Comparaison asymptotique
En mathématiques, plus précisément en analyse, la comparaison asymptotique est une méthode consistant à étudier la vitesse de croissance d'une fonction. Par exemple, la fonction exponentielle croit plus vite qu'une fonction linéaire. La comparaison asymptotique permet aussi d'étudier la vitesse d'une fonction quelconque par rapport à une fonction considérée comme plus « simple ». Celle-ci est souvent choisie sur une échelle de référence, contenant en général au moins certaines fonctions dites élémentaires, en particulier les sommes et produits de polynômes, d'exponentielles et de logarithmes<ref name="HSymboles">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} G. H. Hardy, « The "Infinitärcalcül" of Paul du Bois-Reymond », Cambridge Tracts in Mathematics, 12, 1910, deuxième édition 1924. Lire en ligne Modèle:Pdf.</ref>. La comparaison s'effectue en l'infini ou alors au voisinage d'un point.
Le concept de comparaison asymptotique est utilisée en physiqueModèle:Référence nécessaire. Il est aussi utilisé en informatique, par exemple pour décrire la complexité de certains algorithmes<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. En effet, la comparaison asymptotique est intéressante en l'infini, car on s'intéresse au comportement d'un algorithme sur des données arbitrairement grandes. Il est également utilisées en théorie analytique des nombres pour évaluer finement l'erreur commise en remplaçant une fonction irrégulière, comme celle comptant les nombres premiers, par une fonction de l'échelle choisieModèle:Référence nécessaire.
La méthode a été introduite par les travaux de Paul du Bois-Reymond à partir de 1872<ref name="HSymboles" /> ; pour faciliter les calculs et la présentation des résultats, diverses notations ont été développées, en particulier par Bachmann (1894), Landau (1909), Hardy (1910), Hardy et Littlewood (1914 et 1916), et Vinogradov (Modèle:Circa 1930).
Exemples de comparaison
La relation de prépondérance
Exemple
Soit Modèle:Math et Modèle:Math les fonctions réelles définies par les formulesModèle:Retrait
Par une étude des deux fonctions, on sait que Modèle:Math prend des valeurs aussi grandes que l'on veut au voisinage de l'infini, tandis que Modèle:Math ne peut prendre des valeurs qu'entre 1 et 3. Le quotient Modèle:Math divisé par Modèle:Math au voisinage de l'infini ne cesse d'augmenter et n'est pas borné. Dans ce contexte, on peut dire que Modèle:Math est négligeable devant Modèle:Math, ou que Modèle:Math est prépondérante devant Modèle:Math, au voisinage de l'infini, on écrit (notation de Landau<ref name=Landau />) :
ou (notation de Hardy<ref name=HSymboles />,<ref name=HardyWright>Modèle:HardyWright, Modèle:4e éd., Modèle:P..</ref>, désuète<ref>Quoique toujours mentionnée dans la Modèle:4e du Hardy and Wright, p. 7, comme étant occasionnellement utilisée, elle n'est en fait jamais employée dans la suite de l'ouvrage, où les auteurs recourent systématiquement à la notation équivalente o. Hardy lui-même n'a plus jamais utilisé cette notation dans ses travaux publiés après 1913.</ref>)
La notation de Hardy permet d'enchaîner les relations de prépondérance, par exemple :
Définition formelle lorsque la fonction g ne s'annule pas
Pour définir formellement cette propriété on considère le comportement du quotient <math>\frac f g</math>.
Soit <math>a \in\R\cup \left\{ +\infty ; -\infty \right\}.</math>
Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux fonctions de la variable réelle Modèle:Math. On suppose que Modèle:Math ne s'annule pas sur un voisinage de aModèle:Note. On dit que Modèle:Math est négligeable devant Modèle:Math, ou que Modèle:Math est prépondérante<ref>E. Ramis, C. Deschamp et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, tome 3, p. 148</ref> devant Modèle:Math en Modèle:Math, et on note <math>f(x) = \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {o} (g(x))</math>, lorsque
Si le contexte est clair, on ne précise pas le domaine d'étude et on note : <math> f(x) = o (g(x))</math>, voire <math>f = o(g)</math>. Cependant, la notation est toujours associée à un lieu a et au voisinage de ce lieu : être négligeable est un concept local.
