Conjecture de Catalan
La conjecture de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en Modèle:Date- par Preda Mihăilescu<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Catalan's problem, sur Prime Pages.</ref>.
Ce théorème s'énonce de la façon suivante :
(Une puissance parfaite est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 64.)
En d'autres termes, la seule solution en nombres naturels de l'équation
- xa − yb = 1
pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.
La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Jeanine Daems, A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture, sept. 2003.</ref>.
Historique
Catalan a formulé sa conjecture en 1844<ref name = "boyer34">Modèle:Ouvrage.</ref>, sa résolution s'est écoulée sur 150 ans.
Résolution de cas particuliers
En 1850, Victor-Amédée Le Besgue montre que pour tout nombre premier <math>p</math>, l'équation <math>x^p - y^2 = 1</math> n'a pas de solution non triviale en nombres entiers<ref name = "boyer31">Modèle:Ouvrage.</ref>. En 1965, Ke Zhao montre que si <math>q</math> est un nombre premier alors les solutions triviales <math>(q = 3; x = 3; y = 2)</math> et <math>(q = 3; x = -3; y = 2)</math> sont les uniques solutions de l'équation <math>x^2 - y^q = 1</math><ref name = "boyer34"/>.
Résolution complète
Démontré en 1976, le théorème de Tijdeman affirme que l'équation de Catalan ne possède qu'un nombre fini de solutions. Preda Mihăilescu démontre la conjecture de Catalan en 2003, en se plaçant dans le cadre de la théorie des corps cyclotomiques et ce de manière inattendue car cette théorie est insuffisante pour résoudre d'autres équations diophantiennes comme notamment celle du grand théorème de Fermat<ref name = "boyer34"/>.
Variante : la conjecture de Pillai
La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles.
La table suivante (voir Modèle:OEIS pour le plus petit k et Modèle:OEIS pour le nombre de solutions) donne les valeurs connues en 2005 pour n< 65.
| n | entiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiers | n | entiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiers |
| 1 | 8 | 33 | 16, 256 |
| 2 | 25 | 34 | |
| 3 | 1, 125 | 35 | 1, 289, 1296 |
| 4 | 4, 32, 121 | 36 | 64, 1728 |
| 5 | 4, 27 | 37 | 27, 324, 14348907 |
| 6 | 38 | 1331 | |
| 7 | 1, 9, 25, 121, 32761 | 39 | 25, 361, 961, 10609 |
| 8 | 1, 8, 97336 | 40 | 9, 81, 216, 2704 |
| 9 | 16, 27, 216, 64000 | 41 | 8, 128, 400 |
| 10 | 2187 | 42 | |
| 11 | 16, 25, 3125, 3364 | 43 | 441 |
| 12 | 4, 2197 | 44 | 81, 100, 125 |
| 13 | 36, 243, 4900 | 45 | 4, 36, 484, 9216 |
| 14 | 46 | 243 | |
| 15 | 1, 49, 1295029 | 47 | 81, 169, 196, 529, 1681, 250000 |
| 16 | 9, 16, 128 | 48 | 1, 16, 121, 21904 |
| 17 | 8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904 | 49 | 32, 576, 274576 |
| 18 | 9, 225, 343 | 50 | |
| 19 | 8, 81, 125, 324, 503284356 | 51 | 49, 625 |
| 20 | 16, 196 | 52 | 144 |
| 21 | 4, 100 | 53 | 676, 24336 |
| 22 | 27, 2187 | 54 | 27, 289 |
| 23 | 4, 9, 121, 2025 | 55 | 9, 729, 175561 |
| 24 | 1, 8, 25, 1000, 542939080312 | 56 | 8, 25, 169, 5776 |
| 25 | 100, 144 | 57 | 64, 343, 784 |
| 26 | 1, 42849, 6436343 | 58 | |
| 27 | 9, 169, 216 | 59 | 841 |
| 28 | 4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044 | 60 | 4, 196, 2515396, 2535525316 |
| 29 | 196 | 61 | 64, 900 |
| 30 | 6859 | 62 | |
| 31 | 1, 225 | 63 | 1, 81, 961, 183250369 |
| 32 | 4, 32, 49, 7744 | 64 | 36, 64, 225, 512 |
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Liens externes
- Modèle:Article ou Modèle:Article
- Jacques Boéchat et Maurice Mischler, La conjecture de Catalan racontée à un ami qui a le temps, 2005. Modèle:Arxiv.
- Vincent Brayer, Méthodes algébriques dans la conjecture de Catalan, École polytechnique fédérale de Lausanne, Département de mathématiques, Lausanne, févr. 2004, iv + 46 pp.
- Henri Cohen, Démonstration de la conjecture de Catalan, Laboratoire A2X, U.M.R. 5465 du C.N.R.S., Université de Bordeaux, 83 pp.
- Modèle:Article.
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Page personnelle de Preda Mihăilescu à l'université de Paderborn.
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Ivars Peterson's MathTrek, sur le site de la MAA.
- Gérard Villemin, Conjecture de Catalan.
Bibliographie
{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lien, Catalan's Conjecture, Springer-Verlag, 2008
Articles connexes
- Théorème de Tijdeman
- Conjecture de Fermat-Catalan, combinant les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan.
