Théorème de Weierstrass-Casorati
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Modèle:Homon En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.
Énoncé
On dit qu'une fonction analytique complexe admet un point singulier essentiel en <math>a</math> lorsque le développement en série de Laurent admet une infinité de termes de la forme <math>a_{-n}/(s-a)^n</math>. Si le développement n'a qu'un nombre fini de termes de cette forme, le point <math> a </math> est un pôle de degré égal à la plus grande puissance de <math>1/(s-a)</math> (cas le plus fréquent). Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement : il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.
Ainsi pour tout <math>k</math> inclus dans <math>]0,r[</math> et pour tout <math>c</math> appartenant à ℂ, il existe une suite <math>(z_j)</math> de <math>D(a,k)\setminus\{a\}</math> telle que <math>f(z_j)</math> tend vers <math>c</math>.
Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de ℂ sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.
Exemples
- La fonction <math>g:z\mapsto 1/z</math> définie sur ℂ* possède une singularité qui n'est pas essentielle en <math>0</math> (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que <math>\left|g(z)\right|\to\infty</math> quand <math>z\to 0</math> et la fonction <math>g</math> ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.
- La fonction définie pour tout <math>z \in \mathbb{C}^*</math> par :
<math>f(z)=\exp\left(\frac{1}{z^2}\right)=1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^6}+\frac{1}{24z^8}+...</math> possède une singularité essentielle en <math>0</math>.
En posant <math>z=x+iy</math> on a <math>\left|f(z)\right|=\exp\left(\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)</math> les courbes de niveaux de <math>\left|f(z)\right|</math> vérifient donc des équations du type <math>x^2-y^2=c\left(x^2+y^2\right)^2</math> où <math>c</math> est une constante, les courbes de niveaux de <math>\left|f(z)\right|</math> sont donc des lemniscates de Bernoulli.
Une application
L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permettent de montrer que les seuls automorphismes biholomorphes de ℂ sont des applications <math>f</math> du type <math>f(z)=az+b</math> avec <math>a\neq 0</math>.
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
Lien externe
Modèle:Pdf Analyse Complexe – Séries de Fourier, cours de Ernst Hairer et Gerhard Wanner, de l'université de Genève