Dans cette notation de Landau <math>f(x) = o(g(x))</math> (parfois aussi <math>f(x) \in o(g(x))</math>), le symbole <math>o</math> se lit petit o. La notation équivalente de Hardy est <math>f(x) \prec g(x)</math>. On utilise aujourd'hui exclusivement la notation de Landau.
Propriétés
Par ce qui peut sembler un abus de langage, on effectue des opérations sur les Modèle:Citation. En effet, on peut écrire :
- <math>o(f) + o(f) = o(f)</math> ;
- <math>o(f) - o(f) = o(f)</math>.
Dans les côtés gauche de chaque formule les deux symboles <math>o(f)</math> représentent des fonctions a priori différentes. La première formule se lit : "la somme de deux fonctions qui sont toutes deux des petits <math>o(f)</math> est une fonction qui est également un <math>o(f)</math>".
Exemples
- <math> x^2 + 10000 = \underset{ \overset { x \rightarrow \infty } {} } {o} (x^3) </math>
- <math> x^n = \underset{ \overset { x \rightarrow +\infty } {} } {o} (e^x) </math>
- Pour toute fonction <math>\varepsilon</math>, telle que <math> \varepsilon (x) \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {\longrightarrow} 0 </math>, on a : <math>\varepsilon (x) = \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {o} (1)</math>
Équivalence
Définition formelle
Soit <math>a \in\R\cup \left\{ +\infty ; -\infty \right\}</math>.
Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux fonctions de la variable réelle Modèle:Math. On suppose que Modèle:Math ne s'annule pas sur un voisinage de Modèle:Math. On dit que Modèle:Math est équivalente à Modèle:Math en Modèle:Math, ou que Modèle:Math équivaut à Modèle:Math en Modèle:Math, et on note
- <math>f(x) \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {\sim} g(x)</math>, lorsque <math> f(x) - g(x) = \underset{ \overset { x \rightarrow a } {} } {o} (g(x)) </math>.
Exemple
<math>\cos x + x^{20} + \exp(x) \underset{ \overset { x \rightarrow \infty } {} } {\sim} \exp(x)</math>
Domination
La notation grand O de Landau dénote le caractère dominé d'une fonction par rapport à une autre. Généralement, comme Paul Bachmann qui a introduit ce symbole en 1894, on utilise la lettre O majuscule (de l'allemand Modèle:Lang, « ordre »). C'est beaucoup plus tard (1976), par analogie avec le symbole oméga majuscule Ω (voir plus bas), que Donald Knuth a discrètement suggéré de rebaptiser le symbole O du nom de la lettre omicron majuscule<ref name="knuth" /> (qui n'apparaît que dans le titre de son article), celle-ci étant rarement dessinée de manière clairement différente du O. Dans les deux cas, le symbole utilisé est distinct du symbole 0 (zéro).
Définition formelle
Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux fonctions de la variable réelle Modèle:Math. On dit que Modèle:Math est dominée par Modèle:Math en Modèle:Math, ou que Modèle:Math domine Modèle:Math en Modèle:Math, et on note (notation de Bachmann, 1894, ou de Landau, 1909)
- <math>f(x)=O(g(x)) \ (x\rightarrow\infty),</math>
ou (notation de Hardy<ref name=HSymboles />, 1910, désuète)
- <math>\ f\preccurlyeq g, </math>
ou encore (notation de Vinogradov, années 1930)
- <math>f(x)\ll g(x) \ (x\rightarrow\infty),</math>
lorsqu'il existe des constantes Modèle:Math et Modèle:Math telles que
- <math>\forall x>N\qquad \left|f(x)\right| \le C \left|g(x)\right|.</math>
Intuitivement, cela signifie que Modèle:Math ne croît pas plus vite que Modèle:Math.
De même, si Modèle:Math est un nombre réel, nous écrivons
- <math>f(x)=\underset{x\to a}O(g(x))</math>
s’il existe des constantes Modèle:Math et Modèle:Math telles que
- <math> \forall x \qquad \left|x - a\right| < d \Rightarrow \left|f(x)\right| \le C \left|g(x)\right|.</math>
Ceci est équivalent, lorsque Modèle:Math ne s'annule pas, à <math>\limsup_{x \to a} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < \infty.</math>
Exemples
- <math>4x^3 + 10000 x^2=\underset{x\to\infty}O(x^3).</math>
- <math>x^3 =\underset{x\to\infty}O(4x^3+ 10000 x^2).</math>
- En un point Modèle:Math, si Modèle:Math est négligeable devant Modèle:Math ou équivalente à Modèle:Math, alors elle est dominée par Modèle:Math.
