Théorème intégral de Cauchy
En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy, ou de Cauchy-Goursat, est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe « entre » les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales.
Énoncé
Le théorème est habituellement formulé pour les lacets (c'est-à-dire les chemins dont le point de départ est confondu avec le point d'arrivée) de la manière suivante.
Condition de simple connexité
La condition que U est simplement connexe signifie que U n'a pas de « trou » ; par exemple, tout disque ouvert <math> U = \{ z, \mid z - z_0 \mid < r \} \,</math> satisfait à cette condition.
La condition est cruciale ; par exemple, si Modèle:Mvar est le cercle unité alors [[Intégrale curviligne#Exemple|l'intégrale sur ce lacet de la fonction Modèle:Math]] est non nulle ; le théorème intégral de Cauchy ne s'applique pas ici puisque Modèle:Math n'est pas prolongeable par continuité en 0.
Démonstration
Par des arguments de continuité uniforme de Modèle:Math sur des ε-voisinages compacts de l'image de Modèle:Mvar dans U, l'intégrale de Modèle:Math sur Modèle:Mvar est limite d'intégrales de Modèle:Math sur des lacets polygonaux<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. Il suffit alors, pour conclure, d'invoquer le lemme de Goursat.
On peut également, dans le cas où Modèle:Math est holomorphe en tout point de Modèle:Math, considérer la famille de lacets <math>\gamma_{\alpha}(t) = z_0 + (1 - \alpha) (\gamma(t) - z_0)</math> avec <math>\alpha \in [0,1]</math>.
Conséquences
- Sous les hypothèses du théorème, Modèle:Math possède sur U une primitive complexe Modèle:Math. En effet, quitte à remplacer U par l'une de ses composantes connexes, on peut supposer que U est connexe. En fixant alors un point arbitraire Modèle:Math de U et en posant
<math>F(z)=\int_{P(z)}f(\xi)~\mathrm d\xi</math>, où Modèle:Math est n'importe quel chemin rectifiable dans U de Modèle:Math à Modèle:Math (d'après le théorème, la valeur de Modèle:Math ne dépend pas du choix de Modèle:Math) et en adaptant à la variable complexe la démonstration du premier théorème fondamental de l'analyse, on en déduit alors que F est holomorphe sur U et que Modèle:Math. - Pour une telle primitive on a immédiatement : pour tout chemin continûment différentiable par morceaux Modèle:Mvar de Modèle:Math à Modèle:Math dans U :
<math>\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = F(b) - F(a)</math>. - Le peu d'hypothèses requises sur Modèle:Math est très intéressant, parce qu'on peut alors démontrer la formule intégrale de Cauchy pour ces fonctions, et en déduire qu'elles sont en fait indéfiniment dérivables.
- Le théorème intégral de Cauchy est considérablement généralisé par le théorème des résidus.
- Le théorème intégral de Cauchy est valable sous une forme légèrement plus forte que celle donnée ci-dessus. Supposons que U soit un ouvert simplement connexe de ℂ dont la frontière est un lacet simple rectifiable Modèle:Mvar. Si Modèle:Math est une fonction holomorphe sur U et continue sur l'adhérence de U, alors l'intégrale de Modèle:Math sur Modèle:Mvar est nulle<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Exemple
Pour tout complexe Modèle:Math, la fonction <math>f(z):=\frac{{\mathrm e}^{\mathrm iz}}{z^{\alpha}}</math>, où l'on a choisi la détermination principale de la fonction puissance, est holomorphe sur le plan complexe privé de la demi-droite <math>\R^-</math>. Son intégrale sur tout lacet de ce domaine est donc nulle. Ceci permet de montrer que les intégrales semi-convergentes
- <math>J_c(\alpha):=\int_0^{\infty}\frac{\cos t}{t^{\alpha}}\,\mathrm dt\quad\text{et}\quad J_s(\alpha):=\int_0^{\infty}\frac{\sin t}{t^{\alpha}}\,\mathrm dt\quad\text{pour}\quad\mathrm{Re}(\alpha)\in\left]0,1\right[</math>
(où Modèle:Math désigne la partie réelle) sont respectivement égales à
- <math>J_c(\alpha)=\cos\left((1-\alpha)\frac{\pi}{2}\right)\Gamma(1-\alpha)\quad\text{et}\quad J_s(\alpha)=\sin\left((1-\alpha)\frac{\pi}{2}\right)\Gamma(1-\alpha)</math>
où Modèle:Math désigne la fonction gamma et Modèle:Math sont respectivement les fonctions cosinus et sinus de la variable complexe.
