Fonction entière

Modèle:Confusion En analyse complexe, une fonction entière est une fonction holomorphe définie sur tout le plan complexe. C'est le cas notamment de la fonction exponentielle complexe, des fonctions polynomiales et de leurs combinaisons par composition, somme et produit, telles que sinus, cosinus et les fonctions hyperboliques.

Le quotient de deux fonctions entières est une fonction méromorphe.

Considérée comme un cas particulier de la théorie des fonctions analytiques, la théorie élémentaire des fonctions entières ne fait que tirer les conséquences de la théorie générale. C'est celle que l'on voit essentiellement dans un premier cours sur la théorie des fonctions complexes (souvent enrichi du théorème de factorisation de Weierstrass). Mais l'étude, commencée depuis le milieu du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, par Cauchy, Laguerre, Weierstrass… s'est considérablement enrichie sous l'impulsion de Borel, Hadamard, Montel, Picard, Valiron, Blumenthal… (sans oublier Nevanlinna) et constitue maintenant une imposante théorie.

La théorie des fonctions entières se fixe comme buts de classifier les fonctions entières selon leurs croissances, de préciser le lien entre les coefficients de Taylor de la fonction et la croissance, le lien entre les zéros éventuels et le comportement de la fonction, et les relations entre la fonction et ses dérivées sur ces questions.

Ces aspects de la théorie des fonctions entières ont été étendus aux fonctions méromorphes. L'ensemble des fonctions entières forme un anneau intègre qui est de Bézout, mais qui n'est pas atomique (et donc non factoriel et non noethérien).

Les fonctions entières dans la théorie des fonctions analytiques

On classe habituellement les fonctions analytiques complexes selon leur complexité, et cette complexité est celle de leurs singularités. Hormis les fonctions polynomiales, apparaissent ainsi les fonctions entières qui sont l'objet de cet article, les fonctions méromorphes qui sont des quotients de fonctions entières et dont les seules singularités sont polaires, les fonctions présentant des singularités essentielles ou des points de branchement formant ainsi les fonctions les plus compliquées parmi les fonctions analytiques d'une seule variable complexe.

Les fonctions entières apparaissent comme des généralisations des fonctions polynomiales : elles se comportent comme des « polynômes de degré infini ». Ce sont ainsi les fonctions analytiques les plus simples en dehors des polynômes, n'ayant aucune singularité à distance finie et une seule singularité à l'infini, comme on le verra. Cependant, l'étude de ces fonctions est difficile et il reste encore de très nombreuses questions ouvertes, bien que cette étude soit commencée depuis près de deux cents ans.

Théorie élémentaire

Soit Modèle:Mvar une fonction analytique complexe holomorphe en Modèle:Mvar. Elle est développable en série entière autour du point Modèle:Mvar selon la formule de Taylor :

<math>f(s)=\sum_{n=0}^\infty{a_n (s-z)^n},\ \text{ avec }\ a_n=\frac {f^{(n)}(z)}{n!}.</math>

La théorie des séries entières montre que la série précédente converge absolument et uniformément dans le disque de centre Modèle:Mvar et de rayon Modèle:Mvar tel que Modèle:Math, Modèle:Mvar donné par le théorème de Cauchy-Hadamard : <math>\frac1R=\limsup_{n \rightarrow \infty}|a_n|^{1/n}</math> (il faut remarquer qu'elle ne converge pas uniformément sur le disque ouvert de centre Modèle:Mvar et de rayon Modèle:Mvar, sinon, d'après le critère de Cauchy uniforme, elle convergerait sur le disque fermé de centre Modèle:Mvar et de rayon Modèle:Mvar, ce qui est faux en général).

Le principal résultat de la théorie des fonctions analytiques complexes est que le rayon de convergence est déterminé par la distance Modèle:Mvar entre le point Modèle:Mvar et la singularité la plus proche.

Soit Modèle:Mvar une fonction entière ; elle n'a donc pas de singularité à distance finie. Comme précédemment, elle est développable en série entière convergente de la forme <math>f(z)= \sum_{n \ge 0}a_n z^n</math>, et, comme elle n'a d'autre singularité que le point à l'infini, le rayon de convergence est infini. Autrement dit, la série converge quelle que soit la valeur de Modèle:Mvar .

