Équation du second degré

En mathématiques, une équation du second degré, ou équation quadratique, est une équation polynomiale de degré 2, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous la forme :

<math>ax^2 + bx + c = 0 </math>

Dans cette équation, Modèle:Mvar est l'inconnue les lettres Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math représentent les coefficients, avec Modèle:Math différent de 0. Modèle:Math est le coefficient quadratique, Modèle:Math est le coefficient linéaire, et Modèle:Math est un terme constant où le polynome est défini sur <math>\R</math>.

Dans l'ensemble des nombres réels, une telle équation admet au maximum deux solutions, qui correspondent aux abscisses des éventuels points d'intersection de la parabole d'équation Modèle:Nobr avec l'axe des abscisses dans le plan muni d'un repère cartésien. La position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, et donc le nombre de solutions (0, 1 ou 2) est donnée par le signe du discriminant. Ce dernier permet également d'exprimer facilement les solutions, qui sont aussi les racines de la fonction du second degré associée.

Sur le corps des nombres complexes, une équation du second degré a toujours exactement deux racines distinctes ou une racine double. Dans l'algèbre des quaternions, une équation du second degré peut avoir une infinité de solutions.

Historique

Les équations du second degré sont au centre de l'algèbre babylonienne, dès avant le Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle<ref>Modèle:Harvsp.</ref>. La tablette d'argile BM 13901 a été qualifiée de Modèle:Citation<ref>Modèle:Harvsp.</ref>.

Au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, le mathématicien indien Modèle:Lien indique la manière de calculer les deux racines réelles.

Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, dans un ouvrage intitulé Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison qui, via le mot « restauration » (en arabe : al-jabr) a donné son nom à l'algèbre. Al-Khawarizmi distingue six cas d'équations du premier ou second degré dans lesquels les paramètres Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont tous positifs :

1. Les carrés égalent les racines : Modèle:Math
2. Les carrés égalent les nombres : Modèle:Math
3. Les racines égalent les nombres : Modèle:Math
4. Les carrés et les racines égalent les nombres : Modèle:Math
5. Les carrés et les nombres égalent les racines : Modèle:Math
6. Les racines et les nombres égalent les carrés : Modèle:Math

Il démontre les méthodes de résolution en suivant des raisonnements d'algèbre géométrique.

Éléments clé

Introduction par l'exemple

On recherche les éventuelles solutions de l'équation suivante<ref>Cet exemple est présenté dans : Le nombre d'or avec Geoplan par P. Debart de l'Académie d'Aix-Marseille.</ref> :

<math>x^2 - x - 1 = 0</math>.

Le membre de gauche est appelé trinôme du second degré<ref name=bibmath>V. & F. Bayart, Étude du trinôme du second degré, sur le site bibmath.net.</ref>. Il est composé de trois termes, tous de la même forme : un nombre non nul que multiplie une puissance entière de Modèle:Mvar. Chaque terme est appelé monôme et, comme il en existe trois, on parle de trinôme. La plus grande puissance de ces monômes est 2 ; pour cette raison, on parle de second degré. L'expression Modèle:Math n'est pas un trinôme : Modèle:Math, est un binôme du premier degré<ref group="Note">L'équation qu'il définit n'est pas l'objet de cet article, mais de celui intitulé Équation du premier degré.</ref>.

La méthode consiste à forcer l'apparition d'une première identité remarquable. On écrit le polynôme de la manière suivante :

<math>x^2-x-1 = x^2 - 2\cdot \frac 12\cdot x + \frac 14 - \frac 14 - 1</math>.

Les trois premiers termes sont ceux d'une somme remarquable. L'application d'une identité remarquable permet d'écrire le polynôme de la manière suivante :

<math>x^2-x-1 = \left(x - \frac 12\right)^2 - \frac 54</math>.

On peut alors appliquer à cette différence de carrés une deuxième identité remarquable :

<math>x^2-x-1 = \left(x - \frac 12\right)^2 - \left(\frac {\sqrt5}2\right)^2 = \left(x - \frac 12+ \frac {\sqrt5}2\right)\left(x - \frac 12- \frac {\sqrt5}2\right)</math>.

L'équation initiale s'exprime alors sous forme d'un produit de deux facteurs :

<math>\left(x - \frac 12+ \frac {\sqrt5}2\right)\left(x - \frac 12- \frac {\sqrt5}2\right)=0. </math>

Un produit de deux facteurs est nul si, et seulement si, au moins un des facteurs est nul<ref group="Note">Voir l'article Équation produit-nul.</ref>. Cette remarque permet de trouver les deux solutions Modèle:Math et Modèle:Math :

<math>x_1 = \frac {1 + \sqrt 5}2,\quad x_2 = \frac {1 - \sqrt 5}2</math>.

La racine positive, Modèle:Math, est appelée nombre d'or, et souvent notée <math>\varphi </math>.

Il est aussi possible de résoudre une équation du second degré sans la moindre connaissance d'algèbre : le paragraphe méthode géométrique montre comment s'y prendre.

