Plan complexe
En mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss<ref>Modèle:Lien web.</ref>) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique. Le nombre complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.
Définition
On associe en général le plan complexe à un repère <math>(O,\vec u,\vec v)</math> orthonormé direct. Dans un tel repère, tout point Modèle:Mvar est l'image d'un unique nombre complexe Modèle:Mvar qui est appelé affixe de cet unique point (le genre du nom affixe est discuté : le dictionnaire de l'Académie française le renseigne comme masculin<ref>Modèle:Lien web</ref>, les dictionnaires commerciaux l'annoncent comme féminin<ref>Modèle:Lien web</ref>) : on note Modèle:Math.
Pour tout nombre complexe Modèle:Mvar tel que Modèle:Math où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des réels, on a la relation <math>\overrightarrow{OM}=a\vec u+b\vec v</math>. On peut ainsi dire que la partie réelle de Modèle:Mvar est l'abscisse de Modèle:Mvar et que la partie imaginaire de Modèle:Mvar en est son ordonnée.
D'après cette égalité, tous les points de l'axe <math>(O,\vec u)</math> sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel. En conséquence, on appelle l'axe <math>(O,\vec u)</math> axe des réels.
De la même façon, tous les points de l'axe <math>(O,\vec v)</math> sont tels que la partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe <math>(O,\vec v)</math> axe des imaginaires purs.
Modèle:Math sont les coordonnées cartésiennes du point M, unique représentant du nombre Modèle:Math dans le plan complexe. On peut aussi écrire Modèle:Mvar avec les coordonnées polaires Modèle:Math du point M, ce qui correspond à l'écriture exponentielle Modèle:Math. Dans ce cas, Modèle:Mvar est le module du nombre z et Modèle:Math est un de ses arguments (modulo Modèle:Math).
Transformations du plan
La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur donné correspond à l'addition de son affixe.
Une rotation d'un angle Modèle:Math autour de l'origine correspond à la multiplication de l'affixe par le nombre Modèle:Math, qui est un nombre complexe de module 1.
Une homothétie de rapport Modèle:Mvar (réel) et de centre l'origine du plan correspond à la multiplication de l'affixe par Modèle:Mvar.
Article annexe
Notes et références
Lien externe
- Jean-Robert Argand, Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 1806, en ligne et commenté sur le site Bibnum
