Image réciproque

Fichier:Schéma image réciproque.png

Représentation de l'image réciproque <math>f^{-1}(B)</math> de Modèle:Math par une fonction Modèle:Math (qui ici est injective mais non surjective).

En mathématiques, l'image réciproque — ou la préimage — d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : X → Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : <math>f^{-1}(B) = \{x \in X\mid f(x)\in B\}</math>. Elle est donc caractérisée par :

<math>x\in f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(x)\in B</math>.

Exemples

• L'image réciproque <math>f^{-1}(\{y\})</math> d'un singleton <math>\{y\}</math> par une fonction f est l'ensemble des antécédents de y par f.
• Considérons l'application f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c, f(3) = d. L'image réciproque de {a, b} par f est fModèle:-1({a, b}) = {1}.

L'application « image réciproque »

Avec cette définition, fModèle:-1 est l'application « image réciproque (par f) », dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée fModèle:-1, de Y dans X. L'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque fModèle:-1. Pour éviter toute confusion, Birkhoff et Mac Lane<ref name=":0">Modèle:MacLaneBirkhoff1, vol. 1, Modèle:P.; ex 3 p. 9</ref> parlent d'une « application d'ensembles » qu'ils notent f_* au lieu de fModèle:-1.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties <math>B_1</math> et <math>B_2</math> de <math>Y</math> :

  <math>f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)</math> ;

  <math>f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)</math> ;

  <math>f^{-1}\left(B_1\setminus B_2\right)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)</math>.

• Pour toute partie <math>B</math> de <math>Y</math>, <math>f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f)</math><ref name=Wikiversité>Modèle:Note autre projet</ref>.
  • En particulier, si <math>f</math> est surjective alors <math>f(f^{-1}(B))=B</math>.

    On peut même prouver<ref name=Wikiversité/> que <math>f</math> est surjective si et seulement si pour toute partie <math>B</math> de <math>Y</math> on a <math>f(f^{-1}(B))=B</math>.

• Pour toute partie <math>A</math> de <math>X</math>, <math>A\subset f^{-1}(f(A))</math>.

  L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si <math>f</math> n'est pas injective.

  On peut même prouver que <math>f</math> est injective si et seulement si pour toute partie <math>A</math> de <math>X</math> on a <math>f^{-1}(f(A))=A</math>.

• Pour toute famille <math>\left(B_i\right)_{i\in I}</math> de parties de <math>Y</math> :

  <math>f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)</math> ;

  <math>f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)</math>.

• Si l'on considère de plus une application <math>g:Y\rightarrow Z</math>, alors l'image réciproque d'une partie <math>C</math> de <math>Z</math> par la composée <math>g\circ f</math> est :

  <math>(g\circ f)^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C))</math><ref name=":0" />.

Articles connexes

• Relation binaire réciproque
• L'opération d'image réciproque en géométrie différentielle, aussi appelée « tiré en arrière » ou « pullback ».