Angle d'or
L'angle d’or est un angle valant Modèle:Nobr l'angle plat soit environ 137,51°. Il est lié au nombre d'or.
Définitions
En géométrie
(Modèle:Mvar étant le nombre d'or).
En géométrie, l'angle d'or est l'angle sous-tendu par le plus petit des deux arcs créés en divisant la circonférence Modèle:Mvar d'un cercle en deux sections dont les longueurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont dans un rapport égal au nombre d'or Modèle:Mvar.
En conséquence:
- <math>c=a+b \,</math>
- <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{a}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}2={\varphi}^2-1</math>
L'angle d'or, sous-tendu par l'arc de cercle Modèle:Mvar, mesure en radians :
- <math>\theta_1=\frac{2 \pi}{\varphi^2}={2\pi}(1-\frac1{\varphi})= \pi(3-\sqrt{5})=2,39996323...</math>
Démonstration
Comme l'arc intersecté par cet angle et la circonférence du cercle sont proportionnels :
- <math>\theta_1/b = {2 \pi}/c </math>
- <math>\theta_1 = {2 \pi}b/c </math>
- <math> \theta_1 = {2 \pi}b/(a+b)</math>
- <math> \theta_1 = {2 \pi}/(a/b+1)</math>
- <math> \theta_1 = {2 \pi}/({\varphi}+1)={2 \pi}\frac{{\varphi}-1}{({\varphi}+1)({\varphi}-1)}={2 \pi}\frac{{\varphi}-1}{({\varphi}^2-1)}={2 \pi}(1-1/{\varphi})={2 \pi}(1-\frac2{1+\sqrt5})={2 \pi}(1+\frac{1-\sqrt5}2)=\pi(3-\sqrt{5})</math>
- <math> \theta_1 = {2 \pi}/{\varphi}^2</math>
Il mesure en degrés :
- <math>\frac{360}{\varphi^2}=180(3-\sqrt{5})=137,5077641...</math> soit Modèle:Angle
L'angle d'or rentrant, sous-tendu par l'arc de cercle Modèle:Mvar, mesure en radians :
- <math>\theta_2=2\pi-\theta_1=\frac{2 \pi}{\varphi}= \pi(\sqrt{5}-1)=3,88322207...</math>
Il mesure en degrés :
- <math>\frac{360}{\varphi}= 180(\sqrt{5}-1)=222,492236...</math> soit Modèle:Angle
Dans la nature
On retrouve cet angle à plusieurs reprises dans la nature<ref>Modèle:Article</ref>. Par exemple, les écailles des pommes de pin , ou les fleurons du tournesol<ref>Modèle:Article</ref> sont disposées le long de spirales logarithmiques, deux écailles ou fleurons successifs formant un angle d'or avec le centre de la spirale<ref>Modèle:Lien web</ref>. Apparaissent alors des spirales secondaires dont le nombre est toujours un élément de la suite de Fibonacci. Stéphane Durand explique que cette disposition correspond à l'optimisation de l'occupation de l'espace dans le plan<ref>Modèle:Lien web</ref>. Il existe des exposés détaillés de ce phénomène<ref>Modèle:Article</ref>,<ref>Modèle:Article.</ref>.
En imagerie médicale
L’imagerie à résonance magnétique (IRM) utilise plusieurs méthodes d'échantillonnage. L'une d'elles, radiale avec incrémentation d'une valeur nommée « angle d'or », utilise la valeur Modèle:Unité<ref>Modèle:Article</ref>,<ref name=":0">Modèle:Article</ref>
Propriété des multiples fibonacciens de l'angle d'or
D'après la formule de Binet exprimant les nombres de Fibonacci : <math>F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}</math> où <math>\psi=-1/\varphi</math>, on a <math>{F_n\over{\varphi}}-F_{n-1}\sim{\psi^{n-1}\over \sqrt{5}}\longrightarrow0</math> quand n tend vers l'infini.
On en déduit que <math>F_n\theta_2-F_{n-1}.2\pi</math> tend vers 0 et que donc les multiples successifs de l'angle d'or rentrant par les nombres de Fibonacci tendent vers l'angle nul (et de même pour l'angle d'or (sortant)).
