Polynôme d'Hermite
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En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810<ref>Modèle:Harvnb (online).</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage</ref>, surtout été étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités puis en détail par Pafnouti Tchebychev six ans avant Hermite<ref>Modèle:Article Collected in Œuvres I, 501–508.</ref>). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.
Ces polynômes apparaissent dans de nombreux champs d'application :
- traitement du signal dans les Modèle:Lien en analyse par transformée en ondelettes ;
- probabilité, comme dans les séries d'Edgeworth, ou dans l'étude du mouvement brownien ;
- combinatoire, comme exemple de suite d'Appell, suivant le calcul ombral ;
- analyse numérique dans les méthodes de quadrature de Gauss ;
- physique, où ils apparaissent dans l'écriture des états propres de l'oscillateur harmonique quantique, ou dans certains cas de l'équation de la chaleur ;
- théorie des systèmes en connexion avec des opérations non-linéaires sur un bruit gaussien ;
- étude des matrices aléatoires dans des ensembles gaussiens.
Définition
Les polynômes d'Hermite sont définis comme suit :
- <math>H_n(x)=(-1)^n \mathrm{e}^{x^2/2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\mathrm{e}^{-x^2/2}</math> (forme dite probabiliste)
- <math>\widehat{H}_n(x)=(-1)^n \mathrm{e}^{x^2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\mathrm{e}^{-x^2}</math> (forme dite physique)
Les deux définitions sont liées par la propriété d'échelle suivante : <math>\widehat{H}_n(x) = 2^{n/2}H_n \left(x\,\sqrt{2} \right)\,\!</math>.
Ils peuvent également s'écrire sous forme de développement polynomial<ref>Modèle:Article</ref> :
- <math>H_n(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor}(-1)^k \dfrac{n!}{2^k k!(n-2k)!}x^{n-2k}</math>
- <math>\widehat{H}_n(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor}(-1)^k \dfrac{n!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}</math>
où <math>\lfloor n/2 \rfloor</math> désigne la partie entière de Modèle:Math.
Les premiers polynômes d'Hermite sont les suivants :
- <math>H_0=1~</math>
- <math>H_1=X~</math>
- <math>H_2=X^2-1~</math>
- <math>H_3=X^3-3X~</math>
- <math>H_4=X^4-6X^2+3~</math>
- <math>H_5=X^5-10X^3+15X~</math>
- <math>H_6=X^6-15X^4+45X^2-15~</math>
- <math>\widehat{H}_0=1~</math>
- <math>\widehat{H}_1=2X~</math>
- <math>\widehat{H}_2=4X^2-2~</math>
- <math>\widehat{H}_3=8X^3-12X~</math>
- <math>\widehat{H}_4=16X^4-48X^2+12~</math>
- <math>\widehat{H}_5=32X^5-160X^3+120X~</math>
- <math>\widehat{H}_6=64X^6-480X^4+720X^2-120~</math>
On peut démontrer que dans Modèle:Math les coefficients d'ordre ayant la même parité que Modèle:Math sont nuls et que les coefficients d'ordre Modèle:Math et Modèle:Math valent respectivement 1 et Modèle:Frac.
Propriétés
Orthogonalité
Le polynôme Modèle:Math est de degré Modèle:Math. Ces polynômes sont orthogonaux pour la mesure Modèle:Math de densité
- <math>\frac{\mathrm{d}\mu(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{{\rm e}^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}},</math>
c'est-à-dire qu'ils vérifient :
- <math>\int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x)H_m(x)\,{\rm e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{n,m}</math>
où <math>\delta_{n,m}</math> est le symbole de Kronecker. On a de même pour la forme physique :
- <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{H}_n(x)\widehat{H}_m(x)\,{\rm e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x=2^n n!\sqrt{\pi}~\delta_{n,m}.</math>
Modèle:Démonstration{\mathrm{d}x^{m-n}}{\rm e}^{-x^2/2}\right) H_n^{(n)}(x) \,\mathrm{d}x\\ &=(-1)^{m-n} n!\,\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}^{m-n}}{\mathrm{d}x^{m-n}}{\rm e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x\\ &=\begin{cases}\text{si }m>n~:&0\\\text{si }m=n~:&n!\,\int_{-\infty}^{+\infty}{\rm e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x=n! \,\sqrt{2\pi}.\end{cases}\end{aligned}</math>
Le résultat pour la forme physique s'obtient par un changement de variables. }} Ces fonctions forment donc une base orthogonale de l'espace de Hilbert <math>L^2(\mathbb R,\mu)</math> des fonctions boréliennes telles que
- <math>\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,\frac{{\rm e}^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{d}x< +\infty</math>
dans lequel le produit scalaire est donné par l'intégrale
- <math>\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\overline{g(x)}\,\frac{{\rm e}^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{d}x.\,</math>
Des propriétés analogues sont vérifiables pour les polynômes d'Hermite sous leur forme physique.
