Statistique de Bose-Einstein

En mécanique quantique et en physique statistique, la statistique de Bose-Einstein désigne la distribution statistique de bosons indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre thermodynamique. La distribution en question résulte d'une particularité des bosons : les particules de spin entier ne sont pas assujetties au principe d'exclusion de Pauli, à savoir que plusieurs bosons peuvent occuper simultanément un même état quantique.

Distribution de Bose-Einstein

La statistique de Bose-Einstein a été introduite par Satyendranath Bose en 1920 pour les photons et généralisée aux atomes par Albert Einstein en 1924. Statistiquement, à l'équilibre thermodynamique, le nombre Modèle:Mvar de particules d'énergie Modèle:Mvar est

<math> n_i = \frac{g_i} { \exp \left( \frac{ E_i - \mu } {k_{\rm B}T} \right) - 1 } \,</math>

où :

• Modèle:Mvar est la dégénérescence du niveau d'énergie Modèle:Mvar, à savoir le nombre d'états possédant cette énergie ;
• Modèle:Mvar est le potentiel chimique ;
• Modèle:Math est la constante de Boltzmann ;
• Modèle:Mvar est la température.

Entropie et dérivation dans l'ensemble microcanonique

L'entropie d'un système constitué par des bosons indiscernables, décrits par des fonctions d'onde symétriques (spin entier), peut être trouvée en utilisant la description statistique due à J. Willard Gibbs<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Elle vaut

<math>S=k_{\rm B}\sum_j G_j\left[(1+n_j)\log{(1+n_j)}-n_j\log n_j\right]</math>

où

Modèle:Math	constante de Boltzmann,
Modèle:Mvar	nombre d'occupation (proportion de bosons dans un état d'énergie donné),
Modèle:Mvar	nombre d'états possibles dans le groupe j (dégénérescence).

Modèle:Démonstration Dans l'ensemble microcanonique, les variables thermodynamiques à l’équilibre sont obtenus par maximisation de l'entropie sous contrainte de respecter le nombre total de bosons <math>N=\sum_iG_in_i</math>  et l'énergie totale  <math>E=\sum_in_iG_iE_i</math>. En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, Modèle:Mvar pour le nombre de particules et Modèle:Mvar pour l'énergie, la solution vérifie

<math>\frac{\partial}{\partial n_j}\left(S-\alpha N-\beta E\right)=0\,,\qquad \forall j</math>

La solution de ce système d'équations indépendantes est la distribution statistique de Bose-Einstein

<math>n_j=\frac{1}{\mathrm{e}^{\alpha+\beta E_j}-1}</math>

On peut retrouver les valeurs de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar à partir du premier principe de la thermodynamique. Donc, Modèle:Math et Modèle:Math.

Limite classique et comparaison avec les fermions

À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Bose-Einstein, comme la statistique de Fermi-Dirac qui régit les fermions, tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann. Aux basses températures, cependant, les deux statistiques diffèrent entre elles. Ainsi, à température nulle :

• avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons;
• avec la statistique de Fermi-Dirac, les niveaux de plus basse énergie contiennent chacun au plus Modèle:Mvar fermions.

Condensat de Bose-Einstein

Comme vu précédemment, la statistique de Bose-Einstein prévoit qu'à température nulle, toutes les particules occupent le même état quantique, celui de plus basse énergie. Ce phénomène est observable à l'échelle macroscopique et constitue un condensat de Bose-Einstein.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Article :
  • Modèle:Ouvrage, dans Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.

Articles connexes

• Autres distributions statistiques en physique statistique :
  • en mécanique quantique : Statistique de Fermi-Dirac et Anyon
  • en mécanique classique : Statistique de Maxwell-Boltzmann
• Fonction de Bose
• Physique quantique
• Physique statistique

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