- Une fonction Modèle:Math est bornée sur un voisinage de Modèle:Math si et seulement si <math>f(x)=\underset{x\to a}O(1)</math>.
Absence de prépondérance et oscillations
Notation Ω de Hardy et Littlewood (théorie des nombres)
En 1914, Hardy et Littlewood ont introduit le nouveau symbole Ω<ref name="HL">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Some problems of Diophantine approximation », Acta Mathematica, vol. 37, 1914, p. 225</ref> défini ainsi :
- <math>f(x)=\Omega(g(x))\ (x\rightarrow\infty)\;\Leftrightarrow\;\limsup_{x \to \infty} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|> 0</math>.
Les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math sont supposées définies, et Modèle:Math positive, dans un voisinage de l'infini. Ainsi <math>f(x)=\Omega(g(x))</math> est la négation de <math>f(x)=o(g(x))</math>.
En 1916, les mêmes auteurs introduisent les deux nouveaux symboles ΩR et ΩL<ref name="HL2">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contribution to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916.</ref>, définis de la façon suivante :
- <math>f(x)=\Omega_R(g(x))\ (x\rightarrow\infty)\;\Leftrightarrow\;\limsup_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}> 0</math>;
- <math>f(x)=\Omega_L(g(x))\ (x\rightarrow\infty)\;\Leftrightarrow\;\liminf_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}< 0</math>.
Comme avant, les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math sont supposées définies, et Modèle:Math positive, dans un voisinage de l'infini. Ainsi, <math>f(x)=\Omega_R(g(x))</math> est la négation de <math>f(x)<o(g(x))</math>, et <math>f(x)=\Omega_L(g(x))</math> la négation de <math>f(x)>o(g(x))</math>.
Contrairement à ce qu'affirmera plus tard D.E. Knuth<ref name="knuth">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Donald Knuth, « Modèle:Langue », SIGACT News, avril-juin 1976, p. 18-24 Modèle:Lire en ligne Modèle:Pdf.</ref>, Edmund Landau a également utilisé ces trois symboles en 1924<ref name="landau">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} E. Landau, « Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. IV », Nachr. Gesell. Wiss. Gött. Math-phys. Kl., 1924, p. 137-150</ref>.
Ces notations de Hardy et Littlewood sont des prototypes, qui après Landau semblent n'avoir jamais été utilisés tels quels : ΩR est devenu Ω+, et ΩL est devenu Ω–.
Ces trois symboles, à savoir <math>\Omega</math>, <math>\Omega_+</math> et <math>\Omega_-</math>, sont maintenant couramment utilisés en théorie analytique des nombres, de même que <math>f(x)=\Omega_\pm(g(x))</math> pour signifier que les conditions <math>f(x)=\Omega_+(g(x))</math> et <math>f(x)=\Omega_-(g(x))</math> sont toutes deux satisfaites.
Il est clair que dans chacune de ces définitions on peut remplacer Modèle:Math par Modèle:Math ou par un nombre réel.
Exemples
On a
- <math>\sin x=\Omega(1)\ (x\rightarrow\infty)</math>
et plus précisément,
- <math>\sin x=\Omega_\pm(1)\ (x\rightarrow\infty).</math>
On a
- <math>\sin x+1=\Omega(1)\ (x\rightarrow\infty)</math>
et plus précisément,
- <math>\sin x+1=\Omega_+(1)\ (x\rightarrow\infty)~;</math>
cependant,
- <math>\sin x+1\not=\Omega_-(1)\ (x\rightarrow\infty).</math>
Deux définitions incompatibles
Il est important de souligner le fait que l'écriture
- <math>f(x)=\Omega(g(x))\ (x\rightarrow\infty)</math>
possède en mathématiques deux définitions incompatibles, toutes les deux très répandues, l'une en théorie analytique des nombres, qu'on vient de présenter, l'autre en théorie de la complexité des algorithmes. Lorsque ces deux disciplines se rencontrent, cette situation est susceptible de créer une grande confusion.