Propriétés de récurrence
Le Modèle:Math-ième polynôme d'Hermite satisfait l'équation différentielle suivante (dans ses deux versions probabiliste ou physique) :
- <math>H_n(x)-xH_n'(x)+nH_n(x)=0,\,</math>
- <math>\widehat{H}_n(x)-2x\widehat{H}_n'(x)+2n\widehat{H}_n(x)=0.\,</math>
Les polynômes d'Hermite vérifient également la relation de récurrence suivante :
- <math>H_{n+1}(x)= xH_{n}(x) - nH_{n-1}(x),\,</math>
- <math>\widehat{H}_{n+1}(x)= 2x\widehat{H}_{n}(x) - 2n\widehat{H}_{n-1}(x).\,</math>
En outre, ils satisfont la propriété :
- <math>H_n'(x)=nH_{n-1}(x),\,</math>
- <math>\widehat{H}_n'(x) = 2n \widehat{H}_{n-1}(x).\,</math>
{{Démonstration | contenu =On fait la démonstration avec la forme physique. D'après la formule de Leibniz :
- <math>\frac{{\rm d}^{n+1}}{{\rm d}x^{n+1}}e^{-x^2} = \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}
\left (-2x e^{-x^2}\right ) = -2x \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}
e^{-x^2} - 2n\frac{{\rm d}^{n-1}}{{\rm d}x^{n-1}}e^{-x^2}</math>
ce qui, multiplié par le facteur gaussien, donne :
- <math>\widehat{H}_{n+1}(x)=2x\widehat{H}_n-2n\widehat{H}_{n-1}</math>
Ce qui est une des propriétés de récurrence recherchées.
On dérive ensuite l'expression <math>\widehat{H}_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}e^{-x^2}</math>, ce qui donne :
- <math>\widehat{H}_{n+1}(x)=2x\widehat{H}_n-\widehat{H}'_n</math>
De ce qui précède, on tire <math>\widehat{H}_n'(x) = 2n \widehat{H}_{n-1}(x)</math>, ce qui nous permet enfin de passer la propriété de récurrence déjà trouvée à l'autre.
Le résultat pour la forme mathématique s'obtient par un changement de variables. }}
Un développement de Taylor à l'ordre <math>n</math> de <math>H_n</math> autour de <math>x</math> donne les formules suivantes :
- <math>H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k H_{n-k}(y)</math>
- <math>\widehat{H}_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(2x)^k \widehat{H}_{n-k}(y)</math>
Fonctions d'Hermite-Gauss
Les polynômes d'Hermite interviennent dans la définition des fonctions d'Hermite-Gauss, utiles en physique quantique ou en optique :
- <math>\psi_n(x) = c_n \widehat{H}_n(x) \mathrm{e}^{-x^2/2}</math>
et la formule d'orthogonalité des polynômes d'Hermite pour la mesure <math>\mu</math> (démontrée plus haut) assure que, en prenant <math>c_n = (2^n n! \sqrt{\pi})^{-1/2}</math>, les fonctions d'Hermite-Gauss forment bien une famille orthonormale dans <math>L^2(\mathbb{R},dx)</math> :
- <math>\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_n(x)\psi_m(x)\,\mathrm{d}x=\delta_{nm}</math>
La famille des fonctions <math>\psi_n</math> est utilisée en physique quantique comme étant la famille des fonctions d'onde des états propres de l'oscillateur harmonique quantique.
Les fonctions d'Hermite vérifient l'équation différentielle <math>\psi_n(x) + (2n + 1 - x^2) \psi_n(x) = 0</math>, et elles héritent des polynômes d'Hermite les propriétés de récurrence :
- <math>\psi_n'(x) = \sqrt{n/2}~\psi_{n-1}(x) - \sqrt{(n+1)/2}~ \psi_{n+1}(x)</math>
- <math>x\;\psi_n(x) = \sqrt{n/2}~\psi_{n-1}(x) + \sqrt{(n+1)/2}~\psi_{n+1}(x)</math>.
Enfin, cette famille de fonctions présente un autre intérêt majeur dans le cadre de l'analyse de Fourier : en notant <math>\mathcal{F}</math> la transformation de Fourier (avec la convention <math> \mathcal{F}[g](\omega) =1/\sqrt{2 \pi}\int \, g(t) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t </math>), elle forme une base hilbertienne de <math>{\rm L}^2(\R)</math> formée de vecteurs propres de <math>\mathcal{F}</math> :
- <math>\mathcal{F}[\psi_n] = \mathrm{i}^n\,\psi_n</math>
On notera que cette formule n'est exacte qu'en prenant le polynôme d'Hermite sous sa forme physique, et avec la convention de transformation de Fourier explicitée ci-dessus. En utilisant une autre convention, les valeurs propres changent : par exemple avec <math>\mathcal{F}_{bis}[g](\omega) =\int \, g(t) \mathrm{e}^{- \mathrm{i} \omega t}\mathrm{d}t </math> on obtiendra <math>\mathcal{F}_{\mathrm{bis}}[\psi_n] = \sqrt{2\pi} (-\mathrm{i})^n\,\psi_n</math>. La forme fréquentielle de la transformée de Fourier <math>\mathcal{F}_{\mathrm{freq}}[g](f) =\int \, g(t) \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} \pi f t}\mathrm{d}t </math> sera plus volontiers diagonalisable avec des fonctions légèrement modifiées, <math>\phi_n(x) = 2^{1/4}(\sqrt{n!})^{-1/2} \,{\rm e}^{-\pi x^2}H_n(2x\sqrt{\pi}) = (2\pi)^{1/4} \psi(\sqrt{2\pi}x)</math>, pour lesquelles on aura <math>\mathcal{F}_{\mathrm{freq}}[\phi_n] =(-\mathrm{i})^n\,\phi_n</math>.