Discriminant

Modèle:Article détaillé On considère l'équation suivante, où Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar désignent des nombres réels et Modèle:Mvar est différent de 0 :

<math>ax^2 + bx + c = 0. </math>

On dispose de la définition suivante<ref>On trouve cette définition dans le site : Discriminant par Euler, un site de l'Académie de Versailles.</ref> : Modèle:Théorème

Cette définition est la source du théorème associé à la résolution de l'équation du second degré, dans le cas où l'on recherche des solutions réelles<ref>Équation du second degré dans R par Euler, un site de l'Académie de Versailles.</ref> : Modèle:Théorème

Interprétation graphique

Fichier:Quadratic equation discriminant.png

Le signe du discriminant apporte une information sur le graphe de la fonction Modèle:Mvar.

Une manière d'étudier l'équation du paragraphe précédent est de considérer la fonction Modèle:Mvar de la variable réelle et à valeurs réelles définie par :

<math>f(x) = ax^2 + bx + c. </math>

L'équation peut encore s'écrire Modèle:Math. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection du graphe de la fonction Modèle:Mvar et de l'axe des Modèle:Mvar. Le graphe de la fonction Modèle:Mvar est appelé une parabole, elle possède une forme analogue à celle des trois exemples présentés à droite. Si Modèle:Mvar est positif, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, comme pour les exemples jaunes ou bleus, sinon les branches sont dirigées vers le bas, comme l'exemple rouge. L'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées est le point <math>(0,c)</math>, en effet, l'intersection des deux axes ayant lieu lorsque <math>x = 0</math>, on a:

<math>f(0) = a0^2 + b0 + c = c</math>

Si le discriminant est strictement positif, comme pour l'exemple bleu, cela signifie que le graphe de Modèle:Mvar croise l'axe des abscisses en deux points. Si le discriminant est nul, la configuration est celle de la parabole rouge, le graphe se situe soit dans le demi-plan des ordonnées positives soit dans le demi-plan des ordonnées négatives et son unique extremum est sur l'axe des abscisses. Dans le cas d'un discriminant strictement négatif, comme pour la parabole jaune, le graphe se situe encore dans l'un des deux demi-plans précédents, mais cette fois l'extremum ne rencontre pas l'axe des abscisses.

Ainsi, si le discriminant est strictement positif, le signe des valeurs que prend la fonction Modèle:Mvar entre les solutions est l'opposé du signe des valeurs prises par Modèle:Mvar à l'extérieur du segment d'extrémités les solutions de l'équation<ref>Ce paragraphe est explicité dans le site : Signe d'une fonction trinôme du second degré par Euler, un site de l'Académie de Versailles.</ref>.

Résolution dans l'ensemble des réels

Forme canonique

En vue de résoudre l'équation Modèle:Math, où Modèle:Mvar est la fonction du paragraphe précédent, une méthode consiste à l'écrire sous une forme plus adaptée. Comme la valeur Modèle:Mvar n'est pas nulle, il est déjà possible de la factoriser :

<math>f(x)=ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac ba x + \frac ca\right). </math>

La méthode utilisée est la complétion du carré comme pour la résolution du premier exemple. Elle revient à « forcer » l'apparition d’une identité remarquable de la forme Modèle:Retrait en ajoutant et en retranchant Modèle:Math :

<math>f(x) = a\left(x^2 + 2x\left(\frac b{2a} \right) + \left( \left(\frac {b}{2a} \right) ^2 - \left( \frac {b}{2a}\right) ^2 \right)_{\color{red}\nwarrow =0} + \frac ca\right) = a\left(\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \frac {b^2 - 4ac}{4a^2}\right). </math>

Cette forme est à l'origine d'une propriété et d'une définition<ref name="Polynômes du second degré">C. Rossignol, Polynômes du second degré sur le site de l'académie de Grenoble, 2008, Modèle:P..</ref> :

À noter que Modèle:Mvar représente l'extremum (maximum ou minimum) de la fonction Modèle:Math, et que cet extremum est atteint pour Modèle:Mvar :

• Si Modèle:Math, la fonction Modèle:Math est décroissante puis croissante (fonction en U) et Modèle:Mvar est donc le minimum de la fonction ;
• Si Modèle:Math, la fonction Modèle:Math est croissante puis décroissante (fonction en cloche) et Modèle:Mvar est donc le maximum de la fonction.

Dans les deux cas, les coordonnées de l'extremum sont donc <math>M\left(\frac {-b}{2a};c -\frac{b^2}{4a}\right)</math>

Exemples

Considérons l'équation suivante<ref name=Ros>Cet exemple s'inspire du site déjà cité : C. Rossignol, Polynômes du second degré, Modèle:P..</ref> :

<math>f(x) = 0 \quad\text{avec}\quad f(x) = x^2 - 4x + 4. </math>

Deux méthodes permettent de trouver l'expression de la forme canonique. Tout d'abord, Modèle:Mvar est définie par une identité remarquable ; on en déduit :

<math>f(x) = (x-2)^2. </math>

Il est aussi possible d'utiliser les formules de la définition, on trouve ici Modèle:Math. On en déduit que le discriminant Modèle:Math est nul et que le coefficient Modèle:Mvar est égal à 2, ce qui donne à nouveau le résultat précédent.

