Nombre négatif
Un nombre négatif est un nombre réel qui est inférieur à zéro, comme Modèle:Math ou Modèle:Math <ref>Selon tous les dictionnaires français classiques. Certains auteurs considèrent cependant également zéro comme un nombre négatif: voir la section "Généralités".</ref>.
Histoire
La première apparition connue des nombres négatifs est dans Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique (Jiǔzhāng Suànshù), dont les versions qui nous sont parvenues datent du début de la dynastie Han (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle), sans qu'on puisse dater les versions originales, sans doute plus anciennes<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Dirk Jan Struik, A Concise History of Mathematics, Dover, 2012 (Modèle:4e éd.), Modèle:P. : Modèle:Citation étrangère</ref>. Les Neuf Chapitres utilise des bâtons de numération rouges pour les nombres positifs et des noirs pour les négatifs<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Robert K. G. Temple, The Genius of China: 3,000 Years of Science, Discovery, and Invention (préfacé par Joseph Needham), New York, Simon and Schuster, 1986 Modèle:ISBN, Modèle:P..</ref>,<ref>L'usage comptable moderne est exactement opposé : les chiffres positifs y sont noirs, les rouges représentent les quantités négatives.</ref>. Cela permettait aux Chinois de résoudre un système d'équations linéaires à coefficients négatifs.
En Inde, on formule des règles cohérentes pour les travailler<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Britannica Concise Encyclopedia, 2007, algebra.</ref>, et on comprend leur signification (en même temps que celui du zéro) dans des situations telle que les emprunts et dettes<ref name=bourbaki49>Modèle:Bourbaki, 2007, § L'évolution de l'algèbre, Modèle:P. (Modèle:P. de l'éd. en anglais de 1998).</ref>, ainsi qu'en atteste le Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle), mais ces concepts peuvent être antérieurs<ref>Voir Manuscrit de Bakhshali et Modèle:MacTutor.</ref>. Brahmagupta utilise les nombres négatifs dans l'équation du second degré et sa solution ; son vocabulaire est celui du commerce (un nombre négatif est une dette, un nombre positif une richesse).
Les concepts indiens se diffusent lentement vers l'ouest ; vers l'an 1000, les mathématiciens arabo-musulmans comme Abu l-Wafa utilisent couramment le zéro et les nombres négatifs (pour représenter des dettes, encore), et l'Occident entre en contact avec ces concepts<ref name=bourbaki49/>.
Cependant la notion de quantité négative reste longtemps choquante ; lorsque des nombres négatifs apparaissent on les considère comme « absurdes » ou faux. Par exemple Diophante (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle), à propos de l'équation 4x + 20 = 0, dont la solution est −5, dit qu'elle est « absurde ». En Inde, Bhāskara II (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle) utilise les nombres négatifs mais rejette les solutions négatives de l'équation quadratique ; il les considère comme inadéquates et impossibles à interpréter. On fera de même en Occident au moins jusqu'au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle<ref name=martinez>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006 Modèle:Lire en ligne (une histoire des controverses sur les nombres négatifs, principalement depuis les années 1600 jusqu'au début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle).</ref>. On s'autorise néanmoins à s'en servir, quitte à les appeler « absurdes » comme Nicolas Chuquet (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle) qui s'en sert comme exposant.
Les mathématiciens occidentaux résistent au concept, sauf dans le contexte commercial (toujours) où on peut les interpréter comme des dettes (Fibonacci, chapitre 13 de Liber Abaci, 1202) ou des pertes (Fibonacci, Flos, 1225).
Les nombres négatifs acquièrent progressivement droit de cité au cours du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, pour n'être véritablement acceptés qu'au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle<ref name=martinez/>.
Généralités
Lorsqu'on parle de nombres positifs ou négatifs, le nombre zéro est souvent exclu. Le dictionnaire Lexis<ref>Librairie Larousse, 1975.</ref> précise : Modèle:Citation. L'Académie française, dans la neuvième édition de son Dictionnaire, précise quant à elle qu'un nombre négatif est Modèle:Citation. Pour certains auteurs cependant<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, les adjectifs « positif » et « négatif » sont pris au sens large, c'est-à-dire que zéro est inclus ; zéro est donc, selon cette acception, un nombre (le seul) à la fois positif et négatif<ref>Cette terminologie diffère donc de la terminologie anglo-saxonne, pour laquelle les « Modèle:Lang » sont les nombres strictement négatifs, zéro n'étant considéré ni comme un nombre positif, ni comme un nombre négatif. Les nombres négatifs, avec le zéro, sont appelés en anglais les « Modèle:Lang ».</ref>. Lorsqu'un nombre est négatif et non nul, on peut préciser, afin d'éviter toute confusion, qu'il est strictement négatif.
