Règle de trois

En mathématiques élémentaires, la règle de trois ou règle de proportionnalité ou produit en croix est une méthode mathématique permettant de déterminer une quatrième proportionnelle. Plus précisément, trois nombres Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar étant donnés, la règle de trois permet, à partir de l'égalité des produits en croix, de trouver le nombre Modèle:Mvar tel que Modèle:Math soit proportionnel à Modèle:Math. Ce nombre Modèle:Mvar vaut :Modèle:Retrait

Elle tire son nom de la présence d'une opération qui implique trois nombres (Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar).

La règle de trois est une méthode pouvant être utilisée pour résoudre les problèmes de proportionnalité, comme les distances parcourues à vitesse constante en fonction du temps, le prix à payer en fonction du poids en économie domestique ou les problèmes de dosage en technique de laboratoire. Elle se retrouve notamment dans le calcul de pourcentages, dans la résolution de problèmes de conversion d’unités, en application du théorème de Thalès ou encore dans la caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs du plan à l’aide de leurs coordonnées.

La manière de présenter la règle de trois et la place qui lui est accordée dans l'enseignement français ont varié selon les époques. La question soulevée par son apprentissage est un point de discorde entre les tenants d'un enseignement fournissant des recettes et les tenants d'un enseignement présentant un savoir intelligible en construction.

Présentations de la règle

La règle de trois s'utilise quand il existe de manière évidente une proportionnalité entre deux variables comme le prix à payer en fonction de la quantité achetée en économie ou les relations entre les distances sur la carte et les distances sur le terrain dans des problèmes d'échelles. La règle de trois sous-tend la célèbre allitération, « si c'est six sous ces six saucissons-ci, c'est six-cent six sous ces six-cent six saucissons-là ».

Ainsi les trois problèmes suivants peuvent se résoudre par une règle de trois :

La manière de justifier cette procédure, fondamentale pour la compréhension des mathématiques, n'est pas unique et a varié au cours du temps.

Produits en croix

C’est sous cette forme qu’elle est souvent maintenant présentée en France<ref>Socle commun de connaissances — Modèle:Nobr sur le site Eduscol.</ref>. Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, le produit des termes situés dans une diagonale est égal au produit des termes situés dans l'autre diagonale. Ce résultat est connu depuis au moins Euclide sous le nom d'égalité du produit des extrêmes et du produit des moyens (dans une lecture de gauche à droite et de haut en bas).

Pour résoudre les problèmes précédents, il suffit alors de construire un tableau de proportionnalité incomplet :

Masse en kg	Prix en €
2	10
1,5	Modèle:Mvar

ou

Carte (distances en cm)	2	12,2
Terrain (distances en km)	15	Modèle:Mvar

Les produits en croix permettent d'écrire les équations suivantes et de trouver leurs solutions

• dans le premier tableau : <math>1{,}5 \times 10 = 2 \times x\,</math> donc <math> x =\dfrac{1{,}5 \times 10}{2}</math>
• dans le second tableau : <math>12{,}2 \times 15 = 2 \times y\,</math> donc <math> y =\dfrac{12{,}2 \times 15}{2}</math>

Le résultat final s’obtient donc en effectuant le produit des deux termes d’une diagonale et en divisant par le terme restant.

Réduction à l'unité

Cette méthode met en place un discours plus explicatif permettant d'élucider la règle de trois pour la remplacer par une « règle de six ». Elle consiste à utiliser une étape en passant par l'unité.

Pour le problème 1 :

• pour acheter Modèle:Unité de fruits il faut Modèle:Unité ;
• pour acheter Modèle:Unité de fruits, il faut deux fois moins d'euros soit <math>\dfrac {10}2</math> euros ;
• pour acheter Modèle:Unité de fruits, il faut 1,5 fois plus d'euros soit <math>\dfrac {10 \times 1{,}5}2</math> euros.

Pour le problème 2 :

• Modèle:Unité sur la carte représentent Modèle:Unité sur le terrain ;
• Modèle:Unité sur la carte représente deux fois moins de km sur le terrain c'est-à-dire <math>\dfrac {15}{2}</math> km ;
• Modèle:Unité sur la carte représentent 12,2 fois plus de km, soit <math>\dfrac {15\times12{,}2}{2}</math> km.

Pour le problème 3 :

• 10 objets coûtent Modèle:Unité ;
• 1 objet coûte dix fois moins, c'est-à-dire Modèle:Unité ;
• 15 objets coûtent 15 fois plus, soit <math>2{,}20 \times 15 = 33</math> euros.