Considérons maintenant le nouvel exemple<ref name=Ros /> :

<math>g(x) = 0 \quad\text{avec}\quad g(x) = 2x^2 - 6x + 1. </math>

Si l'égalité définissant Modèle:Math n'est plus une identité remarquable, la deuxième méthode est toujours efficace. On a Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. Ce qui permet d'effectuer les calculs suivants :

<math> \alpha = -\frac b{2a} = \frac 64 = \frac 32,\quad \beta = g(\alpha) = g\left(\frac 32\right) = 2 \frac 94 - 6\frac 32 + 1 = \frac 92 - \frac {18}2 + \frac 22 = -\frac 72. </math>

On en déduit la forme canonique :

<math> g(x) = 2 \left( x - \frac 32 \right) ^2 - \frac {7}2. </math>

Le graphe de la fonction Modèle:Math est donc en forme de U et admet un minimum au point <math>M\left(\frac 32;-\frac 72\right)</math>

Résolution de l'équation Modèle:Math

La résolution de l'équation Modèle:Math utilise la forme canonique :

Discriminant strictement négatif

Si le discriminant est strictement négatif, la valeur Modèle:Math est strictement positive.

La fonction Modèle:Mvar s'exprime comme le produit de Modèle:Mvar (non nul) et de la somme d'un terme positif Modèle:Math et d'un terme strictement positif Modèle:Math (somme qui est donc strictement positive, donc non nulle) : Modèle:Math.

On en déduit que, quelle que soit la valeur de Modèle:Mvar, son image par Modèle:Mvar n'est jamais nulle, car produit de deux facteurs non nuls, ce qui montre l'absence de solution dans l'ensemble des réels (R).

On peut tout de même trouver deux solutions en se plaçant dans l'ensemble des nombres complexes.

Discriminant nul

Si le discriminant est nul, le terme Modèle:Mvar l'est aussi et Modèle:Math. Cette expression est nulle si, et seulement si Modèle:Mvar est égal à Modèle:Mvar. Une fois encore, on retrouve le résultat exprimé dans le deuxième paragraphe.

Discriminant strictement positif

Si le discriminant est strictement positif, en simplifiant par Modèle:Mvar, l'équation s'écrit encore, si Modèle:Mvar désigne la racine carrée du discriminant :

<math>(x-\alpha)^2 - \left(\frac {\delta}{2a}\right)^2 = 0\quad\text{avec}\quad \delta = \sqrt{b^2 - 4ac}</math>.

En utilisant l'identité remarquable <math>A^2-B^2=\left(A+B\right)\left(A-B\right)</math>, l'équation peut donc s'écrire :

<math>\left(x -\alpha + \frac Modèle:\delta{2a}\right)\left(x -\alpha - \frac Modèle:\delta{2a}\right)=0</math>.

Un produit de deux nombres réels est nul si, et seulement si, l'un des deux facteurs du produit est nul, on en déduit que l'équation est équivalente à l'une des deux équations :

<math>x-\alpha + \frac {\delta}{2a}=0 \quad\text{ou}\quad x -\alpha - \frac {\delta}{2a}=0</math>.

En remplaçant Modèle:Mvar par <math>-\frac b{2a}</math> et Modèle:Mvar par <math>\sqrt\Delta</math>, on retrouve bien l'expression déjà indiquée des deux solutions :

<math>x_1= \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} \quad \text{et} \quad x_2= \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}</math>.

Propriétés

Forme réduite

Une équation du second degré n'apparaît pas toujours sous la forme étudiée jusqu'à présent. Considérons l'exemple :

<math>(x+2)^3-(x-1)^3 = 0. </math>

Une analyse trop rapide pourrait laisser penser que les méthodes présentées ici ne sont pas adaptées pour une telle équation. Pour le vérifier, le plus simple est de développer le terme de gauche. On obtient, à l'aide de deux identités remarquables :

<math>(x+2)^3-(x-1)^3 =x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - (x^3 - 3x^2 + 3x -1) = 9x^2 + 9x + 9. </math>

L'équation devient alors :

<math>9x^2 + 9x + 9 = 0. </math>

En simplifiant encore par 9, l'équation s'écrit : Modèle:Math. Le discriminant étant égal à –3, l'équation n'admet pas de racine réelle. Pour pouvoir appliquer les techniques développées ici, il est utile d'exprimer l'équation sous la forme étudiée jusqu'à présent. Cette forme porte un nom<ref name=Ros />.

Il existe trois formes importantes pour exprimer une équation du second degré, la forme réduite, la forme canonique et, éventuellement la forme factorisée, qui s'écrit de la manière suivante :

<math>a(x - x_1)(x - x_2) = 0. </math>

Sous la forme factorisée, les solutions sont directement disponibles. Elles sont égales à Modèle:Math et Modèle:Math.

