Lagrangien

Modèle:Voir homonymes Modèle:À sourcer En physique, le lagrangien d'un système dynamique est une fonction des variables dynamiques qui permettent d'écrire de manière concise les équations du mouvement du système. Son nom vient de Joseph-Louis Lagrange, qui a établi les principes du procédé (à partir de 1788).

Le concept de lagrangien a pris une importance fondamentale en physique classique<ref name=":0">Modèle:Ouvrage</ref> ou quantique<ref name=":1">Modèle:Ouvrage</ref>comme base du principe de moindre action ; le théorème d'E. Noether établit le lien entre les symétries du lagrangien d'un système et les grandeurs physiques conservées<ref>Modèle:Article</ref>.

Les équations du mouvement

Considérons un système dynamique repéré par des paramètres de position Modèle:Mvar (aussi appelés coordonnées généralisées<ref name="Goldstein">Modèle:Ouvrage.</ref>). Au cours du temps, ces paramètres varient, leur taux de variation étant <math>\dot q_i = \frac{\mathrm dq_i}{\mathrm dt}</math>. L'ensemble des paramètres <math>\varphi_i</math> du système est constitué des Modèle:Mvar, des <math>\dot q_i</math> et du temps t. Dans un grand nombre de situations, il est possible de définir une fonction <math>\mathcal L[\varphi_i]</math> telle que, si on pose :

<math display=block>p_i = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}</math>

(la dérivée partielle étant calculée comme si les paramètres étaient indépendants entre eux), alors les équations du mouvement sont données par<ref name="Hakim">Modèle:Ouvrage</ref> :

<math display=block> \frac{\mathrm dp_i}{\mathrm dt} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}.</math>

Formellement, on constate que ces équations s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

<math display=block>\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0 </math>

avec l'action <math> \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,\mathrm d^ns}</math>.

Les équations du mouvement obtenues sont alors équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange issues du principe précédent. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, des équations de la relativité générale, et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.

Lagrangien en mécanique classique

La mécanique lagrangienne fut historiquement une reformulation de la mécanique classique à l'aide du concept de lagrangien<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Dans ce contexte, le lagrangien est généralement défini<ref>Modèle:Ouvrage</ref> par la différence entre l'énergie cinétique E_c = T et l'énergie potentielle E_p = V  :

<math display=block>\mathcal L= E_c - E_p = T - V.</math>

Avec ce formalisme, l'équation de Lagrange s'écrit :

<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_k}.</math>

Modèle:Démonstration{\partial q_k} \sum_j \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \dot q_j = \frac{\partial \dot \vec r_i}{\partial q_k}</math>. Donc : <math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_k} = \sum_i m_i \left\langle \ddot \vec r_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle + \sum_i m_i \left\langle \dot \vec r_i,\frac{\partial \dot \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle = \sum_i m_i \left\langle \ddot \vec r_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle + \frac{\partial T}{\partial q_k}</math> donc : <math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial T}{\partial q_k}= \sum_i m_i \left\langle \ddot \vec r_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle.</math> L'application du principe fondamental de la dynamique donne, en tenant compte que, en ce qui concerne les forces de liaisons, <math>\left\langle \vec f_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle = 0</math> : <math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial T}{\partial q_k}= \sum_i \left\langle \vec F_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle.</math> Supposons que chaque force <math>\vec F_i</math> dérive d'un potentiel Modèle:Mvar fonction de <math>\vec r_i</math>, de sorte que <math>\vec F_i = - \vec \nabla U_i</math> (où <math>\vec \nabla</math> désigne le gradient). On a alors : <math display=block> \left\langle \vec F_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k}\right\rangle = - \left\langle \vec \nabla U_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle = - \frac{\partial U_i}{\partial q_k}</math> et donc : <math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial T}{\partial q_k}= - \sum_i \frac{\partial U_i}{\partial q_k} = - \frac{\partial V}{\partial q_k}</math> en prenant pour Modèle:Mvar la somme des Modèle:Mvar. La fonction Modèle:Mvar ne dépend que des Modèle:Mvar donc, si l'on pose <math>\mathcal L= T - V</math>, on obtient : <math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_k}</math> qui est bien l'équation de Lagrange annoncée.}}

Non-unicité du lagrangien

Pour un lagrangien <math>L=L(q_i, \dot{q}_i, t)</math> donné, s'il est possible de le réécrire comme <math>L=L'+\frac{\mathrm dF(q_i, t)}{\mathrm dt}</math> où Modèle:Mvar est une fonction continue et différentiable quelconque des coordonnées généralisées du système, alors <math>L'</math> satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange.

