, appelée Modèle:Lien :

<math>8\lambda^3 - 4p\lambda^2 - 8r\lambda+ 4rp - q^2 = 0</math>,

en utilisant l'une des méthodes classiques de résolution d'une équation de degré 3.

En choisissant une solution Modèle:Math, puis Modèle:Math, Modèle:Math (éventuellement complexes) tels que :

<math>a_0^2=2\lambda_0-p\quad\text{et}\quad b_0=- \frac q{2a_0}</math>,

l'équation initiale devient :

<math>(z^2 +\lambda_0)^2 - (a_0z + b_0)^2 = 0 </math>

ou encore :

<math>(z^2+a_0z+\lambda_0+b_0)(z^2-a_0z+\lambda_0-b_0)=0</math>,

ce qui équivaut à l'annulation d'un des deux facteurs :

<math>z^2+a_0z+\lambda_0+b_0=0\quad\text{ou}\quad z^2-a_0z+\lambda_0-b_0=0</math>.

Chacune de ces deux équations fournit deux valeurs pour Modèle:Mvar, soit quatre valeurs en tout.

Presque tous les auteurs excluent implicitement<ref>À l'exception, au moins, de Modèle:Harvsp.</ref> le cas où Modèle:Math est nul (qui conduirait à une [[Division par zéro|division par Modèle:Math]] dans la définition ci-dessus de Modèle:Math). Mais dans ce cas, Modèle:Math donc l'équation Modèle:Math est simplement une équation bicarrée<ref>Pour plus de détails sur le cas Modèle:Math, voir par exemple Modèle:Note autre projet</ref>.

Pour des exemples, voir la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous) et ses exercices.