Relations entre coefficients et racines

Si les solutions, encore appelées racines, existent, qu'elles soient distinctes ou doubles<ref>Si une unique racine existe et vaut α on dit néanmoins qu'il existe deux racines Modèle:Math. On parle alors de racine double. Cette convention possède plusieurs intérêts, entre autres celui d'éviter un cas particulier, par exemple dans le contexte de ce paragraphe.</ref>, on dispose de deux manières différentes de noter le polynôme, la forme factorisée et celle réduite. Avec les notations de l'article, on obtient si Modèle:Math et Modèle:Math sont les deux racines :

<math>ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). </math>

Un développement de la forme de droite permet d'obtenir une nouvelle expression de la forme réduite :

<math>ax^2+bx +c= ax^2-a(x_1 + x_2)x+ax_1x_2. </math>

En identifiant les coefficients, on en déduit des relations entre les coefficients de l'équation et ses solutions :

De plus la somme <math> S</math> et le produit <math>P</math> des racines sont solutions de l'équation : <math>x^2 -Sx+ P = 0 </math>.

Cette propriété est très pratique pour résoudre les systèmes de type: <math>\begin{cases} \alpha + \beta = x \\ \alpha \times \beta = y \end{cases} </math> d'inconnues <math>(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2</math>.

Les égalités de cette nature se généralisent pour les équations définies par un polynôme de degré quelconque. Tel est l'objet de l'article détaillé.

Discriminant réduit

Parfois, les coefficients Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des nombres entiers et Modèle:Mvar est pair. Dans ce cas, un facteur 2 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. Si on définit Modèle:Mvar comme l'entier vérifiant l'égalité Modèle:Math, on simplifie les calculs : Modèle:Théorème

Le discriminant est égal à quatre fois le discriminant réduit qui est donc de même signe que le discriminant. En conséquence, si le discriminant réduit est strictement positif, il existe deux solutions distinctes, s'il est nul les deux solutions sont confondues et s'il est strictement négatif aucune solution réelle n'existe. Dans le cas où le discriminant est positif, les deux racines Modèle:Math et Modèle:Math s'expriment, à l'aide du discriminant réduit par les égalités :

<math>x_1 = \frac {-b' + \sqrt {\Delta'}}{a}\quad\text{et}\quad x_2 = \frac {-b' - \sqrt {\Delta'}}a. </math>

Le calcul présenté ici est exact, indépendamment du fait que Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar soient entiers. Si l'expression de Modèle:Mvar est simple, il peut être utile de faire usage du discriminant réduit, plutôt que du discriminant.

Considérons l'équation suivante :

<math>\sqrt 5 x^2 - 6x + \sqrt 5 = 0. </math>

Le discriminant réduit est un peu plus simple à calculer que le discriminant : il est égal à 9 - (Modèle:Racine)² donc à 4. On trouve, avec les formules précédentes :

<math>x_1 = \frac {3 + 2}{\sqrt 5} = \sqrt 5 \quad\text{et}\quad x_2 = \frac {3 - 2}{\sqrt 5} = \frac {\sqrt 5}5. </math>

Autres méthodes de résolution

Racines évidentes

Modèle:Article détaillé Les relations entre les coefficients et racines permettent parfois une accélération dans la résolution. Considérons l'équation précédente, le terme Modèle:Racine joue un rôle singulier. Il est tentant de calculer son image par le polynôme définissant l'équation. Une solution trouvée à l'aide de cette méthode, c'est-à-dire consistant à choisir une valeur « au hasard » et à vérifier que son image par le polynôme est nulle est appelée racine évidente.

Une fois la première solution connue, les relations entre coefficients et racines permettent aisément de trouver la seconde. Dans l'exemple proposé, le plus simple est de remarquer que le produit des racines, égal à Modèle:Math est ici égal à 1. La deuxième racine est donc 1/Modèle:Racine.

La méthode de la racine évidente permet de résoudre simplement une équation de degré plus élevé, comme l'exemple suivant<ref>Il provient d'un exercice de terminale de P. Amposta : Gammes, du site « mathématiques au lycée ».</ref> :

<math>x^3 - 5x - 2 = 0. </math>

Plusieurs méthodes sont possibles pour en venir à bout. Celle de Cardan possède l'avantage d'être sûre, mais demande une maîtrise des nombres complexes et impose de longs calculs. La méthode des racines évidentes est beaucoup plus rapide. On tente traditionnellement les valeurs 0, ±1 et ±2. Dans le cas présent, –2 est une racine. Cela signifie que le polynôme Modèle:Math divise celui définissant l'équation. Trouver le deuxième facteur n'est pas trop ardu. C'est un polynôme du second degré, car seul un polynôme du second degré, multiplié par Modèle:Math est du troisième degré. Si Modèle:Math est le deuxième facteur, on calcule le produit :

<math>(x + 2)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (2a + b)x^2 + (2b+c)x + 2c = x^3 -5x - 2. </math>

On en déduit Modèle:Math, Modèle:Math puis Modèle:Math. Il reste encore à résoudre l'équation :

<math>x^2 - 2x - 1 = 0. </math>

Pour une rédaction plus concise, on peut toujours prétendre que 1 + Modèle:Racine est une racine évidente. Comme la somme des racines du polynôme du second degré est égale à 2, la deuxième racine est égale à 1 – Modèle:Racine.

Méthode géométrique

Fichier:603px-Quadrat Gleichung Euklid.png

Résolution de l'équation Modèle:Math à l'aide d'un gnomon.

