Moment (probabilités)

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En théorie des probabilités et en statistique, les moments d’une variable aléatoire réelle sont des indicateurs de la dispersion de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la variance. Le moment d'ordre 3 est l'asymétrie. Le moment d'ordre 4 est le kurtosis.

Le moment dit « ordinaire » d’ordre <math>r \in \N</math> de la variable aléatoire réelle <math>X</math> est défini, s’il existe, par l'espérance de <math>X^r</math>Modèle:Référence nécessaire :

<math>m_r \triangleq \mathbb{E}(X^r)</math>

De manière analogue, on définira d’autres moments, étudiés ou évoqués dans la suite de l’article.

Notion de moment en analyse

La notion de moment en mathématiques, notamment en théorie des probabilités, a pour origine la notion de moment en physiqueModèle:Référence nécessaire.

Soit une fonction Modèle:Formule continue sur un intervalle Modèle:Formule (non réduit à un point) de Modèle:Formule.

Étant donné un entier naturel Modèle:Formule, le moment d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule est défini, sous réserve d’existence, parModèle:Référence nécessaire :

<math>m_r(f) \triangleq \int_{x \in I} x^r \, f(x) \, \mathrm{d}x</math>

Critère d’existence

Ce moment d’ordre Modèle:Formule est considéré comme existant si et seulement si Modèle:Formule est intégrable, c’est-à-dire si et seulement si Modèle:Formule converge. Ainsi, même si le moment est une intégrale impropre convergente<ref>Ce cas arrive par exemple pour les moments d’ordre impair d’une fonction paire définie sur Modèle:Formule : même si Modèle:Formule diverge, la fonction Modèle:Formule est impaire donc a une primitive paire, d’où Modèle:Formule, donc Modèle:Formule est une intégrale impropre convergente valant 0.</ref>, ce moment est tout de même considéré comme non existant.

De cette manière, si un moment n’existe pas à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre supérieur n’existent pas non plus. Réciproquement, si un moment existe à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre inférieur existent également.

Espace vectoriel

Pour un entier naturel Modèle:Formule donné, l’ensemble des fonctions continues sur Modèle:Formule dont le moment d’ordre Modèle:Formule existe est un espace vectoriel réel, et l’application Modèle:Formule est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Définitions

Soit Modèle:Formule une variable aléatoire réelle définie sur Modèle:Formule, de fonction de répartition Modèle:Formule et de loi de probabilité Modèle:Formule.

Moment ordinaire

Le moment (ou moment ordinaire, ou moment en 0) d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule est défini, s’il existe, par :

<math>m_r \triangleq \mathbb{E}(X^r)</math>

On a donc, d’après le théorème de transfert :

<math>m_r = \int_{x \in I} x^r \, \mathrm{d}F_X(x)</math>

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

D’après le deuxième axiome des probabilités, on a alors Modèle:Formule.

On notera que, Modèle:Formule étant positive ou nulle sur Modèle:Formule (premier axiome des probabilités), le critère d’existence du moment d’ordre Modèle:Formule est la convergence de Modèle:Formule ou de Modèle:Formule selon le cas.

Moment centré

Le moment centré d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule est défini, s’il existe, par :

<math>\mu_r \triangleq \mathbb{E}([X - \mathbb{E}(X)]^r)</math>

On a donc, d’après le théorème de transfert :

<math>\mu_r = \int_{x \in I} [x - \mathbb{E}(X)]^r \, \mathrm{d}F_X(x)</math>

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

Par construction, on a alors Modèle:Formule et Modèle:Formule.

D’après le théorème de transfert, on peut également écrire Modèle:Formule.

Moment centré réduit

Modèle:Article détaillé

En posant Modèle:Formule et Modèle:Formule, le moment centré réduit d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule est défini, s’il existe, par :

<math>\beta_{r} \triangleq \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^r \right]</math>

On a donc Modèle:Formule et, par construction, Modèle:Formule.