On a donc

<math>\limsup_{n \rightarrow \infty}|a_n|^{1/n}=0. </math>

Et il en est de même de chacune de ses dérivées qui sont entières également.

La formule intégrale de Cauchy

<math> f(z)=\frac1{2\pi {\rm i}}\int_\gamma{\frac{f(s)}{s-z}\mathrm{d}s}</math>

permet, en développant la fraction Modèle:Math en série entière, d'identifier les coefficients de Taylor à des intégrales :

<math>a_n=\frac{f^{(n)}(z)}{n!}=\frac{1}{2\pi {\rm i}}\int_\gamma{\frac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}\mathrm{d}s}.</math>

Dans les deux cas <math>\gamma</math> est un chemin fermé (un lacet) sans boucle entourant Modèle:Mvar.

Les inégalités de Cauchy

Dans la formule intégrale donnant les coefficients, en appelant Modèle:Math le maximum du module de la fonction sur le disque de centre Modèle:Mvar et de rayon Modèle:Mvar, une majoration simple donne les importantes inégalités de Cauchy

<math>|a_n| \le \frac{M(R)}{R^n}.</math>

Pour une fonction entière, R est un réel positif quelconque.

Le théorème de Liouville

Un résultat important sur les fonctions entières est le théorème de Liouville : Modèle:Théorème

Une démonstration possible est l'application des inégalités de Cauchy en remarquant que Modèle:Math est alors borné quel que soit Modèle:Mvar. Il suffit donc de faire tendre Modèle:Mvar vers l'infini pour avoir le résultat.

Cela peut être utilisé pour fournir une démonstration élégante, par l'absurde, du théorème de d'Alembert-Gauss : Modèle:Théorème

Le petit théorème de Picard renforce considérablement le théorème de Liouville Modèle:Théorème

Dans un certain sens, qui sera précisé plus tard, la théorie des fonctions entières tourne entièrement autour du petit théorème de Picard.

Propriétés algébriques

• Une fonction holomorphe définie sur un domaine – c'est-à-dire un ouvert connexe – s'étend en une fonction entière si et seulement si le rayon de convergence de sa série de Taylor est infini en un point quelconque de son domaine.

• L'ensemble des fonctions entières est stable par composition et forme une sous-algèbre complexe de l'espace des fonctions continues du plan complexe dans lui-même.

Le point à l'infini

Comme une fonction entière est constante si elle est bornée, et qu'elle ne peut avoir aucun autre point singulier que l'infini, le point à l'infini est un point singulier pour toute fonction entière non constante. Il ne peut s'agir que d'un pôle ou d'une singularité essentielle. Dans le premier cas (le pôle à l'infini), la fonction entière est un polynôme. Dans le second cas (singularité essentielle en l'infini), on dit que la fonction est transcendante.

La croissance des fonctions entières

Le module maximum des fonctions entières

Par définition, les fonctions entières ne présentent que le point à l'infini pour seule singularité. On pose

<math>M_f(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|.</math>

Cette fonction est croissante, d'après le principe du maximum, et en corollaire du théorème de Liouville, elle n'est pas bornée pour les fonctions entières non constantes. Elle est appelée module maximum de la fonction Modèle:Mvar.

En conséquence de la convexité, Modèle:Math admet une dérivée à droite et à gauche, et ces dérivées sont croissantes. Il existe une fonction Modèle:Math croissante (mais pas nécessairement continue) telle que

<math>\ln M(r) = \ln M(1)+\int_1^r {v(u)\frac{{\rm d}u}{u}}.</math>

Fonctions à croissance rapide

La borne Modèle:Math peut croître arbitrairement vite avec Modèle:Mvar. Plus précisément, soit une fonction croissante Modèle:Math. Il existe une fonction entière Modèle:Mvar telle que pour tout réel Modèle:Mvar, Modèle:Math est réel et strictement supérieur à Modèle:Math, par exemple en choisissant Modèle:Mvar de la forme :

<math>f(z)=c+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{z}{k}\right)^{n_k}</math>,

où les Modèle:Mvar forment une suite croissante d'entiers bien choisis ; on peut ainsi prendre Modèle:Math et pour tout Modèle:Math, <math>n_k: = 2 \big\lceil k \ln g(k+2) \big\rceil \,</math>Modèle:Refsou.