Cette propriété de transformation du lagrangien démontre que le lagrangien d'un système n'est jamais unique, car on peut toujours ajouter un terme de la forme <math>\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}</math> à un lagrangien tout en conservant les équations du mouvement.

Un exemple en coordonnées cartésiennes

La dérivée temporelle d'une variable est indiquée par un point porté au-dessus de celle-ci. Ainsi si <math>\vec{x}</math> est la position, <math>\vec{v}=\dot{\vec{x}}</math> désigne la vitesse et <math>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{x}}</math> l'accélération.

Le lagrangien d'une particule de masse m non relativiste dans un espace euclidien à trois dimensions, soumise à un potentiel Modèle:Math s'écrit :

<math display="block">L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ E_c - E_p \ = \ \frac{1}{2} \ m \ {\vec{v}}^2 \ - \ V(\vec{x}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})</math>

ou encore <math display=block>L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{\vec{p}\,^2}{2m} \ \ - \ V(\vec{x})</math> où p est la quantité de mouvement : <math display=block>\vec{p} \ = \ m \ {\vec{v}} \ = \ m \ \dot{\vec{x}}</math>

Appliquons les équations d'Euler-Lagrange en coordonnées cartésiennes : <math display=block>\frac{\mathrm d~}{\mathrm dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ 0</math> où l'indice i désigne l'une des 3 variables spatiales : Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. Les dérivées respectives de <math>L(\vec{x}, \dot{\vec{x}})</math> donnent alors :

<math display=block> \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_i} </math>

<math display=block> \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ m \, \dot{x}_i </math>

<math display=block>\frac{\mathrm d~}{\mathrm dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i </math>

donc on obtient explicitement pour chaque axe spatial _i :

<math display=block> m \, \ddot{x}_i \ + \ \frac{\partial V}{\partial x_i} \ = \ 0</math>

Dans un référentiel galiléen et lorsque la force dérive du potentiel V

<math display="block">\vec{F}_{\text{resultante}} \ = \ - \ \vec{\nabla} V(x)</math> on retrouve bien la deuxième loi de Newton :

<math display="block">m \ \vec{a} \ = m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ \vec{F}_{\text{resultante}}.</math>

En coordonnées sphériques

Soit un espace à trois dimensions en coordonnées sphériques <math>(r,\theta,\varphi)</math>, et le lagrangien :

<math display="block">L = \frac{m}{2}\left( \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2(\theta) \, \dot{\varphi}^2 \right)-V(r, \theta, \varphi).</math>

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors : <math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left( \frac{\delta(L)}{\delta(\dot{r})} \right) - \frac{\delta(L)}{\delta(r)} = 0</math> <math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left( \frac{\delta(L)}{\delta(\dot{\theta})} \right) - \frac{\delta(L)}{\delta(\theta)} = 0</math> <math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left( \frac{\delta(L)}{\delta(\dot{\varphi})} \right) - \frac{\delta(L)}{\delta(\varphi)} = 0.</math>

Soit ici :

<math display="block">m\, \ddot{r}-m\,r \left( \dot{\theta}^2+\sin^2(\theta)\,\dot{\varphi}^2\right) + V_r' =0,</math>

<math display="block">\left( m \, r^2 \, \ddot{\theta} \right) + 2 \, m \, r \, \dot{r}\dot{\theta} -m \, r^2\sin(\theta)\cos(\theta) \, \dot{\varphi}^2 + V_{\theta}'=0,</math>

<math display="block">m \left(r^2\sin^2(\theta) \, \ddot{\varphi} + 2 \, r \, \dot{r} \sin^2(\theta) \, \dot{\varphi} + 2\, r^2 \cos(\theta) \sin(\theta) \, \dot{\theta} \, \dot{\varphi} \right)+ V_{\varphi}' =0.</math>

Ici l'ensemble des paramètres <math>s_i</math> se réduit au temps <math>t</math>, et les variables dynamiques <math>\varphi_i(s)</math> sont les trajectoires <math>\vec x(t)</math> des particules.

