Polynôme de Legendre

Polynômes de Legendre

En mathématiques et en physique théorique, les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions polynomiales Modèle:Math, sur l'intervalle Modèle:Math, de l'équation différentielle de Legendre :

<math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac\mathrm d{\mathrm dx}P_n(x)\right]+n(n+1)\,P_n(x)=0</math>,

dans le cas particulier où le paramètre Modèle:Mvar est un entier naturel.

De façon équivalente, les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme de ℝ[X] défini par :

<math>P\mapsto u(P)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm dP}{\mathrm d x}\right]</math>,

pour les valeurs propres <math>-n(n+1),\ n\in\mathbb{N}</math>.

Ces polynômes orthogonaux ont de nombreuses applications tant en mathématiques, par exemple pour la décomposition d'une fonction en série de polynômes de Legendre, qu'en physique, où l'équation de Legendre apparaît naturellement lors de la résolution des équations de Laplace ou de Helmholtz en coordonnées sphériques.

Définitions et propriétés générales

Définition en tant que solution de l'équation de Legendre

On appelle équation de Legendre l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2<ref>L'étude ci-dessous de cette équation constitue — aux notations près, le Modèle:Mvar de cette source désignant notre Modèle:Math — le problème 9.3 de Modèle:Ouvrage (énoncé p. 225 et corrigé p. 233, 234 et 235).</ref> :

<math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right]+\alpha(\alpha+1)\,y=0</math>,

avec en général <math>\alpha \in \mathbb{R}</math><ref group=note>Alors, sans perte de généralité, <math>\alpha\ge-1/2</math>, puisque <math>\alpha(\alpha+1)=\beta(\beta+1)</math> pour <math>\beta=-\alpha-1</math>.</ref>. On trouve les solutions non nulles de cette équation sous forme de séries entières en utilisant la méthode de Frobenius. D'après le théorème de Fuchs, puisque les seuls points singuliers de cette équation sont Modèle:Math et Modèle:Math<ref group=note>En effet, l'équation différentielle se met sous la forme <math>y+p(x)\,y'+q(x)\,y=0</math>, avec <math>p(x)=\frac{-2x}{1-x^2}</math> et <math>q(x)=\frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^2}</math>.</ref>, le rayon de convergence d'une telle série vaut au moins Modèle:Math. Si Modèle:Mvar n'est pas entier, ce rayon est exactement égal à Modèle:Math car la série ne peut pas converger à la fois en Modèle:Math et en Modèle:Math<ref group=note>En effet, les coefficients <math>a_n</math> d'une telle série entière vérifient la relation de récurrence <math>a_{n+2}=\frac{n(n+1)-\alpha(\alpha+1)}{(n+1)(n+2)}a_n</math>, or <math>\frac{n(n+1)-\alpha(\alpha+1)}{(n+1)(n+2)}=1-\frac2n+O\left(\frac1{n^2}\right)</math> donc d'après le critère de Gauss (corollaire de celui de Kummer), chacune des deux sommes <math>A=\sum_{k\in\N}a_{2k}</math> et <math>B=\sum_{k\in\N}a_{2k+1}</math> est infinie sauf si son premier terme est nul (auquel cas tous ses termes sont nuls), si bien que <math>A</math> ou <math>B</math> est infinie (puisqu'on a exclu la solution nulle).</ref>.

En revanche<ref group=note>D'après la relation de récurrence précédente.</ref>, si Modèle:Mvar est un entier naturel, une (et une seule) de ces séries entières converge sur Modèle:Math et vaut Modèle:Math au point Modèle:Math (cette solution est alors polynomiale, de degré Modèle:Mvar et de même parité que cet entier).

