Infiniment petit

Modèle:Voir homonymes {{#invoke:Bandeau|ébauche}} Les infinitésimaux (ou infiniment petits) ont été utilisés pour exprimer l'idée d'objets si petits qu'il n'y a pas moyen de les voir ou de les mesurer. Le mot Modèle:Citation vient de infinitesimus (latin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle), ce qui signifiait à l'origine l'élément Modèle:Citation dans une série. Selon la notation de Leibniz, si x est une quantité, dx et Δx peuvent représenter une quantité infinitésimale de x.

Historique

Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. Par conséquent, lorsqu'il est utilisé en tant qu'adjectif, «infinitésimal» dans le langage vernaculaire signifie Modèle:Citation.

Archimède exploita les infinitésimaux dans La Méthode pour trouver des aires des régions et des volumes de solides. Les auteurs classiques avaient tendance à chercher à remplacer les arguments infinitésimaux par des arguments utilisant la méthode d'exhaustion, qu'ils jugeaient plus fiable. Le Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle a vu le travail pionnier de Nicolas de Cues, développé au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle par Johannes Kepler, en particulier le calcul de l'aire d'un cercle en représentant celui-ci comme un polygone d'un nombre infini de côtés. Simon Stevin élabora un continu de décimaux au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle. La méthode des indivisibles de Bonaventura Cavalieri conduit à une extension des résultats des auteurs classiques. La méthode des indivisibles traitait des figures géométriques comme étant composés d'entités de codimension 1. Les infinitésimaux de John Wallis diffèrent des indivisibles en ce sens que des figures géométriques se décomposeraient en des parties infiniment minces de la même dimension que la figure, préparant le terrain pour des méthodes générales du calcul intégral. Il exploita un infinitésimal noté <math>\frac{1}{\infty}</math> dans les calculs de superficie.

Pierre de Fermat, inspiré par Diophante, développa le concept d'adégalité, c'est-à-dire égalité « adéquate » ou égalité approximative (avec une erreur infime), qui a fini par jouer un rôle clé dans une mise en œuvre mathématique moderne des définitions infinitésimales de la dérivée et l'intégrale. L'utilisation des infinitésimaux chez Leibniz s'appuya sur un principe heuristique appelé la loi de continuité : ce qui réussit pour les nombres finis réussit aussi pour les nombres infinis, et vice versa. Le Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle a vu l'utilisation systématique des infiniment petits par les plus grands tels que Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange. Augustin-Louis Cauchy exploita les infinitésimaux dans sa définition de la continuité et dans une forme préliminaire d'une fonction delta de Dirac. Lorsque Georg Cantor et Dedekind développaient des versions plus abstraites du continu de Stevin, Paul du Bois-Reymond a écrit une série d'articles sur des continus enrichis d'infinitésimaux sur la base des taux de croissance des fonctions. L'œuvre de du Bois-Reymond a inspiré à la fois Émile Borel et Thoralf Skolem. Skolem développa les premiers modèles non standard de l'arithmétique en 1934. Une mise en œuvre mathématique à la fois de la loi de continuité et des infinitésimaux a été réalisée par Abraham Robinson en 1961, qui a développé l'analyse non standard basée sur des travaux antérieurs de Edwin Hewitt en 1948 et Modèle:Lien en 1955. Les hyperréels constituent un continu enrichi d'infinitésimaux, tandis que le Modèle:Lien met en œuvre la loi de continuité de Leibniz.

En analyse mathématique

En mathématiques, le terme infiniment petit peut s'appliquer :

• à une quantité négligeable dans le cadre de méthodes d'étude du comportement d'une fonction au voisinage d'un point (ou de l'infini), en regard du comportement d'une autre fonction, souvent choisie sur une échelle de référence.
• à une notion historique de nombre infinitésimal, abandonnée par les élèves de Karl Weierstrass, qui donna un fondement rigoureux à la notion de limite. Cette notion avait déjà été entrevue mais jamais explicitée<ref>N. Bourbaki, Éléments de mathématique, diffusion CCLS Paris 1977, Modèle:ISBN p. EIV.50-51 souligne : Jean le Rond d'Alembert avait pressenti Modèle:Citation mais Modèle:Citation</ref>, en particulier parce que les représentations et la définition des nombres réels avaient demandé une longue maturation<ref>Université Laval -Jacques Lefebvre, Moments et aspects de l'histoire du calcul différentiel et intégral</ref>.
• à un nombre hyperréel plus petit en valeur absolue que tout inverse d’un entier, dans le cadre de l'analyse non standard de Robinson qui formalisa les infinitésimaux de Leibniz ;
• de façon plus classique, en analyse réelle, dans l'expression Modèle:Citation : deux fonctions <math>f</math> et <math>g</math> sont des infiniment petits équivalents au voisinage de a si, <math>f(x)</math> et <math>g(x)</math> tendant tous deux vers zéro quand x tend vers a, le rapport <math>f(x)/g(x)</math> tend vers 1 : <math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1.</math>

Ainsi, la longueur d'un arc de cercle et celle de sa corde, en tant que fonctions de l'angle au centre associé, sont des infiniment petits équivalents au voisinage de l'angle nul.

Infiniment grands

De même, deux fonctions <math>f</math> et <math>g</math> sont des infiniment grands équivalents au voisinage de a si, <math>f(x)</math> et <math>g(x)</math> tendant tous deux vers l'infini quand x tend vers a, le rapport <math>f(x)/g(x)</math> tend vers 1. En analyse non standard, les infiniment grands sont des hyperréels qui sont les inverses des infiniment petits.

Médias

Les expressions Modèle:Citation et Modèle:Citation sont très notoires et presque jamais utilisées dans leur sens premier, mais pour parler de sujets tels que les galaxies, les quarks, et les nanotechnologies.

Littérature

Dans le fragment 199 des Pensées, Blaise Pascal écrit que Modèle:Citation, coincé entre l'infiniment petit et l'infiniment grand, Modèle:Citation. Il imagine des mondes homothétiquement réduits, de plus en plus petits : Modèle:Citation

Dans le même ouvrage, Pascal évoque la « sphère dont le centre est partout, la circonférence nulle part »<ref>Wikisource, Pensées de Pascal, [[s:Page:Œuvres de Blaise Pascal, XII.djvu/399|section II Modèle:P.]]</ref>, ce qui est une image traditionnelle dans la pensée occidentale, on la retrouve chez Nicolas de Cues, Giordano Bruno, Maître Eckhart, Boèce, elle a été attribuée à Empédocle.

Annexes

Articles connexes

• Isaac Newton
• Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, par le marquis de L'Hôpital
• Infini
• Transformation infinitésimale

Lien externe

• Modèle:SEP, par John L. Bell