Ce résultat est en fait un cas particulier du théorème d'approximation uniforme de Carleman<ref>Torsten Carleman, Sur un théorème de Weierstrass.</ref> : soit Modèle:Mvar une fonction continue à valeurs complexes définie sur R, E : R → Modèle:Math une fonction continue ; il existe une fonction entière Modèle:Mvar telle que, pour tout Modèle:Mvar réel, on ait Modèle:Math<ref>Voir, par exemple, Modèle:Lien, Approximation par des fonctions entières {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}}.</ref>.

L'ordre des fonctions entières

Si pour une certaine valeur Modèle:Math, on a

<math>\liminf_{r \rightarrow \infty}\frac{M_f(r)}{r^\lambda}=0</math>,

alors la fonction Modèle:Mvar est un polynôme de degré au plus égal à Modèle:Math.

Lorsque l'égalité précédente n'a lieu pour aucune valeur de Modèle:Math, on compare la croissance de Modèle:Math à Modèle:Math. Si l'on a, à partir d'une valeur Modèle:Math de Modèle:Mvar, l'inégalité

<math>M_f(r) < \exp(r^k),</math>

on dit que la fonction est d'ordre fini. L'ordre (supérieur) de croissance de Modèle:Mvar est donné par la formule

<math>\rho=\rho_f=\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln \ln M_f(r)}{\ln r}.</math>

On distingue, parmi les fonctions entières de même ordre Modèle:Math, les fonctions de type Modèle:Math défini par la formule

<math>\sigma_f=\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln M_f(r)}{r^\rho}.</math>

Selon la valeur de Modèle:Math, on distingue le type minimal (Modèle:Math), type exponentiel (Modèle:Math), normal (<math>0< \sigma_f< \infty</math>) ou maximal (<math>\sigma_f=\infty</math>).

On montre les résultats suivants :

• <math>\rho_{f+g} \le \max(\rho_f,\rho_g)</math> ;
• <math>\rho_{fg} \le \max(\rho_f,\rho_g)</math> ;
• <math>\sigma_{f+g}\le \max(\sigma_f,\sigma_g)</math> ;
• <math>\sigma_{fg} \le \sigma_f+\sigma_g</math>.

Exemples

La fonction exponentielle est d'ordre 1 ainsi que les fonctions [[Fonction trigonométrique|Modèle:Math et Modèle:Math]].

La fonction de Mittag-Leffler

<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\Gamma\left(1+\frac{n}{\rho}\right)}</math>

est d'ordre Modèle:Math. Il en est de même de la fonction de Lindelöf définie par

<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{n^{1/\rho}}\right)^n</math>.

Relation entre les coefficients et la croissance

• Si la fonction entière est telle que

<math>f(z)=\sum_{n\ge 0}a_n z^n</math>

et que

<math>M_f(r) < {\rm e}^{Ar^k}</math>

pour Modèle:Mvar suffisamment grand, alors on a

<math>|a_n| \le \left(\frac{{\rm e}Ak}n\right)^{n/k}</math>

pour Modèle:Mvar suffisamment grand.

• Réciproquement, si l'on a

<math>|a_n| \le \left(\frac{{\rm e}Ak}n\right)^{n/k}</math>

pour Modèle:Mvar suffisamment grand, alors, pour tout <math>\epsilon>0</math>,

<math>M_f(r) < {\rm e}^{(A+\epsilon)r^k}</math>

pour Modèle:Mvar suffisamment grand.