Moment spectral

Les moments spectraux permettent l'étude des vibrations aléatoires dans le domaine fréquentiel. En considérant la densité spectrale de puissance Φ d'une vibration aléatoire, le moment spectral d'ordre i, noté <math>m_i</math>, peut s'écrire:

<math>m_i\big[\Phi(f)\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} (2.\pi.f)^i.\Phi(f)\ \ \mathrm{d}f</math>

Moments remarquables

Certains moments, utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire réelle Modèle:Formule, sont connus sous un nom particulier :

  • l’espérance, moment d’ordre un : <math>\mu \triangleq m_1 = \mathbb{E}(X)</math> ;
  • la variance, moment centré d’ordre deux : <math>\operatorname{V}(X) \triangleq \mu_2 = \mathbb{E}[(X - \mu)^2]</math>, ainsi que sa racine carrée l’écart type : <math>\sigma \triangleq \sqrt{\operatorname{V}(X)} = \sqrt{\mu_2}</math> ;
  • le coefficient d’asymétrie, moment centré réduit d’ordre trois<ref>Pour des raisons historiques et en accord avec la notation des cumulants réduits, le coefficient d’asymétrie est noté Modèle:Formule plutôt que Modèle:Formule.</ref> : <math>\gamma_1 \triangleq \beta_1 = \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^3 \right]</math> ;
  • le kurtosis non normalisé, moment centré réduit d’ordre quatre : <math>\beta_2 = \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^4 \right]</math>.

Fonction génératrice des moments

Modèle:Article détaillé

La fonction génératrice des moments Modèle:Formule d’une variable aléatoire réelle Modèle:Formule est la série génératrice exponentielle associée à la suite Modèle:Formule des moments de Modèle:Formule, définie au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de tous les moments :

<math>M_X(t) \triangleq \sum_{r=0}^{\infty} m_r \, \frac{t^r}{r!}</math>

Elle peut également s’écrire, au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de l’espérance :

<math>M_X(t) = \mathbb{E} \left (\mathrm{e}^{tX} \right)</math>

Les dérivées itérées en 0 de cette série génératrice exponentielle valent :

<math>M_X^{(r)}(0) = m_r</math>

Propriétés

Dimension

Soit Modèle:Formule la dimension de la variable aléatoire réelle Modèle:Formule.

Les moments ordinaire et centré d’ordre Modèle:Formule, s’ils existent, ont pour dimension Modèle:Formule.

Modèle:Démonstration

Le moment centré réduit d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, est une grandeur sans dimension.

Modèle:Démonstration

Transformation affine

Sur les moments ordinaires

Le moment ordinaire d’ordre 1, s’il existe, est linéaire :

<math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^2, m_1(\theta \, X + \lambda) = \theta \, m_1(X) + \lambda</math>

Modèle:Démonstration

Le moment ordinaire d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule, s’il existe, ne s’exprime pas uniquement en fonction du moment d’ordre Modèle:Formule de Modèle:Formule :

<math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^2, m_r(\theta \, X + \lambda) = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \theta^{r-i} \, \lambda^i \, m_{r-i}(X) = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \theta^i \, \lambda^{r-i} \, m_i(X)</math>

Modèle:Démonstration

On retrouve ainsi la linéarité de Modèle:Formule et la constance de Modèle:Formule.

Sur les moments centrés

Le moment centré d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, est invariant par translation et homogène de degré Modèle:Formule :

<math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^2, \mu_r(\theta \, X + \lambda) = \theta^r \, \mu_r(X)</math>

Modèle:Démonstration

Modèle:Démonstration

Sur les moments centrés réduits

Par transformation affine de coefficient directeur non nul (afin que Modèle:Formule soit non nul), le moment centré réduit d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, est simplement multiplié par le signe du coefficient directeur élevé à la puissance Modèle:Formule :

<math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^* \!\! \times \! \R, \beta_{r-2}(\theta \, X + \lambda) = \sgn(\theta)^r \, \beta_{r-2}(X)</math>

La valeur absolue d’un moment centré réduit est donc invariante par transformation affine de pente non nulle.

Modèle:Démonstration = \frac{\theta^r \mu_r(X)}{(|\theta| \sigma_X)^r} = \left( \frac{\theta}{|\theta|} \right)^r \frac{\mu_r(X)}{\sigma_X^r} = \sgn(\theta)^r \, \beta_{r-2}(X)</math> }}

En distinguant selon le signe de Modèle:Formule et la parité de Modèle:Formule, on peut donc écrire :

<math>\forall (\theta, \lambda) \in \R^* \!\! \times \! \R, \beta_r(\theta \, X + \lambda) = \begin{cases}

\beta_r(X) & \text{si } \theta > 0 \text{ ou } r \text{ est pair} \\ -\beta_r(X) & \text{si } \theta < 0 \text{ et } r \text{ est impair} \end{cases}</math>

