Identité remarquable

Décomposition d'un cube à partir de l'identité remarquable Modèle:Formule.

Représentation graphique de l'identité remarquable <math>(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math>.

En mathématiques, on appelle identités remarquables ou encore égalités remarquables certaines égalités qui s'appliquent à des nombres, ou plus généralement à des variables polynomiales. Elles servent en général à accélérer les calculs, à simplifier certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions. Elles servent pour la résolution des équations du second degré et sont plus généralement utiles pour la recherche de solutions d'équations<ref group="Note">Ces informations ainsi que celles de l'article sont essentiellement extraites de Modèle:Harvsp.</ref>.

La plupart de ces identités remarquables ont tout d'abord été démontrées à l'aide de raisonnements géométriques, puis ont été généralisées à des puissances supérieures par des calculs algébriques.

Identités remarquables du second degré

Dans toute la suite, a et b désignent des nombres, qui peuvent être des entiers, des rationnels et réels, ou même des complexes. Ces identités sont vraies plus généralement dans un anneau commutatif, ou même dans un anneau quelconque où a et b commutent.

Énoncés

Les trois identités remarquables du second degré sont<ref name="wouf">Écriture littérale et identités remarquables par le site Wouf.</ref> :

<math> (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2</math> <math> (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math> <math> (a+b)(a-b)=a^2 - b^2</math>

La deuxième de ces identités peut être vue comme un cas particulier de la première, en prenant, au lieu de b, –b dans la première égalité. Ces égalités font l'objet d'un vocabulaire spécifique :

On définit de même : Modèle:Théorème

Exemples

Développement et réduction

Les identités remarquables permettent de transformer l'écriture de certaines expressions algébriques, comme dans l'exemple suivant<ref>Il est extrait de la page d'Yvan Monka Développements, sur le site m@ths et tiques, Modèle:P..</ref> : Modèle:Centrer

L'expression A est la somme de deux termes. Le premier terme est un produit remarquable, que l'on peut transformer en somme : Modèle:Centrer

Le deuxième terme se traite à l'aide de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition : Modèle:Centrer

En additionnant termes à termes, on obtient :

<math>A=4x^2 - 12x + 9-x^2 -2x + 15 = 3x^2 -14x + 24.</math>

Équation du second degré

Modèle:Article détaillé Les identités remarquables permettent de résoudre une équation du second degré. Illustrons la méthode sur l'exemple suivant : Modèle:Centrer

La méthode consiste à travailler la partie de l'expression qui ne dépend pas de x de manière à utiliser une des deux premières identités remarquables et factoriser la partie qui dépend de x : Modèle:Centrer

Les trois premiers termes sont maintenant une somme remarquable, il est possible d'appliquer une identité remarquable et l'équation devient : Modèle:Centrer

On reconnaît une nouvelle somme remarquable, l'équation s'écrit encore : Modèle:Centrer

Un produit a.b de deux nombres a et b est nul si, et seulement si, a ou b est nul<ref group="Note">Voir à ce sujet l'article « Équation produit-nul ».</ref>. Résoudre l'équation revient à résoudre deux équations du premier degré : Modèle:Centrer

On trouve les deux solutions de l'équation, appelées aussi racines du polynôme :

<math>x_1 = -1 - \sqrt 6 \quad\text{et}\quad x_2 = -1 + \sqrt 6.</math>

La même méthode, appliquée à des coefficients <math>a</math>, <math>b</math>, et <math>c</math> (<math>ax^2 +bx + c = 0</math>) au lieu des coefficients 1, 2, et –5 de l'exemple précédent, fait apparaitre le rôle du discriminant et les deux solutions.

Polynômes au carré

Pour élever au carré un polynôme avec un nombre quelconque de termes, ajouter les carrés de chaque terme individuellement, puis ajouter le double de la somme des produits de chaque paire possible de termes. Modèle:Centrer Modèle:Centrer

Identité remarquable et géométrie

Dans le plan, décomposition d'un carré de côté a+b, en un carré de côté a, un de côté b et deux rectangles de côtés a et b.

Ces identités remarquables sont connues depuis les Babyloniens<ref>Modèle:DahanPeiffer, Modèle:P..</ref>. Il est possible qu'ils se soient rendu compte de ces égalités à l'aide de raisonnements géométriques. Il existe une méthode simple pour trouver la formule suivante<ref group="Note">Les autres formules sont proposées dans l'article détaillé.</ref> : Modèle:Centrer

La figure de droite représente un carré. On suppose que la longueur du côté du carré rose est égale à a et celle du carré bleu à b. L'aire du grand carré est égale à (a + b)².
Il existe une autre manière d'exprimer cette aire : elle est la somme des aires des zones rose, bleue et des deux zones jaunes. L'aire rose est égale à a² car c'est un carré de côté a, l'aire bleue est égale à b², et chacune des deux aires jaunes est égale à ab car c'est un rectangle de côtés a et b. On obtient bien la formule annoncée.

