Lemme de Riesz
Modèle:Voir homonymes Le lemme de Riesz, dû au mathématicien Frigyes Riesz, est un résultat d'analyse fonctionnelle sur les sous-espaces vectoriel fermés d'un espace vectoriel normé réel. Sa principale conséquence est le théorème de Riesz, selon lequel un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si et seulement si ses boules fermées sont compactes. Plus généralement, un espace vectoriel topologique réel séparé est de dimension finie si et seulement s'il est localement compact. Ce théorème établit donc une équivalence entre une propriété algébrique et une propriété topologique.
Énoncé du lemme
Modèle:Énoncé Dans cet énoncé<ref name=Hengartner>Walter Hengartner, Marcel Lambert et Corina Reischer, Introduction à l'analyse fonctionnelle, PUQ, 1981 Modèle:ISBN, Modèle:P., énoncés du lemme pour Modèle:Formule et du théorème et démonstrations.</ref>, Modèle:Formule désigne la [[Distance (mathématiques)#Distance d'un point à une partie|distance entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar]] pour la distance associée à la norme, c'est-à-dire que
Par contraposée, ce lemme équivaut à :
- Soient Modèle:Mvar un espace vectoriel normé réel et Modèle:Mvar un sous-espace vectoriel quelconque.
- S'il existe un réel Modèle:Mvar strictement inférieur à 1 tel que pour tout vecteur unitaire Modèle:Mvar de Modèle:Mvar on ait Modèle:Formule, alors Modèle:Mvar est dense dans Modèle:Mvar.
Théorème de Riesz
Cet énoncé<ref name=Hengartner/>,<ref name=wagschal>Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995, théorème 3.7.4 Modèle:P., énoncé et démonstration.</ref>,<ref>Georges Skandalis, Topologie et analyse Modèle:3e, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001, Modèle:P..</ref> s'applique aussi aux espaces vectoriels normés complexes, puisqu'ils sont (par oubli de structure) des espaces vectoriels normés réels.
Contre-exemples sur d'autres corps
Dans les espaces vectoriels normés sur un corps valué autre que ℝ, on trouve des contre-exemples lorsque le corps est non localement compact (comme le corps des rationnels) ou lorsqu'il est discret (comme les corps finis) :
- ℝ est un ℚ-espace vectoriel de dimension infinie et normé par la valeur absolue usuelle, mais sa boule unité fermée est compacte, toute partie bornée est relativement compacte et l'ensemble est localement compact ;
- Inversement, ℚ est un ℚ-espace vectoriel de dimension 1 mais aucun voisinage de l'origine n'est compact ;
- L'espace des suites à valeurs dans le corps F2, muni de la norme constante égale à 1 en dehors de la suite nulle, est localement compact (car discret) mais de dimension infinie et sa boule unité fermée n'est pas compacte.
Généralisation aux espaces vectoriels topologiques
Si Modèle:Mvar est seulement un espace vectoriel topologique réel séparé, on a encore : Modèle:Énoncé La démonstration du sens direct repose essentiellement sur la définition de la compacité et sur l'existence, dans Modèle:Mvar localement compact, d'un voisinage ouvert du vecteur nul d'adhérence compacte (dans le cas d'un espace vectoriel normé, ce voisinage Modèle:Mvar peut être choisi égal à la boule unité ouverte).
Notes et références
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