On peut donc définir le polynôme de Legendre Modèle:Mvar (pour tout entier naturel Modèle:Mvar) comme l'unique solution définie en Modèle:Math et Modèle:Math du problème de Cauchy<ref>Modèle:Lien web.</ref> :

<math>\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left[(1-x^2)\frac{\textrm{d}P_n(x)}{\textrm{d}x}\right]+n(n+1)\,P_n(x)=0,\qquad P_n(1)=1.</math>

Définition en tant que fonctions propres d'un endomorphisme

De façon plus abstraite, il est possible de définir les polynômes de Legendre Modèle:Mvar comme les fonctions propres pour les valeurs propres Modèle:Math, avec Modèle:Mvar entier, de l'endomorphisme défini sur <math>\R[X]</math>:

<math>P \in \R[X] \mapsto u(P)= \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P}{\textrm{d}x}\right]</math>.

Cette définition plus abstraite est intéressante notamment pour démontrer les propriétés d'orthogonalité des polynômes de Legendre Modèle:Infra.

Fonction génératrice

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa série génératrice :

<math>\frac{1}\sqrt{1-2xz+z^2}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)\,z^n</math>.

Cette expression intervient notamment en physique, par exemple dans le développement à grande distance du potentiel électrostatique ou gravitationnel (développement multipolaire).

Si l'on considère qu'en général Modèle:Mvar est complexe, le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :

<math>P_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint(1-2xz+z^2)^{-1/2}\,z^{-n-1}\,\mathrm dz</math>

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Il est possible de définir les polynômes de Legendre par cette fonction génératrice, comme les coefficients de l'expansion.

Autres définitions

Formule de récurrence de Bonnet

Cette formule permet rapidement d'obtenir l'expression du polynôme de Legendre d'ordre Modèle:Math à partir de ceux d'ordres Modèle:Mvar et Modèle:Math.

Pour tout entier Modèle:Math :

avec Modèle:Math et Modèle:Math. Elle se démontre facilement à partir de la fonction génératrice. Modèle:Démonstration = (1-2xt+t^2) \sum_{n=1}^\infty n P_n(x) t^{n-1}.</math>. En utilisant à nouveau <math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n</math>, il vient

<math>\sum_{n=0}^\infty xP_n(x) t^n-\sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^{n+1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)P_{n+1}(x) t^n-2\sum_{n=0}^\infty (n+1)x P_{n+1}(x) t^{n+1}+\sum_{n=0}^\infty (n+1)P_{n+1}(x) t^{n+2}.</math>

En identifiant alors les coefficients des termes de même puissance de Modèle:Mvar, il vient alors :

pour Modèle:Math, <math>xP_0(x)=P_1(x)</math>, soit en prenant pour condition de normalisation <math>P_0(x) = 1, \forall x \in [-1,1]</math>, il vient Modèle:Math ;
pour Modèle:Math, <math>3xP_1(x)-P_0(x)=2P_2(x)</math>, soit avec la même condition de normalisation que précédemment <math>P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2}</math>;
de façon générale pour Modèle:Math, <math> (2n+1)xP_n(x)=(n+1)P_{n+1}(x)+nP_{n-1}(x)</math>, ce qui redonne bien la formule de récurrence précédente.}}

Orthogonalité

Les polynômes de Legendre sont aussi caractérisés — à normalisation près par la condition Modèle:Math — par le fait que Modèle:Mvar est de degré Modèle:Mvar et pour tous entiers distincts Modèle:Math,

<math>\int_{-1}^1P_m(x) P_n(x)\,\mathrm dx =0</math>.

Autrement dit, les polynômes de Legendre sont deux à deux orthogonaux par rapport au produit scalaire <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> défini sur <math>\R[X]</math> par la relation :

<math>\langle f,g\rangle= \int_{-1}^1f(x)g(x)\,\mathrm dx</math>.

Modèle:Démonstration{\textrm{d}x}\left[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P}{\textrm{d}x}\right]</math>, Or cet endomorphisme est symétrique pour le produit scalaire précédent, puisqu'une intégration par parties montre que

<math>\forall P, Q \in \R[X]\quad \langle u(P),Q\rangle= \int_{-1}^{+1} u(P)(x) Q(x)\, \mathrm{d}x = - \int_{-1}^{+1} (1-x^2) P'(x) Q'(x)\, \mathrm{d}x</math> et donc <math>\langle u(P),Q\rangle=\langle P,u(Q)\rangle</math>.