De ce résultat on déduit:

Modèle:Énoncé\limsup_{n \rightarrow \infty}n|a_n|^{\rho/n}.</math>}}

Le lemme de Borel-Carathéodory

On a vu que le maximum sur un cercle est en rapport avec les coefficients de la fonction développée en série entière. On peut se demander s'il en est de même, par exemple, avec seulement la partie réelle de la fonction. Ce lien est fourni de manière générale par le lemme de Borel-Carathéodory, qui donne de plus une estimation concernant les dérivées :

Modèle:Énoncé(A(R)+|f(0)|).</math>}}

L'ordre de la dérivée d'une fonction entière

La dérivée d'une fonction entière est obtenue par dérivation formelle de sa série entière. En appliquant la formule de Cauchy-Hadamard, on voit que la dérivée d'une fonction entière est elle-même entière. La question de l'ordre de la dérivée se pose donc naturellement. Le calcul de l'ordre par la formule précédemment donnée montre que Modèle:Énoncé

Et, comme une fonction entière est indéfiniment dérivable, il en est de même de toutes ses dérivées.

Ordre inférieur et ordre précisé L

Pour comparer plus finement la croissance des fonctions entières, on est amené à regarder l'ordre inférieur de croissance, défini par la quantité

<math>\liminf_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln \ln M_f(r)}{\ln r}.</math>

On montre que Modèle:Énoncé

Mais cela ne suffit pas. On montre l'existence, pour une fonction entière Modèle:Mvar d'ordre fini Modèle:Math, d'une fonction Modèle:Math ayant les propriétés suivantes :

• Modèle:Math est définie et continue, dérivable à droite et à gauche en chaque point ;
• <math>\lim_{r \rightarrow \infty}\rho(r)=\rho</math> ;
• <math>\lim_{r \rightarrow \infty}\rho'(r)r\ln r=0</math> ;
• <math>\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln M_f(r)}{r^{\rho(r)}}=1</math>.

On a ainsi défini un ordre précisé L de Modèle:Mvar.

Les fonctions entières à croissance régulière

Dans ses études sur les fonctions entières, Émile Borel a défini les fonctions entières à croissance régulière en supposant que l'ordre de la fonction entière est

<math>\rho=\lim_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln \ln M(r)}{\ln r}.</math>

Il résulte de la définition que les ordres supérieur et inférieur sont égaux. C'est en ce sens que la fonction est à croissance régulière.

Modèle:Énoncé</math> pour tout entier Modèle:Var assez grand et tout Modèle:Math et qu'il existe une suite d'entiers Modèle:Mvar telle que

<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n_{p+1}}{n_p}=1</math>

et pour laquelle on a

<math>|a_{n_p}|^{1/n_p}> n_p^{-1/{\rho+\varepsilon_p}}</math>

avec

<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\varepsilon_p=0.</math>

}}

Factorisation des fonctions entières d'ordre fini

Le théorème de factorisation de Weierstrass

Modèle:Loupe Weierstrass a montré que pour toute fonction entière Modèle:Mvar d'ordre fini Modèle:Math et s'annulant sur les nombres complexes <math>a_n \neq 0</math>, il existe un polynôme Modèle:Math de degré inférieur ou égal à Modèle:Math, et un entier <math>m \le \rho</math> tels que l'on ait

<math>f(s)=s^p\exp(P(s))\prod_{n=1}^\infty E\left(\frac{s}{a_n},m\right).</math>,

avec <math>E(u,m)=(1-u){\rm e}^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m}</math>. Le facteur Modèle:Mvar correspond aux fonctions ayant un zéro d'ordre Modèle:Mvar en 0.

Estimations sur le produit canonique

Le théorème de Boutroux-Cartan énonce un résultat fréquemment utilisé dans les recherches sur les fonctions entières. Le problème est d'estimer le produit <math>P(z)=\prod_{k=1}^n(z-z_k)</math> en dehors du voisinage des zéros. On suppose que l'on connaît Modèle:Mvar.

Le terme maximum de la série de Taylor

Soit <math>f(s)=\sum_{n=0}^\infty a_ns^n</math> une fonction entière. La série <math>|a_0|, |a_1|r, |a_2|r^2, \ldots</math> est une série décroissante à partir d'un certain rang et tendant vers 0, quel que soit Modèle:Mvar. Il y a donc, pour chaque Modèle:Mvar un terme supérieur ou égal à tous les autres. Soit Modèle:Math la valeur de ce terme et soit Modèle:Math le rang (le plus grand, s'ils sont plusieurs) de ce terme. Modèle:Math est une fonction croissante de Modèle:Mvar qui tend vers l'infini. D'après l'inégalité de Cauchy, on a Modèle:Math. Modèle:Énoncé Entre les fonctions Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math existe une double inégalité:

<math>B(r) < M(r) < B(r)\left[2\mu\left(r+ \frac{r}{\mu(r)}\right)+1\right]</math>

et de cette double inégalité on déduit Modèle:Énoncé On en déduit ensuite une relation sur Modèle:Math : Modèle:Énoncé De manière générale, on a la formule

<math>\ln B(r) = \ln B(r_0)+\int_{r_0}^r\frac{\mu(u)}{u}\,{\rm d}u.</math>

La distribution des valeurs des fonctions entières

Image d'une fonction entière

Le petit théorème de Picard dit qu'une fonction entière non constante prend toutes les valeurs complexes sauf une au plus. Des résultats plus précis (concernant le nombre d'antécédents de module borné d'un complexe donné) dépendent de la vitesse de croissance de la fonction.

Fonctions entières prenant des valeurs données

Si l'on n'impose pas de restriction à la croissance de la fonction (comme on le verra plus loin), elle peut prendre des valeurs fixées arbitraires sur un ensemble U sans point d'accumulation (par exemple l'ensemble des entiers). Autrement dit, soit <math>(a_n)_{n\in {\bf N}}</math> une suite injective de complexes n'ayant pas de valeur d'adhérence, et <math>(z_n)_{n\in {\bf N}}</math> une suite de valeurs complexes quelconques ; il existe une fonction entière Modèle:Mvar telle que pour tout Modèle:Mvar, Modèle:Math. Ce résultat, analogue au théorème d'interpolation de Lagrange, est une conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème de Mittag-Leffler<ref>Modèle:Rudin, th. 15.15, Modèle:P..</ref>. De plus, la différence de deux telles fonctions est une fonction entière s'annulant sur Modèle:Mvar, à laquelle on peut appliquer les théorèmes des paragraphes suivants.

Les zéros des fonctions entières

Par suite du théorème fondamental de l'algèbre, un polynôme de degré Modèle:Mvar admet Modèle:Mvar racines dans <math>\Complex</math>. Donc, plus un polynôme admet de zéros, plus il croît rapidement.

Ceci est aussi le cas des fonctions entières mais d'une manière plus complexe. La relation entre la croissance des fonctions entières et la répartition de ses zéros constitue l'un des thèmes principaux de la théorie de ces fonctions.

La formule de Jensen et l'exposant de convergence des zéros

Cette formule est fondamentale dans la suite de la théorie, même si elle n'intervient pas explicitement. On la démontre par exemple par l'emploi de la formule de Green.

On a, pour une fonction ayant des zéros aux points <math>a_k</math>, ne présentant aucun pôle dans le disque <math>r< \rho</math> et en posant <math>x=r {\rm e} ^{{\rm i}\varphi}</math>

<math>\ln |f(r{\rm e}^{{\rm i}\varphi})| = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln|f(\rho {\rm e}^{{\rm i}u})|\frac{(\rho^2-r^2)}{\rho^2+r^2-2r \rho \cos(u-\varphi)}\,{\rm d}u -\sum_k \ln \left|\frac{\rho^2-\overline{a_k} x}{\rho(x-a_k)}\right| </math>.

Cette formule est la formule de Poisson-Jensen.

On en déduit la formule de Jensen :

Modèle:Énoncé</math> sans que cette décomposition puisse se faire pour Modèle:Math, où Modèle:Mvar est un polynôme de degré Modèle:Mvar au plus, Modèle:Mvar, un polynôme quelconque et le produit infini le produit de Weierstrass.

Le plus petit entier qui majore l'exposant de convergence est aussi le genre de la fonction.

Le genre se détermine par la formule de Laguerre : Modèle:Énoncé

On ne saurait être trop prudent avec la notion de genre. Lindelöf a montré que la fonction

<math>f(z)=\prod_{n=2}^\infty \left(1+\frac{z}{n(\ln n)^\alpha}\right)</math>

où Modèle:Math est d'ordre 1, et de genre 0 mais Modèle:Math est de genre 1. De même, Modèle:Math est de genre 1 mais Modèle:Math est de genre 0.

