Parabole de sûreté
En physique et en balistique, on désigne par parabole de sûreté la courbe enveloppe de toutes les trajectoires paraboliques possibles d'un corps lancé depuis un point donné avec une vitesse donnée dans un plan vertical d'azimut fixé<ref>Par rotation autour de la verticale, on obtient un paraboloïde de révolution qui enveloppe toutes les trajectoires paraboliques possibles depuis un point donné avec une vitesse donnée.</ref>. Nul point en dehors de cette courbe ne peut être atteint par un projectile ayant cette vitesse initiale : la zone est « sûre », d'où le nom de la courbe.
En coordonnées cartésiennes, cette parabole est décrite par l'équation :
<math> z = h - \frac{x^2}{4h}</math>
où <math> h = \tfrac{V_0^2}{2g}</math> désigne l'altitude maximale pouvant être atteinte.
Équations
Soit un boulet B, lancé à une vitesse initiale <math>V_0</math> à partir du point O, tombant dans le vide, dans un champ de pesanteur uniforme <math>g</math>. Sa trajectoire, dans le plan vertical <math>(O, V_0, g)</math>, est parabolique :
Et l'équation cartésienne de cette parabole est :
<math>z(x) = - \frac {x^2 } {4h}\left(1+ \tan^2(A)\right) + x \tan(A)</math>
en notant <math>A</math> l'angle de tir (angle entre le vecteur <math>V_0</math> et l'horizontale), et <math>h = \tfrac{V_0^2}{2g}</math>, l'altitude maximale atteinte lors d'un tir vertical.
Pour atteindre le point <math>M(x_0,z_0)</math>, l'artilleur devra choisir la hausse <math>A</math> du canon, c'est-à-dire <math>\tan(A)</math>, telle que :
Cette équation étant du second degré en <math>\tan(A)</math>, il apparaît donc qu'il y a deux solutions, une solution double ou pas de solution, selon que le discriminant <math>\Delta</math> est positif, nul ou négatif. Dans le cas limite, le point <math>M</math> est dit se trouver sur la courbe de sûreté (C). On a
qui se simplifie et donne l'équation d'une parabole dite de sûreté :
<math> z_0 = h - \frac{x_0^2}{4h} </math>
On obtient <math>z_0=0</math> lorsque <math>x_0=2h</math>, distance appelée portée maximale horizontale.
On peut montrer que la trajectoire de chute contacte tangentiellement la courbe (C) en un point C, dit de Torricelli, tel que (OC) est corde focale de la trajectoire parabolique. Ce fait a été remarqué par Torricelli en 1640Modèle:Refnec et lui a permis de déterminer géométriquement la nature de l'enveloppe.
Avantage de la citadelle
Un avantage de la citadelle est que ses canons se trouvent à une altitude Modèle:Math au-dessus de la plaine. Les boulets vont pouvoir atteindre un point Modèle:Math tel que Modèle:Math. Plus précisément, Modèle:Math est tel que <math>z = -a = h - \tfrac{x^2}{4h}</math>, soit Modèle:Math. Par le théorème de Pythagore, Modèle:Math : la distance entre la citadelle Modèle:Math et le point Modèle:Math de portée maximale est donc la somme de l'altitude Modèle:Math avec la portée maximale Modèle:Math lorsque le tir est effectué avec une altitude nulle<ref>Et l'angle de tir est <math>\frac{\pi}{4} - \tfrac{1}{2} \arcsin \tfrac{a}{a + 2h}</math>.</ref>. Ce résultat étonne souvent par sa simplicité. Similairement, les assaillants devront se rapprocher (il suffit de changer Modèle:Math en Modèle:Math).
- Exemple : pour Modèle:Math, la portée des canons est de 200 m. Une citadelle située à une altitude Modèle:Math aura une portée Modèle:Math. Inversement, les assaillants devront s'approcher à 150 m pour pouvoir atteindre la citadelle.
- Avantage de l'avant-poste : Soit un avant-poste de hauteur Modèle:Math par rapport à la citadelle, et situé à une distance Modèle:Math de la citadelle. Le même genre de raisonnement conduit à ce constat simple : la hauteur effective est alors Modèle:Math.
Notes et références
<references />