Comme il s'agit de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, la famille des polynômes de Legendre est orthogonale. }}

Formule de Rodrigues

Modèle:Voir Le polynôme Modèle:Math peut également être défini par la formule de Rodrigues :

<math>P_n(x)=\frac1{2^nn!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\!\left[(x^2-1)^n\right]</math>.

On déduit cette égalité de la caractérisation précédente<ref>Voir par exemple Modèle:Ouvrage.</ref>, en vérifiant d'une part (par intégrations par parties répétées) que <math>\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\!\left[(x^2-1)^n\right]</math> est orthogonal à <math>\R_{n-1}[X]</math>, et d'autre part (par la règle de Leibniz) que la valeur en 1 de <math>\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\!\left[(x-1)^n(x+1)^n\right]</math> est <math>n!\,2^n</math>.

Définitions sous forme de somme

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

<math>P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k} </math>

(on en déduit <math>P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n} \,</math>)

<math>P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k</math>

où on a utilisé :

<math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>

Quelques polynômes

Les onze premiers polynômes sont :

Fichier:PolyLegendre20.svg

Les 20 premiers polynômes de Legendre

<math>P_{0}(x)=1 \,</math>
<math>P_{1}(x)=x\,</math>
<math>P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,</math>
<math>P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,</math>
<math>P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,</math>
<math>P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,</math>
<math>P_{6}(x)=\frac{1}{16}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,</math>
<math>P_{7}(x)=\frac{1}{16}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,</math>
<math>P_{8}(x)=\frac{1}{128}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,</math>
<math>P_{9}(x)=\frac{1}{128}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,</math>
<math>P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,</math>

Propriétés

Degré

Le polynôme Modèle:Mvar est de degré Modèle:Mvar.

Coefficient dominant

Le coefficient dominant de Modèle:Mvar est <math>\frac{(2n)!}{2^n (n!)^2}</math>.

Base

Pour tout entier naturel Modèle:Mvar, la famille <math>(P_n)_{0\leq n\leq N}</math> étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel <math>\R_N[X]</math>.

Parité

Le polynôme Modèle:Mvar a même Modèle:Page h' que l'entier Modèle:Mvar. On peut exprimer cette propriété par :

(en particulier, <math>P_n(-1)=(-1)^n</math> et <math>P_{2n+1}(0)=0</math>).

Norme

Le carré de la norme, dans L²([–1, 1]), est<ref>Démontré par exemple dans la question II.2.c du sujet de CAPES 1989 et dans Modèle:Harvsp (corollaire 2.7).</ref>

<math>\|P_n\|^2=\frac2{2n+1}</math>.

Modèle:Démonstration

Scindé à racines simples

Pour tout entier Modèle:Math, le polynôme Modèle:Mvar est scindé à racines simples, toutes ses racines appartenant à l'intervalle Modèle:Math (c'est une propriété générale des suites de polynômes orthogonaux, qui se déduit classiquement de la définition ci-dessus par orthogonalité et degré).

Théorème d'addition

Si Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Mvar un réel quelconque, alors

<math>P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi,</math>

ce qui est équivalent à

<math>P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(k-m+1)}{\Gamma(k+m+1)} P_k^m(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi.</math>

On a aussi

<math>Q_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)Q_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)Q_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi</math>

sous l'hypothèse que Modèle:Math.

Lien avec l'équation de Laplace

L'équation différentielle qui définit les polynômes de Legendre est naturellement liée à l'équation de Laplace Modèle:Math, écrite en coordonnées sphériques, qui intervient notamment en électrostatique. En effet, lors de la recherche d'une solution ne dépendant pas de l'angle d’azimut Modèle:Mvar sous la forme d'un produit Modèle:Math de deux fonctions d'une seule variable, l'équation vérifiée par Modèle:Mvar ainsi obtenue est de la forme :