Les premières méthodes pour résoudre une équation du second degré sont géométriques. Même sans connaître les rudiments d'algèbre, il est possible de résoudre des équations du second degré. Les Grecs utilisaient la méthode suivante<ref>Pour plus de détails, voir : Modèle:DahanPeiffer Modèle:P..</ref>, pour résoudre ce qu'en langage contemporain on formaliserait par l'équation :

<math>x^2 + 10x = 39.</math>

On considère que les deux termes, de droite et de gauche désignent des surfaces. Le terme Modèle:Math désigne l'aire d'un carré de côté Modèle:Mvar et Modèle:Math désigne l'aire de deux rectangles de côtés 5 et Modèle:Mvar. On organise le carré et les deux rectangles de la manière indiquée sur la figure de droite, les deux rectangles sont dessinés en gris et le carré correspond au plus petit des deux et contenant le symbole Modèle:Math en son milieu.

Cette surface, que l'on appelle un gnomon prend la forme d'un carré si l'on y ajoute un nouveau carré de côté 5, car on obtient alors un carré plus vaste, contenant à la fois les deux rectangles et le carré de côté Modèle:Mvar. Le carré de côté Modèle:Mvar et les deux rectangles possèdent une aire de 39, on a ajouté un carré d'aire 25, on obtient un grand carré d'aire 64. En termes algébriques, cette considération graphique s'écrit :

<math>x^2 + 10x + 25 = 64.</math>

Le grand carré est d'aire 64, son côté est donc de longueur 8. Or ce côté est, par construction, égal à Modèle:Math. En termes algébriques, cela revient à appliquer une identité remarquable, on obtient :

<math>(x + 5)^2 = 64.</math>

On en déduit la solution Modèle:Math. L'algèbre propose aussi une autre solution : –13. Pour les Grecs, cette autre solution n'a aucun sens, Modèle:Mvar représente le côté d'un carré, c'est-à-dire une longueur. Or une longueur est toujours positive.

D'autres solutions géométriques sont proposées dans les articles Inconnue et Nombre d'or.

Par les relations entre coefficients et racines

Modèle:Section à sourcer Une autre méthode, à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, permet de trouver les solutions. On suppose que l'équation admet un discriminant positif et on note Modèle:Mvar la somme des solutions et Modèle:Mvar leur produit. En divisant l'équation par le facteur Modèle:Mvar, qui n'est pas nul par définition, on obtient l'expression :

<math>x^2 - sx + p=0</math>.

Soit Modèle:Mvar la valeur moyenne des deux solutions, c'est-à-dire l'abscisse de l'extremum de la parabole. Si Modèle:Mvar est la demi-distance entre les solutions et si Modèle:Math et Modèle:Math désignent les deux racines, on obtient les égalités :

<math>x_1 = m + h \quad\text{et}\quad x_2 = m -h</math>.

La somme des deux racines est égale à Modèle:Mvar et aussi à Modèle:Math, ce qui donne la valeur de Modèle:Math. Le produit des deux racines et une identité remarquable montrent que Modèle:Math. Une autre manière d'écrire cette égalité est Modèle:Math. Comme le discriminant est positif par hypothèse, le terme de droite est positif. On obtient Modèle:Mvar, puis les valeurs des racines :

<math>x_1 = \frac {s + \sqrt{s^2 - 4p}}2 \quad\text{et}\quad x_2 = \frac {s - \sqrt{s^2 - 4p}}2</math>.

En remplaçant Modèle:Mvar et Modèle:Mvar par leurs valeurs, calculées à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, on retrouve les formules classiques.

Les points Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont cocycliques sur un cercle (de Carlyle) ayant pour diamètre les points Modèle:Math et Modèle:Math

Fichier:Degre 2.JPG

Cercle passant par les trois points d'intersection avec les axes de la parabole représentant une fonction polynôme du second degré Modèle:Mvar de discriminant positif (les intersections avec l'axe des Modèle:Mvar sont données par les racines).

Résolution dans l'ensemble des nombres complexes

Lorsque le discriminant de l'équation du second degré est négatif, celle-ci ne possède pas de solution dans l'ensemble des réels, car il n'est pas possible de prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Mais dans un ensemble spécialement construit à cet effet<ref>Dominique Flament, Histoire des nombres complexes Modèle:ISBN.</ref>, l'ensemble des nombres complexes, il existe des nombres dont le carré est négatif. L'équation du second degré à coefficients réels y admet alors toujours des solutions. Le résultat se généralise aux équations du second degré dont les coefficients sont complexes.

Coefficients réels et discriminant strictement négatif

Exemple

Considérons l'équation suivante :

<math>x^2 + x + 1 = 0</math>.

Sous sa forme canonique, l'équation s'écrit :

<math>x^2 + 2\frac 12 x + \frac 14 + \frac 34 = \left(x+\frac 12\right)^2 + \left(\frac {\sqrt3}2\right)^2 =0</math>.

La partie gauche de l'équation est la somme de deux carrés, dont l'un est strictement positif, il ne peut donc exister de solution dans les nombres réels. Une autre manière d'en prendre conscience est de calculer le discriminant, ici égal à –3.