Valiron a montré cependant le théorème suivant :

Un théorème de Laguerre

Dans ses investigations sur les fonctions entières à la suite du mémoire fondateur de Weierstrass, Laguerre démontra que Modèle:Énoncé

Le lien entre la croissance et la distribution des zéros

Le résultat le plus profond est le petit théorème de Picard qu'on énonce ainsi Modèle:Énoncé La valeur non prise éventuelle est appelée valeur exceptionnelle de Picard.

Les fonctions entières d'ordre non-entier

Dans le cas des fonctions entières d'ordre non entier, celles-ci n'admettent aucune valeur exceptionnelle au sens du théorème de Picard. Ces fonctions ont donc une infinité de solutions à l'équation Modèle:Math, quelle que soit la valeur de Modèle:Mvar et en particulier Modèle:Énoncé

Les fonctions entières d'ordre entier

Si l'ordre est entier, le cas d'exception du théorème de Picard est possible. Dans ce cas, on a la précision suivante apportée par Émile Borel : Modèle:Énoncé On montre qu'il existe des fonctions entières d'ordre entier n'ayant qu'un nombre fini de zéros et qui ne se réduisent pas à un polynôme. Mais cela ne peut être le cas des fonctions entières paires dont l'ordre est un entier impair.

Les cercles de remplissage

Le mathématicien français Milloux, dans sa thèse soutenue en 1924, a défini des cercles particuliers, appelés par lui cercles de remplissages et dont le rayon augmente indéfiniment, dans lesquels la fonction entière prend toutes les valeurs en dessous d'un nombre Modèle:Math tendant vers l'infini avec Modèle:Mvar sauf peut-être dans un cercle dont le rayon tend vers 0 avec Modèle:Math. Il a démontré le résultat suivant : Modèle:Énoncé

Les cercles de remplissage sont utiles pour préciser les solutions de l'équation Modèle:Math.

Les valeurs asymptotiques

On peut se demander si une fonction entière non constante peut, dans certaines régions, avoir une valeur asymptotique finie ou si elles ont toujours une limite finie. On sait qu'elles ne peuvent pas avoir de valeurs asymptotiques finies dans toutes les directions par suite du théorème de Liouville. On dit que Modèle:Mvar admet la valeur asymptotique a s'il existe un chemin, appelé chemin de détermination Modèle:Math pour lequel Modèle:Math tend vers Modèle:Mvar quand Modèle:Mvar tend vers l'infini en restant sur le chemin.

Donc pour toute fonction entière non constante, il existe au moins un chemin de détermination <math>\infty</math>.

Pour une fonction d'ordre inférieur à 1/2, il existe une infinité de cercles de centre l'origine et de rayon indéfiniment croissant sur lesquels le module minimum tend vers l'infini. Il n'existe donc pas de valeur asymptotique finie pour les fonctions entières d'ordre inférieur à 1/2. En fait, Wiman a montré le théorème suivant : Modèle:Énoncé

Supposons maintenant qu'une fonction entière possède deux chemins de déterminations Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. Alors, dans le domaine défini entre les deux chemins de détermination soit il existe un chemin de détermination <math>\infty</math>, soit les valeurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont égales et tout chemin vers l'infini inclus entre les deux chemins de détermination est un chemin de détermination Modèle:Mvar (= Modèle:Mvar).

La conjecture de Denjoy

Il a été conjecturé par Denjoy qu'une fonction entière d'ordre fini Modèle:Math a au plus Modèle:Math valeurs asymptotiques. Cette conjecture est devenue le Modèle:Lien.

Il ne peut ainsi y avoir qu'au plus Modèle:Math lignes droites allant de 0 à l'infini et menant à des valeurs asymptotiques différentes. De ce fait, l'angle entre deux telles lignes est au moins Modèle:Math.

La fonction indicatrice de Phragmén-Lindelöf

La définition de l'ordre Modèle:Math d'une fonction entière d'ordre fini et les théorèmes de Phragmén-Lindelöf suggèrent l'intérêt qu'il y aurait à étudier la fonction

<math>h(\theta)=\limsup_{r \to \infty} \frac{\ln \left|f(r {\rm e}^{{\rm i}\theta})\right|}{r^\rho}</math>

en fonction de <math>\theta \in [-\pi,\pi]</math> puisque la croissance sur une demi-ligne se répercute sur les lignes voisines.

