Masse réduite

{{#invoke:Bandeau|ébauche}}

En physique, la masse réduite est la masse attribuée à l'objet fictif mis en œuvre dans la simplification des problèmes d'interaction de deux corps de la mécanique newtonienne.

On note habituellement la masse réduite par la lettre grecque μ et ses unités SI sont les mêmes que celles de la masse : les kilogrammes (kg).

Équations

Problème à deux corps

Soit deux particules en interaction mutuelle, l'une de masse <math>m_1</math> et l'autre de masse <math>m_2</math>, le mouvement de ces deux masses peut être réduit au mouvement d'une seule particule de masse (réduite) <math>\mu</math> :

<math>\mu = {1 \over {{1 \over m_1} + {1 \over m_2}}} = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\ . </math>

La force appliquée sur cette masse est la résultante des forces entre les masses initiales. Le problème est alors résolu mathématiquement en remplaçant les masses comme suit:

<math> m_1 \rightarrow \mu </math>

et

<math> m_2 \rightarrow 0 </math>

Problème à N corps

La définition de masse réduite peut être généralisée au Problème à N corps:

<math>\mu =\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{m_i}\right)^{-1} </math>

Approximation

Lorsque la masse <math>m_1</math> est très supérieure à la masse <math>m_2</math> la masse réduite est approximativement égale à la plus faible des masses :

<math>\mu = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\ = {{m_1 m_2} \over {m_1}({1 + {{m_2} \over {m_1} })}}\ = {{m_2} \over {1 + {{m_2} \over {m_1} }}}\ \approx m_2 </math>

Dérivation

Les équations de la mécanique sont dérivées comme suit.

Mécanique newtonienne

La deuxième loi de Newton permet d'exprimer la force exercée par la particule 2 sur la particule 1 comme

<math>\mathbf{F}_{12} = m_1 \mathbf{a}_1. \!\,</math>

La force exercée par la particule 1 sur la particule 2 est

<math>\mathbf{F}_{21} = m_2 \mathbf{a}_2. \!\,</math>

La troisième loi de Newton prévoit que le force exercée par la particule 2 sur la particule 1 est égale et opposée à la force exercée par la particule 1 sur la particule 2

<math>\mathbf{F}_{12} = - \mathbf{F}_{21}.\!\,</math>

Ainsi,

<math>m_1 \mathbf{a}_1 = - m_2 \mathbf{a}_2. \!\,</math>

et

<math>\mathbf{a}_2=-{m_1 \over m_2} \mathbf{a}_1. \!\,</math>

L'accélération relative a_rel entre les deux corps est donnée par

<math>\mathbf{a}_{\rm rel}= \mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2 = \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right) \mathbf{a}_1 = \frac{m_2+m_1}{m_2} \mathbf{a}_1 = \frac{\mathbf{F}_{12}}{\mu}. </math>

Ceci permet de conclure que la particule 1 se déplace par rapport à la position de la particule 2 comme s'il s'agissait d'un corps de masse équivalente à la masse réduite.

Mécanique lagrangienne

Le problème à deux corps est décrit en mécanique lagrangienne par le lagrangien suivant

<math>L = {1 \over 2} m_1 \mathbf{\dot{r}}_1^2 + {1 \over 2} m_2 \mathbf{\dot{r}}_2^2 - V(| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 | ) \!\,</math>

où r_i est le vecteur de position de la particule <math>i</math> (de masse m_i) et V est une fonction d'énergie potentielle, qui ne dépend que de la distance entre les particules (condition nécessaire pour conserver l'invariance translationnelle du système). On définit

<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 </math>

et on positionne l'origine du système de coordonnées utilisé afin qu'il coïncide avec le centre de masse, ainsi

<math> m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 = 0 </math>.

De cette manière,

<math> \mathbf{r}_1 = \frac{m_2 \mathbf{r}}{m_1 + m_2} , \mathbf{r}_2 = \frac{-m_1 \mathbf{r}}{m_1 + m_2}.</math>

En substituant ceci dans le lagrangien on obtient

<math> L = {1 \over 2}\mu \mathbf{\dot{r}}^2 - V(r), </math>

un nouveau lagrangien pour une particule de masse réduite :

<math>\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} .</math>

Nous avons donc réduit le problème initial à deux corps à un problème simplifié à un corps.