Si Modèle:Math désigne l'unité imaginaire, il est possible d'écrire 3/4 comme l'opposé d'un carré, cet usage lève l'impossibilité, l'équation s'écrit :

<math>\left(x+\frac 12\right)^2 - \left(\frac {\rm{i}\sqrt 3}2\right)^2 =0</math>.

Les identités remarquables s'appliquent tout autant dans C, le corps des nombres complexes, que dans R celui des nombres réels, comme dans tout anneau commutatif. On en déduit une nouvelle écriture de l'équation, car la différence de deux carrés est factorisable :

<math>\left(x + \frac 12 + \frac {\rm{i}\sqrt 3}2\right)\left(x + \frac 12 - \frac {\rm{i}\sqrt 3}2\right) = 0</math>,

ce qui permet d'en déduire les deux solutions :

<math>x_1 = \frac {-1 + {\rm i}\sqrt 3}2\quad\text{et}\quad x_2 = \frac {-1 - {\rm i}\sqrt 3}2</math>.

Les deux solutions sont conjuguées. Cette propriété n'est vraie que dans le cas d'une équation quadratique à coefficients réels.

Cas général

La méthode utilisée pour l'exemple s'applique de la même manière pour le cas général, si les coefficients sont réels et le discriminant strictement négatif. L'équation s'écrit sous sa forme canonique :

<math>a\left(\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \left(\frac {\rm{i}\sqrt{|\Delta|}}{2a}\right)^2\right)=0. </math>

Les symboles Modèle:Math désignent la valeur absolue du discriminant. On obtient le résultat suivant :

Modèle:Théorème{2a}\quad\text{et}\quad x_2 = \frac {-b -{\rm i}\sqrt{|\Delta|}}{2a}. </math>

}}

Équation Modèle:Math

Résoudre l'équation Modèle:Math revient à déterminer les racines carrées du nombre complexe α, soit des nombres complexes Modèle:Mvar tel que Modèle:Math. Clairement, si Modèle:Mvar est solution son opposé Modèle:Mvar également.

On note Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math désigne le module de Modèle:Mvar. L'équation s'écrit encore :

<math>z^2 = (x + {\rm i}y)^2 = (x^2 - y^2) +{\rm i}2xy = a+{\rm i}b\quad\text{et}\quad x^2 - y^2 = a,\; 2xy = b. </math>

Le carré du module de Modèle:Mvar est égal au module de Modèle:Mvar, on en déduit :

<math>x^2 - y^2 = a,\; x^2 + y^2 = |\alpha| =\sqrt {a^2 + b^2}\quad\text{donc}\quad x = \pm \sqrt {\frac 12(a + \sqrt {a^2 + b^2})},\quad y = \pm \sqrt {\frac 12(-a + \sqrt {a^2 + b^2})}. </math>

L'égalité Modèle:Math permet d'éliminer les valeurs autres que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, où Modèle:Mvar est définie par, si Modèle:Mvar désigne le signe de Modèle:Mvar.

<math>\beta = \sqrt {\frac 12(a + \sqrt {a^2 + b^2})} + \varepsilon {\rm i} \sqrt {\frac 12(-a+\sqrt {a^2 + b^2})}.</math>

Un rapide calcul montre que Modèle:Mvar vérifie Modèle:Math, et Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont donc bien les seules racines carrées de Modèle:Mvar.

La détermination d'une racine carrée d'un nombre complexe est utile pour résoudre le cas général de l'équation du second degré à coefficients complexes traitée au paragraphe suivant.

Équation du second degré à coefficients complexes (cas général)

On suppose maintenant que Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont trois nombres complexes tels que Modèle:Mvar soit non nul. Il est toujours possible d'écrire l'équation de l'article sous la forme canonique, car les transformations utilisées sont tout aussi valables sur les nombres complexes. En simplifiant par Modèle:Mvar, l'équation est équivalente à :

<math>\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \frac {\Delta}{4a^2} = 0\quad\text{avec}\quad \Delta = b^2 - 4ac. </math>

Soit δ une racine carrée du discriminant (le paragraphe précédent montre qu'il existe une telle valeur et comment la déterminer). L'équation se résout alors comme dans le cas réel, c'est-à-dire qu'elle s'écrit :

<math>\left(x + \frac b{2a}\right)^2 - \left(\frac {\delta}{2a}\right)^2 = 0\quad\text{avec}\quad \delta^2 = \Delta</math>

L'identité remarquable traitant de la différence de deux carrés permet encore d'écrire dans l'ensemble des nombres complexes :

<math>\left(x + \frac b{2a} + \frac {\delta}{2a}\right)\left(x + \frac b{2a} - \frac {\delta}{2a}\right) = 0. </math>

Ce qui permet d'énoncer le résultat : Modèle:Théorème

Remarque : Les solutions d'une équation du second degré à coefficients complexes sont en général deux nombres complexes qui ne sont pas conjugués, contrairement au cas d'une équation du second degré à coefficients réels dont le discriminant est strictement négatif.