Démonstration par l'algèbre

L'algèbre permet encore de démontrer ces formules. Calculons (a - b)². La distributivité montre que : Modèle:Centrer On démontre de même la troisième identité remarquable : Modèle:Centrer

Identités remarquables diverses

Identité de Brahmagupta

Modèle:Article détaillé Brahmagupta, un mathématicien indien du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle découvre une identité remarquable du quatrième degré<ref>Modèle:MacTutor</ref> : Modèle:Centrer

Il l'utilise dans le cas où a, b, c, d et n sont des nombres entiers. Elle permet de calculer une bonne approximation d'une racine carrée. Modèle:Démonstration/début Brahmagupta remarque que 2² - 3.1² = 1. Il applique son identité plusieurs fois, toujours avec n = 3. La première fois, il pose a = c = 2, b = d = 1. Il obtient : Modèle:Centrer

Il recommence avec cette fois avec : a = c = 7, b = d = 4. Il obtient une nouvelle manière d'écrire 1 : Modèle:Centrer

Il réapplique la même logique, il obtient encore une autre manière d'écrire 1 : Modèle:Centrer

Cette égalité s'écrit encore : Modèle:Centrer

Il obtient une fraction dont le carré est « presque » égal à 3, ce qui revient à dire que 18 817/10 864 est « presque » égal à Modèle:Sqrt. Si on calcule la fraction, on trouve un résultat dont les neuf premiers chiffres significatifs fournissent la meilleure approximation possible (avec le même nombre de décimales), à savoir : 1,73205081. Modèle:Démonstration/fin Il utilise aussi sa formule pour trouver des solutions à l'équation diophantienne dite de Pell-Fermat.

Identité des quatre carrés d'Euler

Modèle:Article détaillé L'identité des quatre carrés d'Euler relie entre eux huit nombres. Elle prend la forme suivante : Modèle:Centrer Modèle:Centrer Modèle:Centrer

Elle est utilisée, entre autres pour démontrer le théorème des quatre carrés qui indique que tout nombre entier est somme de quatre carrés.

Identité des huit carrés de Degen

Modèle:Article détaillé L'identité des huit carrés de Degen relie entre eux seize nombres et a été montrée au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle<ref name = "boyer">Modèle:Ouvrage.</ref>:

<math>(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2)=\,</math>

<math>(a_1b_1 - a_2b_2 - a_3b_3 - a_4b_4 - a_5b_5 - a_6b_6 - a_7b_7 - a_8b_8)^2+\,</math>

<math>(a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_4 - a_4b_3 + a_5b_6 - a_6b_5 - a_7b_8 + a_8b_7)^2+\,</math>

<math>(a_1b_3 - a_2b_4 + a_3b_1 + a_4b_2 + a_5b_7 + a_6b_8 - a_7b_5 - a_8b_6)^2+\,</math>

<math>(a_1b_4 + a_2b_3 - a_3b_2 + a_4b_1 + a_5b_8 - a_6b_7 + a_7b_6 - a_8b_5)^2+\,</math>

<math>(a_1b_5 - a_2b_6 - a_3b_7 - a_4b_8 + a_5b_1 + a_6b_2 + a_7b_3 + a_8b_4)^2+\,</math>

<math>(a_1b_6 + a_2b_5 - a_3b_8 + a_4b_7 - a_5b_2 + a_6b_1 - a_7b_4 + a_8b_3)^2+\,</math>

<math>(a_1b_7 + a_2b_8 + a_3b_5 - a_4b_6 - a_5b_3 + a_6b_4 + a_7b_1 - a_8b_2)^2+\,</math>

<math>(a_1b_8 - a_2b_7 + a_3b_6 + a_4b_5 - a_5b_4 - a_6b_3 + a_7b_2 + a_8b_1)^2\,</math>

Identité de Sophie Germain

L'identité de Sophie Germain énonce que pour tous nombres Modèle:Math et Modèle:Math, on a : Modèle:Centrer

Identités de Lagrange

Modèle:Centrer Modèle:Centrer La première identité de Lagrange ici listée est un cas particulier de l'identité de Brahmagupta.

Identités remarquables de degré n

Formule du binôme de Newton

Modèle:Article détaillé La même technique de démonstration que celle utilisée pour les formules de degré 2 montre que, si a et b désignent toujours deux nombres : Modèle:Centrer Modèle:Centrer

Appliqué encore une fois, on obtient : Modèle:Centrer Modèle:Centrer

De même,

On peut la généraliser à un degré n quelconque, à l'aide de la formule du binôme : Modèle:Centrer Les coefficients de l'expression, considérée comme un polynôme en a et en b sont appelés coefficients binomiaux. Comme b peut prendre une valeur négative, on obtient bien les deux formes précédentes.

La formule s'applique même si a et b ne sont pas des nombres. Ces lettres peuvent désigner deux matrices qui commutent entre elles. De manière générale, la formule est vraie dans un anneau (supposé unitaire, c'est-à-dire. muni d'un élément unité <math>1=a^0</math> pour tout a), si a et b commutent (ce qui est le cas en particulier si a ou b est égal à 1).

Différence ou somme de puissances

Modèle:Voir Il est aussi possible de généraliser la troisième identité remarquable du second degré. Si a et b désignent deux nombres : Modèle:Centrer Modèle:Centrer La formule suivante permet de généraliser la démarche. Tout d'abord, pour tout entier n ≥ 2, on a la formule de Modèle:Refsou<ref group="Note">Modèle:Note autre projet</ref> : Modèle:Centrer Cette formule a plusieurs applications importantes, comme une preuve que la fonction puissance est continue, ou la factorisation d'un polynôme à partir d'une racine. En remplaçant <math>b</math> par <math>-b</math>, on en déduit, si n est impair : Modèle:Centrer

Annexes

Article connexe

• Livre II des Éléments d'Euclide

Liens externes

• Identités remarquables de degré supérieur à 2, sur le site de G. Villemin
• Identités remarquables (Flash), sur le site de Sésamath

Bibliographie

• Modèle:OuvrageModèle:Commentaire biblio SRL
• Modèle:Dickson1, vol. II, Diophantine analysisModèle:Commentaire biblio SRL