Par définition, Modèle:Math est l'indicatrice de Phragmén-Lindelöf. C'est une fonction périodique de période Modèle:Math qui peut prendre des valeurs réelles, mais peut être <math>-\infty</math> ou <math>+\infty</math>.

On a alors :

{{énoncé|1=Soit Modèle:Mvar une fonction entière d'ordre Modèle:Math et d'indicatrice Modèle:Math. Si Modèle:Mvar est finie dans l'intervalle Modèle:Math alors, quel que soit <math>\epsilon>0</math>, il existe <math>r_0=r_0(\epsilon)</math> tel que pour tout Modèle:Math, on ait

<math>\ln \left|f(r {\rm e}^{{\rm i}\theta})\right| < r^\rho\left(h(\theta)+\epsilon\right)</math>

uniformément dans tout sous-intervalle de Modèle:Math.}}

dont on déduit :

Le théorème de Carlson

On peut se demander s'il existe des conditions assurant qu'une fonction entière soit définie de manière unique par les valeurs qu'elle prend sur un ensemble dénombrable. Posé de cette manière, sans restriction sur l'ensemble, il semble que la réponse soit négative a priori. En fait, il n'en est rien et dans ce genre de question, le résultat de Carlson est à l'origine de tout un pan de recherche. On peut l'exprimer de la manière suivante :

Sa démonstration utilise l'indicatrice de Phragmén-Lindelöf.

Le théorème de Pólya

Les valeurs entières prises sur un ensemble par une fonction entière imposent des restrictions sur sa croissance. Pólya, en 1915<ref>Modèle:Article.</ref>, a par exemple démontré le théorème suivant Modèle:Énoncé

Autrement dit, la plus petite (au sens de la croissance) fonction entière non polynomiale qui prend des valeurs entières sur les entiers naturels est la fonction Modèle:Math.

Ces résultats ont été généralisés aux fonctions entières prenant des valeurs entières sur une suite géométrique…

La théorie des fonctions entières d'ordre infini de Kraft-Blumenthal

Une fonction entière est d'ordre infini lorsqu'elle n'est pas d'ordre fini. Il avait été remarqué très tôt par Émile Borel que, dans le cas des fonctions entières d'ordre fini Modèle:Math, s'il existait une infinité de cercles de rayon Modèle:Mvar sur lesquels la croissance était de l'ordre de Modèle:Math, il était possible que la croissance soit d'un ordre sensiblement inférieur sur une infinité d'autres cercles. Ces fonctions sont dites à croissance irrégulière. Le même phénomène existe pour les fonctions d'ordre infini.

La théorie repose sur l'existence de fonctions types et sur la définition de l'ordre Modèle:Math selon la formule

<math> M(r)= \max_{|z|=r} |f(z)|= \exp\left(r^{\rho(r)}\right)</math>

Applications de la théorie des fonctions entières

La théorie des fonctions entières permet, par le théorème de Liouville, de démontrer de manière simple et élégante le théorème fondamental de l'algèbre.

Cette théorie apparaît aussi dans la démonstration de l'existence d'une infinité de zéros de la fonction zêta de Riemann dans la bande <math>0 < \Re{e}(z) <1</math> par la propriété que les fonctions entières d'ordre non entier ont une infinité de zéros.

La théorie permet aussi l'étude des fonctions méromorphes comme quotients de deux fonctions entières. Les fonctions méromorphes apparaissant naturellement dans nombre de problèmes d'équations différentielles.

Ces méthodes restent aussi une source d'inspiration importante pour l'étude des fonctions analytiques plus compliquées, avec plusieurs variables…

La théorie des fonctions entières est d'un usage indispensable dans la preuve de Harald Cramér d'une conjecture de Paul Lévy stipulant que si la somme de deux variables aléatoires indépendantes suit une loi normale, alors chacune des deux variables suit un loi normale<ref>Modèle:Article</ref>.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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