La définition de Knuth
En 1976, Knuth publie un article<ref name="knuth"/> dont le but principal est de justifier son utilisation du même symbole Ω pour décrire une autre propriété que celle décrite par Hardy et Littlewood. Il tente de convaincre le lecteur que la définition de Hardy et Littlewood n'est quasiment jamais utilisée (ce qui, même en 1976, est faux depuis en tout cas 25 ans<ref name="titchmarsh">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford, Clarendon Press, 1951</ref>). Il va jusqu'à prétendre que Landau ne l'a jamais utilisée (ce qui est également faux<ref name="landau" />). Il ressent impérativement le besoin d'une autre notion (Modèle:Citation étrangère), et a décidé que l'utilisation du symbole Ω doit être réservé pour la décrire. Il est fortement contrarié par l'ancienne définition (Modèle:Citation étrangère).
Il prend donc le risque de créer la confusion, et définit
- <math>f(x)=\Omega(g(x))\Leftrightarrow g(x)=O(f(x))</math><ref> Il se justifie en écrivant : Modèle:Citation étrangère</ref>.
Utilisation des comparaisons
Développements limités
En mathématiques, il est souvent important de garder un œil sur le terme d'erreur d'une approximation. Cette notation est particulièrement utilisée dès que l'on a affaire à des développements limités et à des calculs d'équivalents. Par exemple, le développement de la fonction exponentielle à l'ordre 2 peut aussi s'écrire :
- <math> e^x = 1+x+\frac{1}{2} x^2+o(x^2) \ {\rm quand}\ x \rightarrow 0</math>
pour exprimer le fait que l'erreur, la différence <math>e^x - \left(1 + x +\frac{x^2}{2}\right)</math>, est négligeable devant <math>x^2</math> quand <math>x</math> tend vers 0.
Il faut préciser que le nombre d'opérandes dans ce genre d'écriture doit être borné par une constante qui ne dépend pas de la variable : par exemple l'assertion <math>o(x)+o(x)+\dots+o(x)=o(x)</math> est évidemment fausse si les points de suspension cachent un nombre de termes qui n'est pas borné lorsque x varie.
Échelle de comparaison
Voici une liste de catégories de fonctions couramment utilisées en analyse. La variable (notée ici n) tend vers Modèle:Math et c est une constante réelle arbitraire. Lorsque c est une constante supérieure à 1, les fonctions apparaissent dans cette liste par ordre croissant de grandeur.
| notation | grandeur au plus | |
| O(1) | module majoré par une constante | |
| O(log(n)) | logarithmique | |
| O((log(n))c) | (polylogarithmique si c est entier positif) | |
| O(n) | linéaire | |
| O(n log(n)) | parfois appelée « linéarithmique » | |
| O(n logc(n)) | parfois appelé « quasi linéaire » | |
| O(n2) | quadratique | |
| O(nc) | (polynomiale si c est entier positif) | |
| O(cn) | (exponentielle si c est positif, parfois « géométrique ») | |
| O(n!) | factorielle |
O(nc) et O(cn) sont très différents. Le dernier autorise une croissance bien plus rapide, et ce pour n'importe quelle constante c > 1. Une fonction qui croît plus rapidement que n'importe quel polynôme est dite superpolynomiale. Une fonction qui croît plus lentement que toute exponentielle est dite sous-exponentielle. Il existe des fonctions à la fois superpolynomiales et sous-exponentielles, comme la fonction nlog(n).
Remarquons aussi que O(log n) est exactement identique à O(log(nc)), puisque ces deux logarithmes sont multiples l'un de l'autre par un facteur constant et que la notation grand O « ignore » les constantes multiplicatives. De manière analogue, les logarithmes dans des bases constantes différentes sont équivalents.
La liste précédente est utile à cause de la propriété suivante : si une fonction f est une somme de fonctions, et si une des fonctions de la somme croît plus vite que les autres, alors elle détermine l'ordre de croissance de f(n).