Généralisation à d'autres corps

Les formules ci-dessus (et leur démonstration) restent valables si Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar appartiennent à un corps commutatif Modèle:Mvar de caractéristique différente de 2, en prenant au besoin Modèle:Mvar (racine carrée de Modèle:Math) dans une extension quadratique de Modèle:Mvar (comme on l'a fait pour <math>K=\R</math> dans le cas Modèle:Math).

Exemples

Dans Modèle:Math = F₃ = ℤ/3ℤ (qui est un corps fini de caractéristique 3), soient :

• Modèle:Math. Alors, <math>\Delta=-3=0</math> donc l'équation Modèle:Math a une solution double dans F₃ : <math>x=\frac{-1\pm0}2=1</math> ;
• Modèle:Math et Modèle:Math. Alors, <math>\Delta=-4=-1</math> n'a pas de racine carrée dans Modèle:Math, mais il en a une, Modèle:Mvar, dans le corps fini F₉ à 9 éléments. L'équation Modèle:Math n'a donc pas de solution dans F₃ mais ses deux solutions dans F₉ sont <math>\frac{0\pm\delta}2=\mp\delta</math>.

Calcul numérique

Une mise en informatique « naïve » de la méthode de résolution peut mener à des résultats de précision médiocre dans certains cas.

Dans un ordinateur, la précision des nombres est limitée par le mode de représentation. Si l'on utilise la double précision selon la norme IEEE 754, la valeur absolue des nombres est limitée à environ [10^–307 ; 10³⁰⁸].

Erreur d'arrondi

Lorsque Modèle:Math, le calcul de <math> \dfrac{-b + \sgn(b)\sqrt{\Delta}}{2a}</math> où Modèle:Math est le signe de Modèle:Mvar, conduit à calculer la différence des deux nombres Modèle:Racine et Modèle:Math. Si ce calcul est fait numériquement, cela entraîne une perte de précision, surtout lorsque Modèle:Racine est très proche de Modèle:Math, c'est-à-dire quand Modèle:Math est petit par rapport à Modèle:Math. On parle alors d'algorithme de calcul numériquement instable.

Michaël Baudin<ref name="scilab">Modèle:Lire en ligne, Consortium Scilab.</ref> propose l'exemple suivant :

<math>\varepsilon x^2 + (1/\varepsilon) x - \varepsilon. </math>

Lorsque Modèle:Mvar (positif) tend vers 0, on est bien dans le cas où Modèle:Math. Le comportement asymptotique des racines est

<math>x_1 \simeq 1/\varepsilon^2,\ x_2 \simeq \varepsilon^2</math>

mais l'erreur de troncature donne des erreurs importantes par rapport à ces valeurs attendues.

Press et coll<ref>Modèle:Chapitre.</ref>. recommande le calcul de la valeur intermédiaire

<math>q = - \frac{b + \sgn(b)\sqrt{\Delta}}{2}</math>

ce qui permet d'obtenir les racines

<math>x_1 = \frac{q}{a} \text{ ; } x_2 = \frac{c}q. </math>

Remarquons que comme le coefficient Modèle:Mvar est réputé grand (tout du moins devant Modèle:Mvar), on peut encore gagner en précision en utilisant le discriminant réduit :Modèle:Refnec

<math>b' = b/2 \text{ ; } \Delta' = b'^2 - ac \text{ ; } q' = - (b' + \sgn(b')\sqrt{\Delta'})</math>

<math>x_1 = \frac{q'}{a} \text{ ; } x_2 = \frac{c}{q'}. </math>

Une manière équivalente<ref>Michel Pignat et Jean Vignès, Ingénierie du contrôle de la précision des calculs sur ordinateur.</ref> consiste à calculer d'abord la racine ayant un signe effectif « + »

<math> x_1=\dfrac{-b - \sgn(b)\sqrt{\Delta}}{2a}</math>,

proche de Modèle:Math, et d'utiliser la propriété sur le produit des racines pour déterminer l'autre racine à l'aide de l'égalité

<math> x_2=\frac c{ax_1}. </math>

Ce nouvel algorithme est dit numériquement stable, car aucune erreur n'est amplifiée par une des étapes du calcul.

Dépassement

Lorsque Modèle:Math prend des valeurs importantes, le calcul de Modèle:Math, pour le discriminant, risque de créer une erreur de dépassement (si Modèle:Math). On peut prendre par exemple<ref name="scilab" />

<math>x^2 + (1/\varepsilon) x + 1. </math>

Lorsque Modèle:Mvar (positif) tend vers 0, le comportement asymptotique des racines est

<math>x_1 \simeq -1/\varepsilon,\ x_2 \simeq -\varepsilon.</math>

Mais alors que la valeur finale de Modèle:Math est représentable (Modèle:Math), le calcul du discriminant provoque une erreur de dépassement.

Là encore, on a intérêt à utiliser le discriminant réduit : Modèle:Math, ce qui réduit d'un facteur quatre le risque de dépassement.

