Nombre narcissique

Fichier:Numero narcisista.png

Exemples de nombres narcissiques.

Un nombre narcissique (ou nombre d'Armstrong de première espèce, ou — en anglais — PPDI, pour Modèle:Lang)<ref name="denomination">Modèle:MathWorld</ref> est un entier naturel n non nul qui est égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres en base dix, où p désigne le nombre de chiffres de n :

<math>n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^p\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}\quad\text{et}\quad x_{p-1}\ne 0.</math>

Exemples

• Tous les entiers de 1 à 9 sont narcissiques.
• Les dix termes suivants de la suite des 88 nombres narcissiques (Modèle:OEIS) sont 153, 370, 371, 407, 1 634, 8 208, 9 474, 54 748, 92 727 et 93 084.
  • <math>153 = 1^3 + 5^3 + 3^3</math>.
  • <math>93084=9^5+3^5+0^5+8^5+4^5</math>.
• Le plus grand est 115132219018763992565095597973971522401<ref name="denomination" />.

Variantes des nombres d'Armstrong

• Un nombre d'Armstrong<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Les quatre définitions d'Armstrong</ref> de quatrième espèce, ou Modèle:Lang (PDI) est un entier n qui est égal à la somme des puissances q-ièmes de ses chiffres, mais cette fois pour un entier q > 0 quelconque, non nécessairement égal au nombre p de chiffres de n (un tel n n'est donc généralement pas un nombre narcissique) :Modèle:RetraitIntuitivement, il est clair que si p est le nombre exact de chiffres de n et augmente, q tend à augmenter.

• Pour les nombres d'Armstrong de troisième espèce (PDDI), voir l'article Nombre de Münchhausen.
• Un nombre d'Armstrong n de deuxième espèce vérifie quant à lui :

<math>n=\sum_{k=0}^{p-1}x_k10^k=\sum_{k=0}^{p-1}(x_k)^{k+1}\quad\text{avec}\quad x_k\in\{0,\ldots,9\}</math>.

• On peut également considérer les nombres d'Armstrong dans une base autre que dix.

Références

<references/>