Nombre pentagonal centré

{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Modèle:Confusion

En mathématiques, un nombre pentagonal centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un pentagone régulier ayant un point placé en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches pentagonales successives de 5 points, 10 points, 15 points, etc. Ainsi, le n-ième pentagone centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Fichier:Nombre pentagon cent.svg

Relation de récurrence et formule explicite

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième pentagone centré a un point central et n – 1 couches pentagonales régulières.

Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième pentagone centré comporte 5(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième pentagone centré, et faisant passer au n-ième : Modèle:Retrait [[Nombre polygonal centré|si bien que le Modèle:Mvar-ième nombre pentagonal centré est]] 1 + 5 fois la [[Somme (arithmétique)#Somme_des_premiers_entiers|somme des entiers de Modèle:Math à Modèle:Math]] : Modèle:Retrait

Le Modèle:Math-ième nombre triangulaire étant Modèle:Math, on a aussi : Modèle:Retrait

Exemples

Fichier:Centered pentagonal number 31.svg

Représentation du 4-ième nombre pentagonal centré.

Fichier:Centered pentagonal = 1 + 5triangular.svg

Représentation à la fois du 5-ième nombre pentagonal centré et des cinq 4-ièmes nombres triangulaires autour de son centre.

Les cinq plus petits nombres pentagonaux centrés sont C_{5, 1} = 1, C_{5, 2} = 1 + 5 = 6, C_{5, 3} = 6 + 10 = 16, C_{5, 4} = 16 + 15 = 31 et C_{5, 5} = 31 + 20 = 51.

Le Modèle:Nobr^e est donc Modèle:Nobr plus Modèle:Nobr fois le Modèle:Nobr-ième nombre triangulaire : Modèle:Retrait

Liste de nombres pentagonaux centrés, propriété de congruence

Les nombres pentagonaux centrés inférieurs à 500 sont : Modèle:Retrait

Le chiffre des unités en base dix de cette suite d'entiers suit le motif 1-6-6-1.