Elle fut enseignée sous cette forme dans les écoles françaises à différentes époques.

Coefficient de proportionnalité

La méthode du coefficient de proportionnalité utilise une propriété voisine des tableaux de proportionnalité : dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre (ou d'une colonne à l'autre) en multipliant par un coefficient constant appelé le coefficient de proportionnalité qui doit rester sous une forme exacte, éventuellement fractionnaire.

Ainsi le problème 1 fournit le tableau

Masse en kg	Prix en €
2	10
1,5	Modèle:Mvar

Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première colonne à la seconde colonne est de 5 ou <math> \frac {10}2</math> car <math>10 = 5 \times 2</math>. C'est ce même coefficient de proportionnalité qui permet de passer de 1,5 au nombre cherché. Le nombre cherché est donc <math>5 \times 1{,}5</math>.

De même le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à le seconde ligne est de <math> \dfrac {1{,}5}2</math> car <math>1,5= \dfrac {1{,}5}2 \times 2</math>. C'est ce même coefficient de proportionnalité qui permet de passer de 10 au nombre cherché. Le nombre cherché est donc <math>\dfrac {1{,}5\times 10}2</math>.

Rôle de la proportionnalité

L'utilisation d'une règle de trois suppose que soit établie l'existence d'une proportionnalité entre les quantités en présence. Les Instituts universitaire de formation des maîtres (IUFM)<ref>Voir l'article de Roland Charnay de l'IUFM de Lyon ou celui de François Drouin de l'IUFM de Lorraine dans le bulletin Modèle:N° de l'APMEP.</ref> soulèvent cet écueil : la règle de trois ne peut pas précéder la notion de proportionnalité.

Remplir un tableau à quatre cases ne garantit pas l'existence d'une proportionnalité et peut conduire à des contresens comme celui-ci Modèle:Théorème

Il est toujours possible de construire un tableau

Nombre d'ouvriers	4	6
Temps en jours	9	?

Mais il est nécessaire de vérifier la proportionnalité avant de tenter d'appliquer la règle de trois. Ici la vérification consiste seulement à se demander Modèle:Citation. Normalement, la réaction de bon sens consiste à répondre non, et la règle de trois ne s'applique pas de manière directe (voir règle de trois inverse). Cette non-proportionnalité se manifeste de manière plus évidente dans l'évident contre-exemple « si une femme met neuf mois à faire un bébé, neuf femmes mettront un mois à faire un bébé ».

François Drouin<ref>Modèle:Article.</ref> souligne la rareté des phénomènes de proportionnalité et évoque le fait que, même en économie domestique, il n'y a pas toujours proportionnalité entre la quantité achetée et le prix payé. La précision, Modèle:Citation, Modèle:Citation, Modèle:Citation, est souvent un non-dit de l'énoncé. Déjà au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, Diderot et d'Alembert dans leur encyclopédie, pointaient du doigt cette contrainte, signalant qu'il ne leur semblait pas raisonnable d'imaginer qu'une citerne puisse se vider à débit constant et qu'il est donc peu réaliste de considérer que le temps nécessaire à vider une citerne soit proportionnel au volume d'eau qu'elle contient<ref name ="encyclopédie">Denis Diderot et Jean Le Rond d'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, article règle de trois.</ref>.

Le tableau de proportionnalité, construit avec plus de quatre cases, permet en outre de développer d'autres techniques pour déterminer une quatrième proportionnelle. Ainsi pour le problème 1, on peut observer qu'en prenant 4 fois moins de fruits, on doit payer quatre fois moins d'euros. On construit donc le tableau intermédiaire :

Masse en kg	Prix en €
2	10
0,5	2,5

Les propriétés sur les tableaux de proportionnalité permettent de dire que l'on peut créer une nouvelle ligne en sommant ou retranchant deux lignes. On peut ainsi créer la ligne solution du problème par soustraction des deux lignes précédentes :

Masse en kg	Prix en €
2	10
0,5	2,5
2 - 0,5 = 1,5	10 - 2,5 = 7,5

Cas des nombres entiers

La règle de trois s'applique pour des quantités portionnables, nombres décimaux, fractionnaires ou réels. Il est difficile de l'utiliser lorsqu'une des quantités ne peut pas se diviser : nombre de pots de peinture nécessaire pour peindre les murs d'une pièce, nombre d'objets que l'on peut acheter avec une quantité d'argent donnée. Le résultat à fournir étant un nombre entier d'objets ou de pots, il s'agit d'arrondir le nombre, obtenu par l'application de la règle de trois, par excès ou par défaut selon la logique du problème.