Exemple :
Fonction à plusieurs variables
Cette notation peut aussi être utilisée avec des fonctions de plusieurs variables :
| L'écriture : | <math>f(n,m) = n^2 + m^3 + O(n+m)\;</math> quand <math>m,n\to +\infty</math> |
| correspond à la proposition : | f(n,m) -n^2-m^3 |\le C(n+m) </math> |
Pour certains, cette notation abuse du symbole d'égalité, puisqu'elle semble violer l'axiome d'égalité : « des choses égales à la même chose sont égales entre elles » (autrement dit, avec cette notation, l'égalité n'est plus une relation d'équivalence). Mais on peut également considérer que dans l'écriture
la notation "=O" désigne un seul opérateur, dans l'écriture duquel le signe "=" n'a pas d'existence propre indépendante (et en particulier ne désigne pas une relation d'équivalence). Il n'y a dans ce cas plus d'abus de notation, mais évidemment toujours un risque de confusion. Il est également possible de définir O(g(x)) comme un ensemble de fonctions, dont les éléments sont toutes les fonctions qui ne grandissent pas plus vite que Modèle:Math, et d'utiliser les notations ensemblistes pour indiquer si une fonction donnée est un élément de l'ensemble ainsi défini. Par exemple :
Les deux conventions sont couramment utilisées mais la première (et plus ancienne) est jusqu'au début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle la plus souvent rencontrée. Pour éviter ce problème on utilise (tout aussi couramment) la notation de Vinogradov (voir ci-dessous).
Un autre problème est qu'il faut clairement indiquer la variable par rapport à laquelle le comportement asymptotique est examiné. Une affirmation telle que <math>f(n,m) = O (m^n)\;</math> n'a pas le même sens selon qu'elle est suivie de « quand <math>m,n\to +\infty</math> » ou, par exemple, de « (pour tout <math>m</math> fixé) quand <math>n\to +\infty</math> ».
La famille de notations de Landau O, o, Ω, ω, Θ, ~
| Notation | Nom | Description informelle | Lorsque <math> n \to \infty</math>, à partir d'un certain rang... | Définition rigoureuse |
|---|---|---|---|---|
| <math>f(n) = O(g(n))</math>
ou <math>f(n) \in O(g(n))</math> |
Grand O (Grand Omicron<ref name="knuth"/>) |
La fonction |Modèle:Math | est bornée par la fonction |Modèle:Math| asymptotiquement, |
f(n)| \leq |g(n)|\cdot k</math> pour un k > 0 | f(n)| \leq |g(n)|\cdot k </math> |
| <math>f(n) = \Omega(g(n))</math>
ou <math>f(n) \in \Omega(g(n))</math> |
Grand Omega | Deux définitions :
En théorie des nombres : |
En théorie des nombres : <math>|f(n_i)| \geq |g(n_i)|\cdot k</math> pour un k > 0 |
En théorie des nombres : <math>\exists k>0, \forall n_0 \; \exists n>n_0 \; |g(n)|\cdot k \leq |f(n)|</math> |
| En théorie des algorithmes :
Modèle:Math est minorée par Modèle:Math (à un facteur près) |
En théorie des algorithmes :
<math>|f(n)| \geq |g(n)|\cdot k</math> pour un k > 0 |
En théorie des algorithmes :
<math>\exists k>0, \exists n_0 \; \forall n>n_0 \; |g(n)|\cdot k \leq |f(n)|</math> | ||
| <math>f(n) \in \Theta(g(n))</math> | de l'ordre de ; Grand Theta |
Modèle:Math est dominée et soumise à Modèle:Math asymptotiquement | g(n)|\cdot k_1 \leq |f(n)| \leq |g(n)|\cdot k_2</math> pour un k1 > 0, et un k2 > 0 |
g(n)|\cdot k_1 < |f(n)| < |g(n)|\cdot k_2 </math> |
| <math>f(n) = o(g(n))</math>
ou <math>f(n) \in o(g(n))</math> |
Petit o | Modèle:Math est négligeable devant Modèle:Math asymptotiquement | f(n)| \le |g(n)|\cdot \varepsilon</math>, quel que soit <math>\varepsilon</math> > 0 (fixé). | f(n)| \le |g(n)|\cdot \varepsilon</math> |
| <math>f(n) \in \omega(g(n))</math> | Petit Omega | Modèle:Math domine Modèle:Math asymptotiquement | f(n)| \ge |g(n)|\cdot k</math> pour tout k > 0 | g(n)|\cdot k \le |f(n)|</math> |
| <math>f(n)\sim g(n)\!</math> | équivalent à | Modèle:Math est approximativement égale à Modèle:Math asymptotiquement | f(n)-g(n)|<\varepsilon |g(n)| </math>, quel que soit <math>\varepsilon</math> > 0 (fixé). | f(n)-g(n)|<\varepsilon |g(n)|</math> |
Après grand-O, les notations Θ et Ω sont les plus utilisées en informatique ; le petit-o est courant en mathématiques mais plus rare en informatique. Le ω est peu usité.