Lagrangien dans la théorie des champs

Notation

L'intégrale du lagrangien sur le temps est l'action, notée <math>S</math>. Dans la théorie des champs, on distingue parfois le lagrangien <math>L</math>, dont l'intégrale sur le temps est l'action :

<math display=block>S = \int{L \,\mathrm dt}</math>

de la densité lagrangienne <math>\mathcal{L}</math>, qu'on intègre sur tout l'espace-temps pour obtenir l'action :

<math display=block>S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\,\mathrm d^4x}.</math>

Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souvent <math>\mathcal{L}</math> simplement le lagrangien, surtout dans l'usage moderne. C'est plus simple dans les théories relativistes où l'espace est défini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable spatiale <math>\vec x</math> dans les index <math>i</math> ou dans les paramètres <math>s</math> pour écrire <math>\varphi_i(s)</math>. Les théories quantiques des champs en physique des particules, comme l'électrodynamique quantique, sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiens <math>\mathcal{L}</math>, ces termes se transformant facilement pour donner les règles permettant d'évaluer les diagrammes de Feynman.

Équations d'Euler-Lagrange

Les équations d'Euler-Lagrange en théorie des champs s'écrivent <math>\forall i</math> :

<math display=block> 0 = \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi_i}. </math>

Non-unicité de la densité lagrangienne en théorie des champs classique

Comme pour la non-unicité du lagrangien, la densité lagrangienne en théorie des champs n'est pas unique. En effet, soit une densité lagrangienne <math>\mathcal{L}</math> alors, si on peut la réécrire comme <math>\mathcal{L}=\mathcal{L}' + \partial_\mu F^\mu</math> où <math>F^\mu = F^\mu[\varphi, x]</math> est un quadrivecteur qui dépend uniquement des champs (et non de leurs dérivées) et du vecteur d'espace-temps, alors <math>\mathcal{L}'</math> satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que <math>\mathcal L</math>.

Modèle:Démonstration{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi_i}\\ &= \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\varphi_i} + \partial_\mu\left[\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\partial_\nu F^\nu\right] - \frac{\partial}{\partial\varphi_i}\partial_\nu F^\nu\end{align}</math>

On peut réécrire la quadridivergence du vecteur <math>F^\nu</math> comme : <math display=block> \begin{align} \partial_\mu F^\mu[\varphi_i, x] &= \sum_i\frac{\partial F^\mu}{\partial\varphi_i}\partial_\mu\varphi_i\\ \rightarrow \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\partial_\nu F^\nu &= \frac{\partial F^\nu}{\partial\varphi_i}. \end{align}</math>

Ainsi, en insérant cette identité dans l'équation du haut on obtient : <math display=block> \begin{align} 0 &= \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\varphi_i} + \partial_\mu\left[\frac{\partial F^\mu}{\partial\varphi_i}\right] - \frac{\partial}{\partial\varphi_i}\partial_\nu F^\nu\\ &= \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\varphi_i} \end{align}</math>

et ainsi, la densité lagrangienne <math>\mathcal L'</math> satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que la densité <math>\mathcal L</math>. }}

Lagrangien d'une particule chargée

En général, en mécanique classique lagrangienne, le lagrangien vaut<ref name=":0" /> : <math display=block> L = T - V </math> Où T est l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle.

Étant donné une particule chargée électriquement de masse m et charge q, et de vitesse <math>\vec{v}</math> dans un champ électromagnétique de potentiel scalaire <math>\phi</math>, et de potentiel vecteur <math>\vec{A}</math>, l'énergie cinétique de la particule est : <math display=block> T = {1 \over 2} m \vec v\cdot \vec v</math> et son énergie potentielle est : <math display=block> V = q\phi - q \vec v\cdot \vec A.</math>

Le lagrangien électromagnétique est alors (voir ref.<ref name=":0" />, chapitre 3) : <math display=block> L = {1 \over 2} m \vec v\cdot \vec v- q\phi + q \vec v\cdot \vec A.</math>