Il peut aussi arriver que les deux quantités soient des entiers. Alors la règle de proportionnalité n'est pas vérifiée. Ainsi le problème Modèle:Théorème qui se présente comme les problèmes précédents doit être résolu, non par une règle de trois, mais par l'utilisation de divisions euclidiennes.

• Si avec 560 perles, on peut faire 11 colliers, combien de perles contient chaque collier ?

  560 = 11 × 50 + 10

  Chaque collier contient 50 perles (et il reste 10 perles non utilisées).

• Avec 9000 perles, combien peut-on faire de colliers de 50 perles ?

  9000 = 50 × 180

  Avec 9000 perles on peut donc faire 180 colliers

L’application de la règle de trois aurait conduit à

<math>\dfrac{9000\times 11}{560}\approx 176{,}78</math>

qui, même arrondi à 177, n'aurait pas donné le bon nombre de colliers.

Extensions

Règle de trois inverse

Il y a des grandeurs qui diminuent à proportion d’un accroissement des données. Par exemple, si on demande en combien de temps Modèle:Unité construiront un certain mur que Modèle:Unité ont pu élever en Modèle:Unité, on considérera qu’il faut, pour construire un tel mur, un travail égal à Modèle:Retrait travail qui est, dans une large mesure, indépendant du nombre d’hommes ou du temps disponible, mais ne dépend que de la taille du mur<ref group="Note">Cette hypothèse ne va pas de soi : il faut en général un nombre d’ouvriers minimum et un temps d’amorçage minimum, incompressible, pour exécuter une tâche ; et puis si un travail d’exécution (ici, construire un mur) peut à la rigueur être indéfiniment partagé entre un nombre arbitraire de travailleurs, il n’en va pas de même d’un travail de conception ou d’expertise ; enfin, l’augmentation indéfinie de l’effectif peut s’avérer dommageable, les ouvriers se gênant entre eux à un certain stade de la construction (« loi de Brooks »)<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.</ref>. Ainsi, le temps recherché Modèle:Mvar doit être tel que : 10 × Modèle:Mvar = 180 donc Modèle:Mvar = 18 jours. En résumé, la règle de trois s’écrit dans ce cas : <math> t = \dfrac{15 \times 12 }{10} = 18</math>

La réponse est donc Modèle:Unité pour Modèle:Unité.

Règle de trois composée

On rencontre parfois des problèmes de proportion faisant intervenir deux « règles de trois » enchaînées, ou même plus. En voici un exemple :

Lagrange propose la règle suivante<ref>Lagrange, Leçons de mathématiques données à l’École normale de l’Modèle:Nobr (1795),Modèle:Éd. Dunod, 1992, Modèle:P., lire en ligne.</ref> : Modèle:Citation

Dans l’exemple qu’on vient de donner, pour une même largeur de route,

• il faut plus d’ouvriers si la longueur de rue à paver augmente ;
• il faut moins d’ouvriers si la durée journalière de travail augmente ou si le nombre de jours accordé pour faire le travail augmente.

Donc le Modèle:Nobr d’ouvriers cherché est donné par : <math>N = 18 \times \dfrac{75}{150}\div \left(\dfrac{6}{8} \times \dfrac{15}{10} \right)=\dfrac{18 \times 75 \times 8 \times 10 }{150 \times 6 \times 15} = 8</math>.

Règle de trois dans l'enseignement français

Produit des extrêmes et des moyens

La recherche d'une quatrième proportionnelle est un problème très ancien puisqu'on en trouve trace déjà dans les Éléments d'Euclide. Celui-ci étudie, dans son livre V, la notion de grandeurs proportionnelles et celle de raison entre grandeurs : 4 grandeurs a, b, c, d sont proportionnelles si a est à b ce que c est à d. C'est-à-dire si la raison entre a et b est égale à la raison entre c et d – de nos jours on écrirait : <math>\frac ab = \frac cd</math> . Il établit, dans son livre VII, la règle sur les proportions entre nombres entiers : quatre nombres sont proportionnels si et seulement si le produit du premier par le quatrième est égal au produit du second par le troisième<ref>Éléments d'Euclide, « livre VII, théorème 17, proposition XIX ».</ref>. Cette règle qui s'appelle aujourd'hui égalité des produits en croix se traduisait aussi souvent par l'expression : le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. C'est sur cette règle que se construisent alors les recherches de quatrième proportionnelle. On peut cependant remarquer qu'Euclide travaille sur des quantités de même nature (livre V) ou bien sur des entiers (livre VII). Ce n'est que plus tard que cette propriété est généralisée aux nombres rompus (ou fractionnaires), aujourd'hui appelés nombres rationnels.