Additivité

Modèle:Voir Soient Modèle:Formule et Modèle:Formule deux variables aléatoires réelles, on a alors :

  • <math>m_1(X + Y) = m_1(X) + m_1(Y)</math>

Si Modèle:Formule et Modèle:Formule sont indépendantes, on a en outre :

  • <math>\mu_2(X + Y) = \mu_2(X) + \mu_2(Y)</math>
  • <math>\mu_3(X + Y) = \mu_3(X) + \mu_3(Y)</math>

Cette propriété d’additivité n’existe que pour les trois moments particuliers cités<ref>Formellement parlant, sachant que Modèle:Formule, on pourrait ajouter le cas dégénéré Modèle:Formule, mais cela n’apporte aucune information utile à l’étude de Modèle:Formule.</ref>. Les mesures de risque vérifiant cette propriété sont appelés les cumulants.

Relations entre moments ordinaires et moments centrés

Moments centrés en fonction des moments ordinaires

Le moment centré d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, s’écrit :

<math>\mu_r = \sum_{i=0}^r C_r^i \, m_{r-i} \, (-m_1)^i = \sum_{i=0}^r C_r^i \, m_i \, (-m_1)^{r-i}</math>

Modèle:Démonstration

En rappelant que Modèle:Formule, les premiers moments centrés s’expriment donc, en fonction des moments ordinaires :

<math>\mu_2 = m_2 - m_1^2</math>
<math>\mu_3 = m_3 - 3 \, m_2 \, m_1 + 2 \, m_1^3</math>
<math>\mu_4 = m_4 - 4 \, m_3 \, m_1 + 6 \, m_2 \, m_1^2 - 3 \, m_1^4</math>
<math>\mu_5 = m_5 - 5 \, m_4 \, m_1 + 10 \, m_3 \, m_1^2 - 10 \, m_2 \, m_1^3 + 4 \, m_1^5</math>
<math>\mu_6 = m_6 - 6 \, m_5 \, m_1 + 15 \, m_4 \, m_1^2 - 20 \, m_3 \, m_1^3 + 15 \, m_2 \, m_1^4 - 5 \, m_1^6</math>

Moments ordinaires en fonction des moments centrés

Réciproquement, en posant Modèle:Formule, le moment ordinaire d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, s’écrit :

<math>m_r = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \mu_{r-i} \, \mu^i = \sum_{i=0}^r C_r^i \, \mu_i \, \mu^{r-i}</math>

Modèle:Démonstration

En rappelant que Modèle:Formule et Modèle:Formule, les premiers moments ordinaires s’expriment donc, en fonction des moments centrés et de Modèle:Formule :

<math>m_2 = \mu_2 + \mu^2</math>
<math>m_3 = \mu_3 + 3 \, \mu_2 \, \mu + \mu^3</math>
<math>m_4 = \mu_4 + 4 \, \mu_3 \, \mu + 6 \, \mu_2 \, \mu^2 + \mu^4</math>
<math>m_5 = \mu_5 + 5 \, \mu_4 \, \mu + 10 \, \mu_3 \, \mu^2 + 10 \, \mu_2 \, \mu^3 + \mu^5</math>
<math>m_6 = \mu_6 + 6 \, \mu_5 \, \mu + 15 \, \mu_4 \, \mu^2 + 20 \, \mu_3 \, \mu^3 + 15 \, \mu_2 \, \mu^4 + \mu^6</math>

Estimateur non biaisé des moments ordinaires

À partir d’un échantillon Modèle:Formule de la variable aléatoire réelle Modèle:Formule, on peut utiliser comme estimateur sans biais du moment ordinaire d’ordre Modèle:Formule, s’il existe, l’estimateur suivant :

<math>\hat{m_r} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^{\ r}</math>

Problème des moments

Modèle:Article détaillé

Tandis que le calcul des moments consiste à déterminer les moments Modèle:Formule d’une loi de probabilité Modèle:Formule donnée, le problème des moments consiste inversement à étudier l’existence et l’unicité d’une loi de probabilité Modèle:Formule dont les moments Modèle:Formule sont donnés.

Extension de la notion de moment

Sur le modèle des moments Modèle:Formule, d’autres moments peuvent être définis :

Notes et références

Modèle:Références

Modèle:Portail