Vecteur unitaire

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Deux vecteurs unitaires dans un espace vectoriel normé.

Dans un espace vectoriel normé (réel ou complexe) E, un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1.

• Si le corps des scalaires est R, deux vecteurs unitaires v et w sont colinéaires si et seulement si v = w ou v = –w.
• Si le corps des scalaires est C, et si v est un vecteur unitaire de E, alors les vecteurs unitaires colinéaires à v sont αv où α est un complexe de module 1.

Les vecteurs unitaires permettent de définir la direction et le sens d'un vecteur non nul de E. Tout vecteur non nul v est la multiplication du vecteur unitaire u = v/║v║ par un nombre réel strictement positif, à savoir la norme ║v║ de v.

v = ║v║u.

Pour tout vecteur ayant un sens opposé à v, on a :v = -║v║u.

En physique, pour dénoter les vecteurs unitaires, il est usuelModèle:Refnec d'utiliser un accent circonflexe : <math>\hat{x}, \hat{y}, \hat{z} </math>. En mécanique quantique, les états sont des vecteurs unitaires d'espaces de Hilbert. En particulier, les fonctions d'onde sont des fonctions sur R³ de carré sommable et de norme L² égale à 1.

Dérivation des vecteurs unitaires

Soit E un espace euclidien, et soit une fonction dérivable t ↦ e(t) à valeurs dans E, telle que pour tout t, e(t) est un vecteur unitaire. Alors le vecteur dérivé e'(t) est orthogonal à e(t). C'est le cas notamment pour les vecteurs de toutes les bases orthonormales Modèle:Lien.

En effet, le carré de la norme de e(t) est une fonction constante en t, donc de dérivée nulle. Sa dérivée est

<math>0=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\|e(t)\|^2 = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle e(t)\mid e(t)\rangle = 2\langle e'(t)\mid e(t)\rangle.</math>

Par définition de l'orthogonalité, les deux vecteurs e(t) et e'(t) sont orthogonaux pour tout t.