On peut ensuite factoriser de manière intelligente le calcul du discriminant. Si Modèle:Math est grand devant Modèle:Math ou bien devant Modèle:Math (et non nul), on peut écrire :

<math>\Delta' = b'^2 \left( 1 - \frac{ac}{b'^2} \right) = b'^2 \left( 1 - \frac{a}{b'} \frac{c}{b'} \right) . </math>

On définit alors

<math>e = 1 - \frac{a}{b'}\frac{c}{b'}</math>

qui diminue le risque d'erreur de dépassement, puisque soit Modèle:Math, soit Modèle:Math ; puis

<math>\sqrt{\Delta'} = \pm |b'| \sqrt{|e|}</math>

et l'on n'élève donc pas Modèle:Mvar au carré.

Si au contraire Modèle:Math (non nul), on peut alors écrire

<math>\Delta' = c \left ( b' \cdot \frac{b'}{c} - a \right ). </math>

On définit alors

<math>e = b' \cdot \frac{b'}{c} - a</math>

dont le calcul diminue le risque d'erreur de dépassement, puisque Modèle:Math, et

<math>\sqrt{\Delta'} = \pm \sqrt{| c |} \sqrt{|e|}. </math>

Sensibilité aux petites variations

Si l'on calcule les dérivées partielles des racines par rapport aux coefficients de l'équation (en supposant Modèle:Math et Modèle:Math) :

<math>\left \{ \begin{align}

\frac{\partial x_{1, 2}}{\partial a} =\ & \frac{c}{a \sqrt{\Delta}} + \frac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2a^2} \\ \frac{\partial x_{1, 2}}{\partial b} =\ & \frac{-1 \pm b/\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \frac{\partial x_{1, 2}}{\partial c} =\ & \pm \frac{1}{\sqrt{\Delta}} \end{align} \right .</math> on voit que si Modèle:Mvar ou Modèle:Math sont proches de 0, alors les dérivées partielles sont très grandes, ce qui signifie qu'une petite variation sur les coefficients entraîne une grande variation de la valeur des racines. Dans de telles conditions, une petite erreur de troncature peut entraîner une grande erreur sur le résultat.

Si le discriminant est nul, on retrouve le même problème lorsque Modèle:Mvar est proche de zéro :

<math>\left \{ \begin{align}

\frac{\partial x_{1, 2}}{\partial a} =\ & \frac{b}{2a^2} \\ \frac{\partial x_{1, 2}}{\partial b} =\ & \frac{-1}{2a} \\ \frac{\partial x_{1, 2}}{\partial c} =\ & 0. \end{align} \right . </math>

Dans les deux cas, on a un problème dit « mal conditionné ».

Algorithme itératif

Une manière d'éviter les problèmes sus-cités consiste à utiliser un algorithme itératif, par exemple l'Modèle:Lien qui permet d'obtenir les racines d'un polynôme Modèle:Mvar quelconque.

Si l'on connaît la première racine Modèle:Math, alors Modèle:Mvar peut s'écrire

<math>P(x) = (x - x_1)H</math>

où Modèle:Mvar est un polynôme de degré inférieur de 1 à Modèle:Mvar — dans le cas présent, on a Modèle:Math, voir la section Forme réduite. L'algorithme recherche cette première racine en utilisant une suite de polynômes Modèle:Math approchant Modèle:Mvar. Cette suit est construite de manière récursive :

<math>\left \{ \begin{align}

H_0(x) =\ & P'(0) \\ (x - s_i) \cdot H_{i + 1}(x) \equiv\ & H_i(x) \mod(P(x)) \end{align} \right .</math> où Modèle:Math est une suite de nombres.

La première étape consiste à calculer les cinq premiers termes, Modèle:Math à Modèle:Math, avec une suite nulle (s₀ = … = s₄ = 0). Cela donne un ordre de grandeur de la racine la plus petite et permet éventuellement de normaliser les coefficients de l'équation si cette valeur est trop grande ou trop petite. On évite ainsi les problèmes de dépassement ou de soupassement.

La deuxième étape consiste à calculer les neuf premiers termes en prenant une suite uniforme. Il s'agit d'une valeur complexe dont l'argument est pris au hasard (Modèle:Mvar = rand), et dont l'affixe R est la solution de l'équation

<math>R^2 + |b|R = c</math>

que l'on peut trouver de manière simple (par exemple avec la méthode de Newton-Raphson), la fonction de gauche étant monotone et convexe. On prend donc

<math>s = R \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math>

et si la méthode ne converge pas, on choisit un autre argument.

La troisième étape consiste à calculer les termes de rang supérieurs à 10 en utilisant la raison :

<math>s_{i + 1} = s_i + \frac{P(s_i)}{\overline{H}_i(s_i)}</math>

où Modèle:Surligner est le coefficient Modèle:Mvar normalisé, c'est-à-dire que ses coefficients sont divisés par le coefficient du degré le plus élevé.

Cet algorithme présente des similitudes avec Newton-Raphson, les polynômes Modèle:Mvar jouant le rôle des dérivées.

Cet algorithme peut être adapté si le coefficients de l'équation sont réels ; il est alors plus rapide et plus stable.

Voir aussi

Article connexe

Forme quadratique

Bibliographie

• J. Merker, Du trinôme du second degré à la théorie de Galois, Presses universitaires de Franche-Comté (2007) Modèle:ISBN
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:AlgèbreBabylone