Le terme de Modèle:Citation est attesté, en France, dès 1520 mais est probablement présent dès le Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle<ref name = "Bregeon">Jean-Luc Bregeon, Une petite histoire de la règle de trois.</ref>. Dans son ouvrage L'arithmétique nouvellement composée<ref>D'après Aristide Marre, cet ouvrage serait en partie une copie de La triparty de Nicolas Chuquet (1484).</ref>, Estienne de La Roche consacre tout un chapitre à cette règle qu'il décrit comme Modèle:Citation et précise son surnom de règle dorée<ref>Etienne de La Roche, L'Arithmétique nouvellement composée, de la règle de troys et de ses especes.</ref>. C'est une recette qu'il donne concernant trois nombres telle que la proportion entre le premier et le deuxième soit identique à celle entre le troisième et le quatrième. Ici, les unités prennent de l'importance : il précise que le premier et le troisième nombre doivent être de même nature, ainsi que le second avec le quatrième. Il rappelle que dans un tel cas, le produit du premier nombre par le quatrième doit être égal au produit du second par le troisième. Il établit alors la règle : Modèle:Citation bloc

Règle de raison du sieur Barrême

Dès 1710, la recette est popularisée par les nombreuses éditions du livre de François Barrême L’Arithmétique du sieur Barrême, ou le livre facile pour apprendre l'arithmétique de soi-même et sans maître. Barrême est l'auteur d'ouvrages de calculs pratiques et de tables de correspondance qui sont passés à la postérité sous le nom de barèmes<ref name = "Bregeon"/>.

Dans son traité, la justification par le produit des extrêmes et des moyens a disparu. La preuve de la justesse du calcul consiste à utiliser la même règle de trois pour retrouver un des nombres initiaux. Seul reste l'énoncé de la recette. L'existence d'une proportionnalité est un non-dit. Barrême en revanche insiste beaucoup sur la nature des nombres manipulés et comme de La Roche, précise que le premier et le troisième nombre doivent être de même nature, comme le deuxième avec le quatrième. Il surnomme cette règle, la « règle de raison », indiquant par là qu'elle lui semble représenter une victoire de la raison dans le domaine des mathématiques<ref>François Barrême, Nicolas Barrême, L’Arithmétique du Sieur Barrême, ou le livre facile pour apprendre l'arithmétique de soi-même et sans maître, Règle de trois, Bessin, 1710.</ref>.

Règle de trois dans l'Encyclopédie de Diderot et d’Alembert

On retrouve cette même qualité de recette dans l'article de l'Encyclopédie, même si Diderot et d’Alembert se préoccupent, plus que Barrême, de l'existence d'une réelle proportionnalité. C'est aussi dans cet ouvrage qu'on la qualifie de « règle d'or »<ref name="encyclopédie"/>.

Réduction à l'unité

Dans la première moitié du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, les esprits changent, la théorie des proportions nécessaire à la compréhension de la règle passe au second plan. En 1810, Antoine André Louis Reynaud<ref>Professeur à l'École polytechniqueà partir de 1804 Biographie.</ref>, propose une nouvelle méthode consistant à revenir à l'unité ce qui lui permet de traiter de la même manière les cas proportionnels ou inversement proportionnels<ref>Antoine André Louis Reynaud, Éléments d'Algèbre, volume 1, 1810, La règle de trois.</ref>.

En préambule il annonce proposer Modèle:Citation. Son but est pédagogique : il a remarqué que la multitude de règles concernant la règle de trois et ses variantes obscurcissait la maîtrise du phénomène. Il a conscience que la règle appliquée sans réflexion conduit à des résultats aberrants en cas de quantités inversement proportionnelles. Son ambition est donc de remplacer la recette par un raisonnement Modèle:Citation écrit-il dans son préambule<ref>Antoine André Louis Reynaud, Éléments d'Algèbre, volume 1, 1810, « Préambule ».</ref>. La méthode plait, son emploi, sous le nom de réduction à l'unité, est encouragé par les inspecteurs primaires et fleurit dans les ouvrages scolaires<ref name = "Bregeon"/>. Durant plus d'un siècle elle sera utilisée dans tous les problèmes de l'enseignement primaire en particulier dans l'épreuve reine du certificat d'étude.