Une autre notation parfois utilisée en informatique est Õ (soft-O en anglais) qui signifie grand-o à un facteur poly-logarithmique près. Autrement dit, f(n) = Õ(g(n)) signifie qu'il existe un entier k tel que f(n) = O(g(n) logk g(n)).
En théorie des nombres la notation f(x)<math>\asymp</math>g(x), utilisée par Hardy et Wright<ref name=HardyWright/> a la même signification que f(x) = Θ(g(x)) (Modèle:Refnec).
Systèmes de notations
Notations de Landau
Les notations de Landau portent le nom du mathématicien allemand spécialisé en théorie des nombres Edmund Landau qui utilisa le symbole O<ref name=Landau>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Berlin 1909, p. 883.</ref>, introduit primitivement par Paul Bachmann<ref>Modèle:Lang, tome 2, 1894, p. 402.</ref>, et s'en inspira pour inventer le symbole o. Il n'utilisa le symbole Ω que dans un seul article en 1924<ref name="landau" />, pour signifier ≠ o ; cette notation avait été introduite (avec la même signification) en 1914 par G. H. Hardy et J. E. Littlewood<ref name="HL" /> ; depuis, Ω est couramment utilisé en théorie des nombres, mais exclusivement dans ce même sens, et jamais dans le premier sens indiqué dans le tableau ci-dessus. Dans le même article Landau utilise les symboles ΩR et ΩL, également dus à Hardy et Littlewood<ref name="HL2" />, (et depuis notés Ω+ et Ω–) pour signifier <math> \not<o </math>, respectivement <math> \not>o </math>. Il utilise bien sûr également la notation ∼, mais jamais ω ou Θ.
Notations de Hardy
Les notations de Hardy <math> \preccurlyeq </math> et <math> \prec </math>, introduites par G. H. Hardy dans son tract de 1910 Orders of Infinity<ref name=HSymboles />, jouent le même rôle que celles de Landau pour la comparaison asymptotique des fonctions.
En notation de Landau, on peut les définir comme suit :
- <math> f\preccurlyeq g \iff f = O(g) </math>
et
- <math> f\prec g \iff f = o(g).</math>
Les notations de Hardy sont désuètes. Hardy a rapidement abandonné ses propres notations ; il utilise les notations de Landau dans tous ses articles (soit près de 400 !) et dans ses livres<ref>Voir par exemple Modèle:HardyWright.</ref> sauf dans son tract de 1910 et dans 3 articles (1910-1913). On peut noter que si Hardy a introduit dans son tract de 1910 quelques autres symboles pour la comparaison asymptotique des fonctions, il n'a par contre jamais défini ou utilisé la notation <math> \ll </math> (ou <math> \prec\!\!\prec </math>), qu'on doit à Vinogradov.
Notation de Vinogradov
Le théoricien des nombres russe Ivan Matveyevich Vinogradov introduisit dans les années 1930<ref>Voir par exemple « Une nouvelle estimation pour G(n) dans le problème de Waring » (en russe), Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 5, n° 5-6, 1934, p. 249-253. Traduction en anglais dans : Selected works / Ivan Matveevič Vinogradov ; prepared by the Steklov Mathematical Institute of the Academy of Sciences of the USSR on the occasion of his 90th birthday, Springer-Verlag, 1985.</ref> la notation qui porte son nom,
- <math> f\ll g \iff f = O(g) </math>.
La notation ≪ de Vinogradov est couramment utilisée en théorie des nombres à la place de O ; parfois même les deux notations sont utilisées indifféremment dans le même article.
Notation L
Modèle:Article détaillé En 1982, Carl Pomerance a introduit une nouvelle notation pour abréger les fonctions complexes intervenant dans l'étude asymptotique de la complexité des algorithmes. Ainsi, par exemple, une fonction f appartient à la classe <math>L_n[\alpha, c] </math> si on a <math>f = \exp\left((c + o(1)) \log(n)^{\alpha} (\log \log n)^{1-\alpha} \right)</math> ; l'exponentielle « écarte » suffisamment les fonctions pour qu'il ne soit pas possible de ramener cette notation à la forme <math>f=O(g)</math> par exemple.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Articles connexes
- Développement asymptotique
- Fonction asymptotique
- Vitesse de convergence des suites
- Échelle de comparaison
- Combinatoire analytique
Lien externe
{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Big-O Cheat Sheet, un site répertoriant une classification des complexités algorithmiques par domaine.
