Théorème de convergence dominée
En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.
Le théorème de convergence dominée
Exemples
Un cas particulier élémentaire mais utile
Soit <math>(f_n)_{n\in\N}</math> une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle <math>I</math> de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes :
- la suite <math>(f_n)_{n\in\N}</math> converge simplement vers une fonction <math>f</math> ;
- il existe une fonction continue <math>g</math> telle queModèle:RetraitAlorsModèle:Retrait
Remarques sur l'hypothèse de domination
L'existence d'une fonction intégrable <math>g</math> majorant toutes les fonctions Modèle:Math équivaut à l'intégrabilité de la fonction <math>\sup_n|f_n|</math> (la [[Borne supérieure et borne inférieure#Exemples|plus petite fonction majorant toutes les fonctions Modèle:Math]]).
Cette hypothèse est indispensable pour appliquer le théorème : par exemple sur Modèle:Math, la suite des fonctions Modèle:Math — où Modèle:Math et Modèle:Math désigne la fonction indicatrice de l'intervalle Modèle:Math — converge simplement vers la fonction nulle (la convergence est même uniforme) mais la suite des intégrales des Modèle:Math, loin de tendre vers l'intégrale (nulle) de cette limite, vaut constamment Modèle:Math. D'après le théorème, <math>\sup_n|f_n|</math> n'est donc pas intégrable. (Effectivement : <math>\sup_n|f_n(t)|</math> Modèle:Math, or la série harmonique diverge.)
Il peut cependant arriver que la conclusion souhaitée soit vraie sans qu'on puisse la déduire du théorème : par exemple sur Modèle:Math, la suite des fonctions Modèle:Math converge vers Modèle:Math à la fois simplement et dans [[Espace L1|Modèle:Math]], bien que Modèle:Math ne soit pas intégrable.
Convergence d'une suite d'indicatrices
Appliquons le théorème au cas où chaque Modèle:Mvar est l'indicatrice d'une partie Modèle:Mvar de Modèle:Mvar. Puisque ces fonctions sont à valeurs réelles, la convergence simple de cette suite de fonctions équivaut à l'égalité de ses limites inférieure et supérieure, respectivement égales aux indicatrices des limites inférieure et supérieure de la suite d'ensembles. On obtient donc :
Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au théorème de convergence dominée. En effet
Généralisation
En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :
Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.
Remarque :
Dans le cas d'une mesure de probabilité, la première hypothèse peut être modifiée en :
- la suite de fonctions <math>(f_n)_{n\in\N}</math> converge en probabilité vers une fonction mesurable Modèle:Mvar.
Exemple d'application
Si <math> f\in\mathrm L^1(\R)</math>, sa transformée de Fourier <math>y\mapsto\widehat f(y)=\int f(x){\rm e}^{-{\rm i}xy}\,{\rm d}x</math> est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque <math>\left|f(x){\rm e}^{-{\rm i}xy}\right|=|f(x)|</math> ; le théorème de convergence dominée permet de voir que <math>\widehat f</math> est séquentiellement continue, donc continue.
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- Théorème de la convergence dominée de Lebesgue. Corollaires sur les-mathematiques.net
- Le Théorème de la convergence dominée pour les fonctions Riemann-intégrables, J.-F. Burnol, notes d'un cours de DEUG à l'université de Lille
- Théorèmes de Lebesgue dans un cas simple
