Conjecture d'Agoh-Giuga

En théorie des nombres, la conjecture d'Agoh-Giuga sur les nombres de Bernoulli <math>B_k</math> énonce qu'un entier p est un nombre premier si, et seulement si :

<math>pB_{p-1} \equiv -1 \pmod p\,.</math>

(La notation <math>a \equiv b \pmod{p}</math> signifie que p divise le numérateur de <math>a-b</math> mais pas le dénominateur de <math>a-b</math>.)

La condition de la conjecture est nécessaire car on sait, d'après le théorème de von Staudt-Clausen, que <math>pB_{2m} \equiv -1 \pmod p</math> pour tout nombre premier p tel que <math>p-1</math> divise 2m et que <math>2B_{1} \equiv -1 \pmod 2\,</math>.

La conjecture ainsi énoncée est due à Takashi Agoh. Une formulation équivalente due à Giuseppe Giuga est qu'un nombre p est premier si, et seulement si :

<math>1^{p-1}+2^{p-1}+ \cdots +(p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod p\qquad(1)</math>.

Voir l'article nombres de Giuga. L'équivalence entre les deux formulations est démontrée par Agoh<ref>Proposition 5 de l'article d'Agoh.</ref>.

Dans la formulation de Giuga, une implication se déduit du petit théorème de Fermat. En effet, selon celui-ci, si p est un nombre premier, alors pour tout entier a entre 1 et p-1, la puissance p-1^e de a est congrue à 1 modulo p. La congruence (1) s'obtient en sommant ces relations. Giuga a démontré qu'un possible contre-exemple <math> n </math> (c'est-à-dire un nombre composé vérifiant la congruence (1)) est un nombre de Carmichael<ref>Proposition 4 de l'article d'Agoh.</ref> ; il a vérifié la conjecture pour n < 10 ¹⁰⁰⁰  ; Edmondo Bedocchi l'a vérifié pour n < 10 ¹⁷⁰⁰ , et en 1996 Borwein et d'autres sont allés jusqu'à n < 10 ¹³⁸⁰⁰ . Laerte Sorini, enfin, dans un ouvrage de 2001, a montré qu'un contre-exemple éventuel devait être un nombre n supérieur à 10 ³⁶⁰⁶⁷ qui est la limite suggérée par Bedocchi pour des raisons techniques à la démonstration indiquée par Giuga à sa propre conjecture.

Notes et références

Notes

<references/>

Références

• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} G. Giuga,« Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi » dans I° Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83 (1950), 511-528.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} E. Bedocchi,« Nota ad una congettura sui numeri primi , Riv. Mat. Univ. Parma, (4) 11 (1985), 229-236.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} T. Agoh, « On Giuga’s conjecture » dans Manuscripta Math. 87(4) (1995), 501-10.
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein and R. Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} L. Sorini, « Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga » dans Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica , n. 68, Ottobre (2001).
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} J. M. Borwein, M. Skerritt and C. Maitland, « Computation of a lower bound to Giuga's primality conjecture » dans Integers 13 (2013).