Modèle:Démonstration{\partial y}+\dot z \frac{\partial A_{x}}{\partial z} \\ \dot x\frac{\partial A_{y}}{\partial x}+ \dot y\frac{\partial A_y}{\partial y}+\dot z \frac{\partial A_{y}}{\partial z} \\ \dot x\frac{\partial A_{z}}{\partial x}+ \dot y\frac{\partial A_{z}}{\partial y}+\dot z \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{pmatrix} = ( \dot x\frac{\partial }{\partial x}+ \dot y\frac{\partial }{\partial y}+\dot z \frac{\partial }{\partial z})\begin{pmatrix}{} A_x\\ A_y\\ A_z\end{pmatrix}=\left[ \begin{pmatrix}{} \dot x \\ \dot y \\ \dot z \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix}{}A_x\\ A_y\\ A_z\end{pmatrix} </math>

donc : <math>\frac{\mathrm d\vec A}{\mathrm dt}=\frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A</math> <math>\Rightarrow\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial V'}{\partial\vec v} =-q\frac{\mathrm d\vec A}{\mathrm dt}=-q\left[ \frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A\right]\Rightarrow\vec F=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial\vec v}q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)]- \frac{\partial}{\partial\vec r}q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)] </math>. <math display=block> V'=q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)]</math> satisfait l'équation de Lagrange (*) vue supra. <math>V'</math> est donc l'énergie potentielle relative à la force de Lorentz dont le lagrangien est <math> \quad L=\frac{1}{2}m\vec {v}^2 - q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)] </math>.}}

Modèle:Démonstration =\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left (m \dot{x_1} + q A_1\right) = m\frac{\mathrm d^2x_1}{\mathrm dt^2} + q\frac{\mathrm d A_1}{\mathrm dt}.</math> Or la dérivée totale par rapport au temps de <math>A_1</math> est égale à sa dérivée particulaire : <math display=block>\frac{\mathrm d A_1}{\mathrm dt}=\frac{\partial A_1}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \dot{x_i}\frac{\partial A_1}{\partial x_i}.</math> D'où l'expression de l'équation du mouvement pour la composante n°1 : <math display=block> m\frac{\mathrm d^2x_1}{\mathrm dt^2}+q\frac{\mathrm d A_1}{\mathrm dt}= q \sum_{i=1}^3 \dot{x_i} \frac{\partial A_i}{\partial x_1} - q \frac{\partial \phi}{\partial x_1} </math> <math display=block> m\frac{\mathrm d^2x_1}{\mathrm dt^2}+q\frac{\partial A_1}{\partial t}+ q\sum_{i=1}^3 \dot{x_i}\frac{\partial A_1}{\partial x_i} = q \sum_{i=1}^3 \dot{x_i} \frac{\partial A_i}{\partial x_1} - q \frac{\partial \phi}{\partial x_1} </math> En simplifiant, il reste : <math display=block> m\frac{\mathrm d^2x_1}{\mathrm dt^2}= - q\frac{\partial A_1}{\partial t} - q \frac{\partial \phi}{\partial x_1} + q \dot{x_2} \left( \frac{\partial A_2}{\partial x_1} - \frac{\partial A_1}{\partial x_2} \right)+ q \dot{x_3} \left( \frac{\partial A_3}{\partial x_1} - \frac{\partial A_1}{\partial x_3} \right). </math> Avec <math> \vec B =\vec\nabla \times \vec A </math> et <math>\vec E = - \frac{\partial\vec A}{\partial t}-\vec \nabla\phi</math>, on reconnait à droite de l'égalité l'expression de la première composante de la force de Lorentz. On procède de même pour les autres composantes}}

Lagrangien du champ électromagnétique

On se place dans l'espace de Minkowski <math>\mathcal M</math> de la relativité restreinte. En présence de termes sources <math> J^\mu=(\rho c , \vec{j})</math>, la densité lagrangienne du champ électromagnétique est donnée par <math display=block> \mathcal L = -\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + J^\mu A_\mu </math> où <math>F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu</math> est le tenseur de Maxwell, et <math> A_\mu</math> est le quadrivecteur potentiel. Le premier terme est lié à la densité d'énergie du champ dans l'espace, et est l'invariant de Lorentz le plus simple du tenseur <math>F_{\mu \nu}</math>.

