1 729 (nombre)

1 729 (mille-sept-cent-vingt-neuf) est l'entier naturel qui suit 1 728 et précède 1 730.

Propriétés

Nombre de Hardy-Ramanujan

1 729 est également connu sous le nom de « nombre de Hardy-Ramanujan » ; il s'agit du plus petit entier naturel s'écrivant de deux manières différentes comme somme de deux cubes<ref>Il existe des entiers naturels plus petits que 1 729 pouvant s'écrire de deux manières différentes comme somme de deux cubes d'entiers relatifs, comme 91 = 6Modèle:3 + (–5)Modèle:3 = 4Modèle:3 + 3Modèle:3 ou Modèle:Nobr mais dans le cas exposé ici, il s'agit de sommes d'entiers naturels.</ref> :

<math>1729 = 12^3+1^3 = 10^3+9^3</math>

Il s'agit donc du nombre taxicab d'ordre 2.

Bien qu'elle ait été découverte en 1657 par Bernard Frénicle de Bessy, la propriété de 1 729 ainsi que son nom sont liés à une anecdote relatée par le mathématicien britannique Godfrey Harold Hardy après une visite à son collègue indien hospitalisé Srinivasa Ramanujan, en 1917<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press, 1940, 153 pages Modèle:ISBN.</ref> : Modèle:Citation bloc

Autres propriétés

1 729 est également :

• le troisième nombre de Carmichael, c'est-à-dire un nombre pseudo-premier vérifiant la propriété du petit théorème de Fermat. C'est aussi le premier nombre de Chernick, c'est-à-dire un nombre de Carmichael de la forme (6k + 1)(12k + 1)(18k + 1), k valant 1 ici ;
• un nombre de Zeisel, c'est-à-dire que ses facteurs premiers sont au moins trois et suivent une progression arithmético-géométrique (ici, une progression arithmétique de raison 6) : Modèle:Nobr
• le produit d'un nombre premier : 19, par son inversé : 91 (= 7 × 13),
• l'un des quatre nombres (les trois autres sont 1, 81 et 1 458) dont la somme des chiffres multipliée par le nombre inversé redonne le nombre de départ<ref name="Delahaye"/> : 1 + 7 + 2 + 9 = 19 et 19 × 91 = 1 729,
• un nombre Harshad en bases 8, 10 et 16, c'est-à-dire divisible par la somme de ses chiffres,
• la position du début de l'emplacement, dans les décimales du [[e (nombre)|nombre Modèle:Math]], de la séquence 0719425863, qui est la première occurrence d'une séquence de longueur 10 contenant chaque chiffre une et une seule fois<ref name="Delahaye">Delahaye Jean-Paul, « Mille collections de nombres », Pour la Science, mai 2009, Modèle:P.90.</ref>,
• un nombre polygonal (plus précisément dodécagonal, 24-gonal et 84-gonal) et le Modèle:10e nombre cubique centré (10Modèle:3 + 9Modèle:3),
• 12Modèle:3 + 1<ref name="Delahaye"/>,
• le quatrième nombre « factoriel sextuple »<ref name="Delahaye"/>, c'est-à-dire un produit de termes successifs de la forme 6n + 1 : 1 × 7 × 13 × 19 = 1 729,
• la somme des diviseurs d'un carré parfait<ref name="Delahaye"/> : 33²,
• un nombre identifié par erreur comme peu intéressant,
• un nombre apparaissant dans la borne <math>n_0 = 2^{1729^{12}}</math>, la première à avoir été déterminée telle que pour tout entiers supérieurs à <math>n_0</math> on peut appliquer l'algorithme galactique de multiplication de Harvey et van der Hoeven, qui a une complexité en temps <math>\mathcal{O}(n \log n)</math><ref name="HarveyHoeven">Modèle:Article.</ref><ref>Modèle:Article.</ref>.