Modèle:Démonstration\mathrm iR\mathrm e^{\mathrm i\theta}\,\mathrm d\theta\right|\le R^{1-a}\int_0^{\pi/2}{\mathrm e}^{-R\sin\theta}\,\mathrm d\theta\le R^{1-a}\int_0^{\pi/2}{\mathrm e}^{-2R\theta/\pi}\,\mathrm d\theta=\frac{\pi}2R^{-a}(1-\mathrm e^{-R}) </math> et
- <math>\lim_{R\to+\infty}R^{-a}(1-\mathrm e^{-R})=\lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon^{-a}(1-\mathrm e^{-\varepsilon})=0.
</math> L'intégrale sur le segment imaginaire est égale à
- <math>\int_R^{\varepsilon}\frac{{\mathrm e}^{-y}}{y^{\alpha}\mathrm e^{\alpha\mathrm i\pi/2}}\mathrm i\,\mathrm dy=-\mathrm e^{(1-\alpha)\mathrm i\pi/2}\int_{\varepsilon}^Ry^{-\alpha}\mathrm e^{-y}\,\mathrm dy\to-\mathrm e^{(1-\alpha)\mathrm i\pi/2}\Gamma(1-\alpha)</math>.
L'intégrale sur le segment réel tend vers <math>J_c(\alpha)+\mathrm iJ_s(\alpha)</math>, qui est donc égal à <math>\mathrm e^{(1-\alpha)\mathrm i\pi/2}\Gamma(1-\alpha)</math>.
De même (en rempaçant Modèle:Mvar par Modèle:Math), <math>J_c(\overline{\alpha})+\mathrm iJ_s(\overline{\alpha})=\mathrm e^{(1-\overline{\alpha})\mathrm i\pi/2}\Gamma(1-\overline{\alpha})</math> donc (en prenant les conjugués des deux membres) <math>J_c(\alpha)-\mathrm iJ_s(\alpha)=\mathrm e^{-(1-\alpha)\mathrm i\pi/2}\Gamma(1-\alpha)</math>.
On a donc bien
- <math>2J_c(\alpha)=\mathrm e^{(1-\alpha)\mathrm i\pi/2}\Gamma(1-\alpha)+\mathrm e^{-(1-\alpha)\mathrm i\pi/2}\Gamma(1-\alpha)=2\cos((1-\alpha)\pi/2)\Gamma(1-\alpha)</math>
et
- <math>2\mathrm iJ_s(\alpha)=\mathrm e^{(1-\alpha)\mathrm i\pi/2}\Gamma(1-\alpha)-\mathrm e^{-(1-\alpha)\mathrm i\pi/2}\Gamma(1-\alpha)=2\mathrm i\sin((1-\alpha)\pi/2)\Gamma(1-\alpha)</math>.
}} Par exemple, <math>\frac12J_c(1/2)=\frac12J_s(1/2)=\frac12\sqrt{\frac{\pi}2}</math> (l'intégrale de Fresnel). On peut de plus remarquer que <math>\lim_{\mathrm{Re}(\alpha)<1,\alpha\to1}J_s(\alpha)=\frac{\pi}2=\int_0^{\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt</math> (l'intégrale de Dirichlet).
Surfaces de Riemann
Le théorème intégral de Cauchy se généralise dans le cadre de la géométrie des surfaces de Riemann.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