Exemples de densité lagrangiennes en théorie quantique des champs

Le lagrangien de Dirac

La densité lagrangienne pour un Modèle:Lien est<ref name=":1" /> : <math display="block"> \mathcal L= \bar \psi \left( i \,\hbar \, c \not\!D - m \, c^2 \right) \psi </math> où <math>\psi</math> est un spineur, <math> \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 </math> est son adjoint de Dirac, <math>D</math> est la dérivée covariante de jauge, et <math>\not\!D</math> est la notation de Feynman pour <math> \gamma^\sigma D_\sigma </math>.

Le lagrangien de l'électrodynamique quantique

La densité lagrangienne en électrodynamique quantique<ref>Modèle:Ouvrage</ref> (QED) est : <math display=block> \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar \psi (i \hbar c\not\!D - mc^2) \psi - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}</math> où <math>F^{\mu \nu}</math> est le tenseur électromagnétique.

Le lagrangien de la chromodynamique quantique

En chromodynamique quantique (QCD), la densité lagrangienne est<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html.</ref><ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Pdf http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf.</ref> : <math display=block> \mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = \sum_n \bar \psi_n (i \hbar c\not\!D - m_n c^2) \psi_n - {1\over 4} G^\alpha {}_{\mu\nu} G_\alpha {}^{\mu\nu} </math> où <math>D</math> est la dérivée covariante de jauge en QCD, et <math> G^\alpha {}_{\mu\nu} </math> est le tenseur de la force du champ du gluon.

Formalisme mathématique

Soit <math>M</math> une variété de dimension <math>n</math>, et une variété de destination <math>T</math>. Soit <math>\mathcal{C}</math> l'ensemble des fonctions <math>\mathcal{C}^\infty</math> de <math>M</math> dans <math>T</math>, appelé espace de configuration.

Avant tout donnons quelques exemples :

• en mécanique classique, dans le formalisme d'Hamilton, <math>M</math> est la variété de dimension 1 <math>\mathbb{R}</math>, qui représente le temps, et l'espace de destination est le fibré cotangent de l'espace des positions généralisées ;
• dans la théorie des champs, <math>M</math> est la variété espace-temps et l'espace de destination est l'ensemble des valeurs possibles des champs en chaque point. Si, par exemple, il y a <math>m</math> champs scalaires réels φ₁,...,φ_m, alors la variété de destination est <math>\R^m</math>. Si l'on a un champ de vecteurs réels, la variété de destination est isomorphe à <math>\R^n</math>. Il y a en fait une manière plus élégante d'utiliser le fibré tangent, mais on s'en tiendra à cette version.

Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle <math>S:\mathcal C\to\R</math>, qu'on appelle l'action physique. C'est une application vers <math>\R</math>, et non vers <math>\Complex</math>, pour des raisons physiques.

Pour que l'action soit locale, nous avons besoin de restrictions supplémentaires. Si <math>\varphi\in\mathcal{C},</math> on impose que S[φ] soit l'intégrale sur M d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangien <math>\mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial^2\varphi, \dots, x)</math>. En d'autres termes,

<math display="block">\forall\varphi\in\mathcal{C} \; , \; S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\varphi(x),\partial\varphi(x),\partial^2\varphi(x), \dots, x).</math>

La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leurs dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.

Fixons des conditions aux limites, essentiellement la donnée de φ aux frontières si M est compact, ou une limite pour φ quand x tend vers l'infini (ce qui est pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace de <math>\mathcal{C}</math> des fonctions φ telles que toutes les dérivées fonctionnelles de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites est l'espace des solutions physiques.

La solution est donnée par les équations d'Euler-Lagrange (en utilisant les conditions aux limites) :

<math display=block>\frac{\delta}{\delta\varphi}S=-\partial_\mu

\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.</math>

On retrouve la dérivée fonctionnelle par rapport à φ de l'action dans le membre de gauche.

Voir aussi

Bibliographie

• Francis Halbwachs et Jean-Marie Souriau, « Mécanique analytique », Encyclopedia Universalis, 1989, Modèle:T., Modèle:P.