Pendule simple de longueur variable
Le pendule simple de longueur variable modélise une charge soulevée par une grue.
Quand la longueur se raccourcit, l'amplitude des oscillations augmente et la puissance du moteur de la grue ne se réduit plus à lutter contre la pesanteur.
Équation du mouvement
Le fil supportant la masse m est de masse négligeable, sans raideur et inextensible. Sa longueur est <math>l(t) = OM</math>, O étant fixe.
Le théorème du moment cinétique appliqué en O ou bien l'accélération orthoradiale donnent l'équation du mouvement :
<math display="block"> m \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}{(l^2\dot{\theta})} = - mgl \sin \theta</math>
ou
<math display="block">l^2 \ddot{\theta} + 2 l \dot{l} \dot{\theta} + gl \sin \theta = 0</math>
soit
<math display="block">\ddot{\theta} + 2 \frac{\dot{l}}{l}{\dot{\theta}} + \frac g l \sin \theta = 0 </math>
On peut y reconnaître une équation de pendule avec un terme de "résistance". Si la longueur se raccourcit, c'est une résistance "négative" : d'où l'intuition que l'amplitude va augmenter<ref>si l'on considère g localement négligeable, c'est l'idée simple de la conservation du moment cinétique et de la déviation vers l'Est</ref>. Cela, néanmoins n'est pas évident car g/l varie aussi. D'ailleurs, se pose la question pour l'arc <math>L = l \theta</math>, car l'équation satisfaite par L est :
<math display="block"> \ddot{ L} + g \sin\frac Ll = \frac{\ddot l }{ l}L </math>
pour les faibles valeurs de L/l, elle se réduit à celle d'un pendule avec une pesanteur apparente (g - l") : l'arc L augmente-t-il ? On est ramené à un problème de pendule paramétrique.
Bilan d'énergie
Il se résume au théorème de l'énergie cinétique en coordonnées polaires : appelons l(t) = r, comme il est usuel. Les deux équations du pendule se réduisent à :
- <math> \ddot r - r \dot\theta^2 = g \cos \theta - N</math>
- <math> r\ddot \theta +2 \dot r \dot \theta = - g \sin \theta </math>
Il faut multiplier la première par <math>\dot r</math> et la deuxième par <math>r \dot \theta</math> pour faire apparaître l'énergie cinétique :
<math display="block">\frac 1 2 \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\dot r^2 + r \dot\theta^2 ) + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (gz)= -N\dot r = P</math>
Il apparaît que la puissance P de la grue ne se limite pas à lutter contre la pesanteur.
Autre expérience
Modèle:… Au lieu de laisser filer le fil au travers de la Modèle:Quoi située en O, on peut au contraire élever la Modèle:Quoi en A , <math>l(t) = OA(t)</math> avec une vitesse dl/dt. L'analyse est la même à condition de se placer dans le référentiel accéléré R (origine A) où la pesanteur apparente est simplement g - l". L'équation en L(t) se simplifie encore ; Modèle:Style.
Notes et références
<references/>
