Algèbre associative
En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau.
Définition formelle
Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque :
- (B , + , . ) est un A-module,
- (B , + , × ) est un pseudo-anneau,
- <math>\forall \lambda \in A,~\forall x, y \in B,\qquad\lambda \cdot (x \times y) = x \times (\lambda \cdot y) = (\lambda \cdot x) \times y~.</math>
Les éléments de A sont appelés les scalaires.
Dans le cas particulier où l'anneau A est un corps, on parle alors d'algèbre associative sur un corps.
On parle d'algèbre unitaire (ou unifère) lorsque B possède un neutre pour la multiplication.
Exemples
- Tout anneau (M, + , × ) (et même tout pseudo-anneau) est aussi une <math>\Z</math>-algèbre associative pour la loi externe définie par : pour tout entier <math>n</math> et tout élément <math>x</math> de M,
- <math>\left\{\begin{matrix}\text{si }n>0\text{ alors }&n\cdot x=\underbrace{x+x+\ldots+x}_{n\ \mathrm{fois}}~,\\
\text{si }n<0\text{ alors }&n\cdot x=\underbrace{-x-x-\ldots-x}_{|n|\ \mathrm{fois}}~,\\ \text{si }n=0\text{ alors }&n\cdot x=0~.\end{matrix}\right.</math>
- Tout anneau est une algèbre associative sur son centre, donc sur tout sous-anneau A de ce centre.
- Soit A un anneau commutatif.
- L'algèbre d'un monoïde L sur A est une A-algèbre associative et unifère. C'est un cas particulier de l'exemple précédent. (Si le monoïde L est <math>(\N,+)^k</math>, cette algèbre est celle des polynômes en k indéterminées sur A.)
- L'ensemble des endomorphismes d'un A-module est une A-algèbre associative.
Définition équivalente
Il existe une définition équivalente<ref>Définition utilisée par exemple dans Modèle:Lang1</ref> lorsque l'algèbre B est unifère :
Soient A un anneau commutatif, B un anneau, et <math>f\,:\,A\to B</math> un morphisme d'anneaux tel que f(A) soit dans le centre de B. On peut alors définir une loi externe <math>(a,b)\mapsto f(a)b</math> qui munit B d'une structure de A-algèbre associative (et unifère).
Inversement, si B est une A-algèbre associative et unifère, <math>f\,:\,a\mapsto a.1_B</math> est un morphisme d'anneaux tel que
l'image de A est donc contenue dans le centre de B.
Approche catégorique
La classe des algèbres associatives sur un même anneau Modèle:Mvar forme une sous-catégorie pleine de la catégorie des algèbres sur Modèle:Mvar, et ses objets libres sont les algèbres de polynômes non commutatifs.