Les entiers négatifs peuvent être regardés comme une extension des entiers naturels, telle que l'équation x − y = z ait une solution significative pour toutes les valeurs de x et y ; l'ensemble des entiers positifs ou négatifs s'appelle l'ensemble des entiers relatifs. Les autres ensembles de nombres peuvent être alors construits, comme des extensions progressivement plus élaborées ou comme des généralisations à partir des entiers.
- L'ensemble des entiers relatifs négatifs est habituellement noté <math>\mathbb{Z}_-</math> ;
- l'ensemble des entiers relatifs strictement négatifs est habituellement noté <math>\mathbb{Z}_-^*</math> ;
- l'ensemble des nombres rationnels négatifs est habituellement noté <math>\mathbb{Q}_-</math> ;
- l'ensemble des nombres rationnels strictement négatifs est habituellement noté <math>\mathbb{Q}_-^*</math> ;
- l'ensemble des nombres réels négatifs est habituellement noté <math>\mathbb{R}_-</math> ;
- l'ensemble des nombres réels strictement négatifs est habituellement noté <math>\mathbb{R}_-^*</math>.
Un nombre négatif est écrit sans espace séparateur après le signe moins.
En comptabilité, on représente un nombre négatif par un nombre écrit en rouge, ou par un nombre entre parenthèses.
Interprétation
Les nombres négatifs ont du sens pour :
- représenter des dettes ou des déficits (par opposition à des patrimoines positifs) ;
- représenter des pertes ou plus généralement des variations « en moins ». Exemple : des descentes (d'échelle ou d'ascenseur), par opposition à des montées représentées par des nombres positifs ; des destructions (annulations, suppressions, etc.) par opposition à des créations (accroissements, etc.) représentées par des nombres positifs ;
- décrire des valeurs sur une échelle qui descend au-dessous d'une référence préalablement fixée (un zéro), telle que la température, le repérage de niveaux de sous-sol, la profondeur d'immersion sous le niveau de la mer… ;
- compter une quantité manquante, par rapport à une référence. Exemples : un vide dans un objet plein ; des manquants dans une unité militaire par rapport à son effectif nominal ; la graduation d'une balance sans le plateau qui sert à contenir les objets à peser (elle est à zéro avec le plateau, donc en dessous quand on l'enlève).
Arithmétique impliquant les nombres négatifs
Addition et soustraction
Ajouter un nombre négatif revient à soustraire le nombre positif correspondant :
- 5 + (−3) = 5 − 3 = 2
- −2 + (−5) = −2 − 5 = −7
Soustraire un nombre positif d'un plus petit nombre positif donne un résultat négatif :
- 4 − 6 = −2 (si vous avez en poche Modèle:Unité et que vous dépensez Modèle:Unité, alors vous avez une dette de Modèle:Unité).
Soustraire un nombre positif d'un nombre négatif donne un résultat négatif :
- −3 − 6 = −9 (si vous avez une dette de Modèle:Unité et que vous dépensez encore Modèle:Unité, alors vous avez une dette de Modèle:Unité).
Soustraire un nombre négatif équivaut à ajouter le nombre positif correspondant:
- 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 (si vous disposez d'une valeur nette de Modèle:Unité et que vous vous débarrassez d'une dette de Modèle:Unité, alors il vous reste une valeur Modèle:Unité en poche).
Aussi:
- (−8) − (−3) = −5 (si vous avez une dette de Modèle:Unité et que vous vous débarrassez d'une dette de Modèle:Unité, alors vous aurez encore une dette de Modèle:Unité).
Multiplication
Le produit d'un nombre négatif par un nombre positif donne un résultat négatif: (−2) · 3 = −6.
Interprétation : on aura une multiplication de ce genre lors qu'un évènement négatif se reproduit plusieurs fois (dans l'exemple, le triplement d'une dette de Modèle:Unité aboutit à une dette de Modèle:Unité), ou lorsqu'une quantité positive disparait (dans l'exemple, la perte de Modèle:Nobr de Modèle:Unité).
La multiplication de deux nombres négatifs donne un résultat positif: (−2) · (−3) = 6.
Interprétation : on aura une multiplication de ce genre lors de la disparition (qui se représente par un nombre négatif, si les créations sont comptées positivement) d'une quantité négative (une dette par exemple) ; par exemple, Modèle:Nobr de dettes de Modèle:Unité chacune (on a bien un enrichissement de Modèle:Unité), ou encore la suppression de Modèle:Nobr de chacun Modèle:Nobr (correspondant bien à l'ajout de Modèle:Nobr).
On retrouve la distributivité de la multiplication :
- (3 + (−3)) · (−2) = 3 · (−2) + (−3) · (−2).
Le membre de gauche de cette relation est égal à 0 · (−2) = 0. Le côté droit est une somme de −6 + (−3) · (−2) ; pour que les deux membres soient égaux, nous avons besoin que (−3) · (−2) = 6.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
_mess_tent_still_does_not_break_out_of_the_sub-freezing_temperatures.jpg){kind=link}