<math>\left(\frac{1}{\sin\theta}\right)\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\left(\sin\theta\,\frac{\mathrm dB}{\mathrm d\theta}\right)+n(n+1)\,B=0</math>,

où Modèle:Math est la constante de séparation. Le changement de variable Modèle:Math permet de vérifier que Modèle:Mvar suit l'équation de Legendre<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. Les seules solutions physiquement acceptables, c'est-à-dire qui ne divergent pas pour Modèle:Math sont alors celles pour lesquelles Modèle:Mvar est entier, donc les polynômes de Legendre<ref group=note>Le cas plus général où l'on cherche, par séparation des variables, les solutions de la partie angulaire de l'équation de Laplace dépendant à la fois de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, permet d'introduire les polynômes associés de Legendre, étroitement liés aux harmoniques sphériques.</ref>. Modèle:Démonstration

Décomposition en série de polynômes de Legendre

Décomposition d'une fonction holomorphe

Toute fonction Modèle:Mvar, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformément sur tout compact à l'intérieur de l'ellipse :

<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(z)</math>

avec <math>\forall n \in \mathbb{N}, \lambda_n \in \mathbb{C}.</math>

Décomposition d'une fonction lipschitzienne

On note <math>\tilde{P_n}</math> le quotient du polynôme Modèle:Mvar par sa norme.

Soit Modèle:Mvar une application continue sur Modèle:Math. Pour tout entier naturel Modèle:Mvar, on pose

<math>c_n(f)=\int_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,\mathrm{d}x,</math>

Alors la suite Modèle:Math est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de Modèle:Mvar sur <math>\R_n[X]</math> :

<math>S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k.</math>

On a de plus :

<math>\forall x\in[-1,1],\;S_nf(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,\mathrm{d}y</math>, avec le noyau <math>K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{\tilde P_{n+1}(x)\tilde P_n(y)-\tilde P_{n+1}(y)\tilde P_n(x)}{x-y}\ ;</math>
<math>S_nf(x)-f(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,\mathrm{d}y.</math>

Modèle:Refsou

<math>\forall x\in]-1,1[,\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).</math>

Autrement dit, l'égalité

<math>f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n</math>

est vraie non seulement au sens L² mais au sens de la convergence simple sur Modèle:Math.

Intégration numérique d'une fonction

Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle Modèle:Math, l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :

<math>\int_{-1}^1 f(x) \, \mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)</math>

avec :

<math> (x_i)_{i \leq n} </math> l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre Modèle:Mvar ;
<math> (w_i)_{i \leq n} </math> les poids respectifs : <math> w_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)} </math>.

En particulier, la formule<ref>On trouvera une table pour les cinq premières formules dans Modèle:MathWorld.</ref> à l'ordre Modèle:Mvar est exacte pour toute fonction polynomiale de degré Modèle:Math.

Applications en physique

Les polynômes de Legendre, tout comme ceux d'Hermite ou de Laguerre, apparaissent dans diverses branches de la physique ou du calcul numérique car ils permettent le calcul d'intégrales définies sans qu'il soit nécessaire de les évaluer analytiquement, à condition toutefois que par un changement de variable adéquat, on se place dans l'intervalle d'intégration [−1, 1].

Les polynômes de Legendre permettent de développer en série les fonctions du type (cette formule se déduit directement de la fonction génératrice) :

<math>

\frac{1}{\left| \mathbf{\vec{r}}-\mathbf{\vec{r}}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma), \text{ avec } r>r'</math>

où r et r' sont les normes des vecteurs <math>\mathbf{\vec{r}}</math> et <math>\mathbf{\vec{r}}^\prime</math>, respectivement, et <math>\gamma</math> est l'angle entre ceux-ci. Un tel développement est utilisé par exemple dans l'étude du dipôle électrique ou de façon plus générale dans l'expression du champ électrique ou gravitationnel à grande distance d'une distribution continue de charge ou de masse (développement multipolaire).

Les polynômes de Legendre apparaissent également dans la résolution de l'équation de Laplace <math>\nabla^2 V(\mathbf{\vec{r}})=0</math> pour le potentiel électrique V dans une région vide de charges, en coordonnées sphériques, dans le cas d'un problème présentant une symétrie axiale (V est alors indépendant de ϕ), procédant par la méthode de séparation des variables. La solution de l'équation de Laplace se met alors sous la forme :

<math>

\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta). </math>

Notes et références

Notes

Modèle:Références

Références