La règle de trois n'aura pas lieu

Les années 1960-1970 voient l'avènement des mathématiques modernes. L'idée sous-jacente à cette réforme est, qu'au delà des règles de calcul, il existe des savoirs et des savoir-faire plus abstraits permettant de structurer davantage la pensée<ref name="Eduscol">Michel Fayol, « Les mathématiques : regards sur 50 ans de leur enseignement à l’école primaire », dans Le nombre en cycle 2, sur le site Eduscol.</ref>. La recette de la règle de trois va donc être abandonnée au profit d'un concept plus général : la linéarité. Plutôt qu'une règle, on propose un instrument, la proportionnalité, à savoir manipuler dans des exercices de types très variés demandant autonomie et prise d'initiative chez l'élève. En 1963, Gilbert Walusinski, membre de l'Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public (APMEP) très impliquée dans la réforme<ref>G. Walusinski « L’instructive histoire d’un échec : les mathématiques modernes (1955-1972) », Bulletin de l'APMEP, Modèle:N°, avril 1986.</ref>, écrit un article « La règle de trois n'aura pas lieu »<ref group="Note">Ceci est un clin d’œil à l’œuvre de Jean Giraudoux, La guerre de Troie n'aura pas lieu.</ref> dans le Bulletin de l'APMEP n^o 231 de mai-juin, critiquant l'automatisme de la règle de trois et proposant des problèmes en situation permettant de mobiliser l'esprit critique des élèves<ref>Évelyne Barbin, La réforme des mathématiques modernes et l'APMEP.</ref>. Ce titre est repris dans un film distribué par les Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques (IREM) dans les années 1970 se proposant de convaincre les futurs enseignants de l'inanité de la règle de trois<ref>Rudolf Bkouche, La règle de trois et les didacticiens.</ref>.

L'abandon de l'enseignement des mathématiques modernes au début des années 1980 ne sonne pourtant pas son retour. L'outil à la mode reste le tableau de proportionnalité qui, avec le produit en croix ou le coefficient de proportionnalité, propose des méthodes permettant de calculer une quatrième proportionnelle.

Il faut noter que dans de nombreux cas, une astuce permet de simplifier la résolution ; ainsi, dans le problème 3 exposé plus haut, en remarquant que 10 et 15 sont multiples de 5, donc :

• 10 objets coûtent Modèle:Unité ;
• 5 objets coûtent Modèle:Unité ;
• 15 objets (3 x 5) coûtent 33 (3 x 11) euros.

Retour dans les programmes de 2008

Cependant, cette autonomie laissée à l'élève pour trouver la quatrième proportionnelle induit un effet pervers : l'élève manquant d'autonomie se retrouve sans outil efficace pour résoudre un simple problème de proportionnalité. Certains milieux professionnels, comme les formateurs en école d'infirmières, s'en inquiètent dès 1996<ref>Pascal Martin, « La règle de trois, un cheval de bataille dans la formation infirmière », dans Objectif Soins, Modèle:N°, avril 1996.</ref>.

En 2008, une réflexion sur les savoirs fondamentaux conduit aux observations suivantes : les performances scolaires en mathématiques des élèves français baissent, l'évaluation Pisa montre que si les meilleurs élèves restent toujours très performants, le nombre d'élèves faibles en mathématiques devient trop important<ref name="Eduscol"/>. Un remède est proposé : la maîtrise des outils de base ne pourrait s'acquérir que par de nombreux exercices répétitifs et par la mise en place de procédures appliquées jusqu'à leur automatisation, permettant alors à l'esprit enfin libéré de manipuler des raisonnements plus complexes<ref name="Eduscol"/>. La règle de trois réapparaît alors dans les programmes de l'enseignement primaire mais son mode d'introduction est laissé au libre choix de l'enseignant.

Annexes

Bibliographie

• Jean-Luc Bregeon, Une petite histoire de la règle de trois.
• François Drouin, « Le retour de la règle de trois », Bulletin de l'APMEP, n^o 484, septembre-Modèle:Date-, Modèle:P..
• Rudolf Bkouche, La règle de trois et les didacticiens.
• Magali Hersant, La proportionnalité dans l'enseignement obligatoire français au XXe siècle et au début du XXIe siècle, colloque Copirelem, Modèle:Date-.

Articles connexes

• Proportionnalité