Généralités sur les machines électriques
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Le but de cette page est d'expliquer et de démontrer comment une machine électrique fonctionne et produit un couple.
Circuit statique
Soit un circuit magnétique entouré par un bobinage comportant N spires alimenté par une tension <math>u \,</math>. On note <math> \varphi\,</math> le flux par spire et <math>\Phi = N \varphi\,</math> le flux total embrassé par la bobine.
On peut faire le schéma électrique équivalent suivant Fichier:Circuit Magnétique équivalent électrique.png avec une résistance R qui symbolise les pertes dans les câbles et une fem <math>e={d\Phi\over dt}\,</math> voir Loi de Lenz.
donc on peut écrire :
<math>u=Ri+ {d\Phi\over dt}\,</math>
En multipliant cette équation par <math>idt\,</math> on obtient :
<math>u.i.dt=R.i^2.dt+N.i.d\varphi\,</math>
Bilan des énergies
Donc on alimente un circuit magnétique avec une tension u, le circuit consomme une puissance We, on obtient de la chaleur W_th (les câbles chauffent) et le reste est de l'énergie magnétique. donc <math>dW_e=dW_{th}+dW_{m}\,</math>
Reprenons la formule plus haut <math>u.i.dt=R.i^2.dt+N.i.d\varphi\,</math> On peut identifier <math>dW_e=u.i.dt \,</math> la puissance consommée et <math>dW_{th} = R.i^2.d t\,</math> les pertes thermiques.
Par identification on en déduit que <math>dW_m=Nid\varphi\,</math>. Donc :
<math>W_m = \int{Nid\varphi}\,</math>
Si on considère que le circuit est indéformable alors <math>dS=0 \,</math> avec <math>S \,</math> = surface délimitée par le circuit.
<math> \varphi = B.S \Rightarrow d\varphi = S.dB+dS.B \Rightarrow dW_m=N.i.S.dB\,</math>
<math>Ni = \int{H.dl}=Hl </math>
donc on en déduit <math>dW_m=H.l.S.dB=H.dB.V \,</math> avec <math>V= l.S = \,</math>Volume
donc <math> W_m=\int{H.dB.V} </math>
Cas linéaire : On considère que le matériau est non saturé.
donc <math> \Phi =Li\, </math> et <math> B=\mu .H\, </math>
<math>W_m=\frac{1}{2}.\Phi .i\,</math> si <math>\Phi=L.i\,</math> alors <math>W_m=\frac{1}{2}.L.i^2</math>
<math>\frac{W_m}{V}=\frac{1}{2}.B.H=\frac{1}{2}.\mu .H^2= \frac{B^2}{2\mu} </math>
on pose <math>W_m+W'_m= \Phi .i=N.\varphi .i \,</math> avec :
- <math>W_m \,</math>= énergie magnétique
- <math>W'_m\,</math>= co-énergie
dans le cas linéaire = <math>W_m=W'_m=\Phi .i /2 \,</math>
Circuit déformable ou dynamique
Comme le circuit est en mouvement, on a de l'énergie mécanique en plus de l'énergie thermique et l'énergie magnétique.
Donc : <math>dW_e=dW_{th}+dW_{meca}+dW_m \,</math>, avec :
- <math>dW_e=u.i.dt=(Ri+N\frac{d\varphi}{dt}).i.dt=R.i^2.dt+N.i.d\varphi \,</math>
- <math>dWth= R.i^2.dt\,</math>
- <math>dW_{meca} = F.dx\,</math> (déplacement linéaire) ou <math>dW_{meca} = C.d \theta \,</math> (rotation)
De plus on néglige les pertes fer et les frottements.
donc on obtient :
- <math>R.i.dt+N.i.d\varphi=Fdx+dW_m \,</math>
- <math>F=(-\frac{dW_m}{dt}) \varphi=cste\,</math>
comme <math>W_n+W'_m = \varphi .N.i \,</math>
