Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
Modèle:À sourcer La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-WalkerModèle:Sfn,Modèle:Sfn (ci-après FLRW) est une solution exacte de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert EinsteinModèle:Sfn. Elle décrit un univers homogène et isotrope, en expansion ou en contractionModèle:Sfn. L'espace-temps dont la métrique décrit la géométrie est feuilleté par des espaces tridimensionnels (hypersurfaces à trois dimensions et de genre temps) de courbure constanteModèle:Sfn. Celle-ci est soit nulle, soit positive, soit négativeModèle:Sfn. En cosmologie, cette métrique est utilisée pour la description de l'évolution de l'Univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du modèle cosmologique standard : la théorie du Big Bang<ref name=Goobar>L. Bergström, A. Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics, page 61, Modèle:2de édition (2006), Modèle:ISBN</ref>.
Histoire
Les éponymes de la métrique sont Alexandre Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey WalkerModèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn.
Friedmann obtient la métrique dès Modèle:DateModèle:Sfn pour le cas d'un univers ferméModèle:Sfn,Modèle:Sfn puis en Modèle:Date pour celui d'un univers ouvertModèle:Sfn,Modèle:Sfn. Indépendamment de FriedmannModèle:Sfn, Lemaître obtient la métrique en Modèle:DateModèle:Sfn pour le cas d'un univers ouvertModèle:Sfn,Modèle:Sfn. Robertson obtient en Modèle:Date la métrique pour le cas le plus simple d'un univers platModèle:Sfn. Robertson en Modèle:Date puis Walker en Modèle:DateModèle:Sfn obtiennent la métrique généraleModèle:Sfn. Il en démontrent, en Modèle:Date-, l'unicité : elle est l'unique métrique pour un espace-temps homogène et isotropeModèle:Sfn.
Il a été notéModèle:Sfn une tendance à se référer à la métrique sous le nom de métrique de Robertson-WalkerModèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Note (RW) et à réserver le nom de Friedmann-Lemaître aux équations qui en décrivent sa dynamiqueModèle:Sfn. Mais, suivant les préférences géographiques ou historiques, la métrique FLRW, et son modèle cosmologique conséquent, peuvent être désignés selon d'autres combinaisons des noms d'une partie des quatre scientifiquesModèle:Sfn. On trouvera, par exemple : Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Friedmann-Lemaître (FL)…
Évolution de l'Univers selon la métrique FLRW
La métrique FLRW décrit la géométrie moyenne de l'Univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'Univers).
Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les filaments ou les amas de galaxies, est permise par l'introduction de perturbations autour de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationnelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du fond diffus cosmologique, réalisée grâce aux satellites COBE, WMAP, et plus récemment Planck.
Formulation mathématique
La métrique FLRW est de formeModèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn,Modèle:Sfn :
- <math>\mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu=c^2\mathrm{d}t^2-a^2(t)\gamma_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j</math>,
où :
- <math>x^\mu (\mu=0,1,2,3)</math> sont les coordonnées d'espace-temps, avec :
- <math>x^0=t</math>, la coordonnée de temps ;
- <math>x^i (i=1,2,3)</math>, les trois coordonnées d'espace ;
- <math>c</math> est la vitesse de la lumièreModèle:Sfn dans le vide ;
- <math>\gamma_{ij}</math> est la métrique induiteModèle:Sfn,Modèle:Sfn sur les hypersurfaces à trois dimensionsModèle:Sfn de genre espaceModèle:Sfn,Modèle:Sfn.
En coordonnées sphériques <math>(r, \theta, \phi)</math>Modèle:Sfn, l'élément de longueur d'espace-temps <math> ds </math>, pour la métrique FLRW, se note :
{{Bloc emphase|texte= <math> {\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - k r^2} + r^2 {\rm d}\Omega^2 \right )</math> }}
en choisissant la Modèle:Lien <math> (+ - - -) </math> où :
- <math>a(t) \;</math>est le facteur d'échelle. Le signe de <math> \dot{a}(t) </math> renseigne sur l'évolution de l'Univers : <math> \dot{a}(t) > 0 </math> pour un univers en expansion, <math> \dot{a}(t) < 0 </math> pour un univers en contraction et <math> \dot{a}(t) = 0 </math> pour un univers statique, le tout considéré au temps <math> t </math>. Pour un temps <math> t_a </math> tel que <math>a(t_a) = N > 1 </math>, l'univers est <math> N </math> fois plus grand que maintenant. Pour un temps <math> t_b </math> tel que <math>a(t_b) = 1/N < 1 </math>, l'univers est <math> N </math> fois plus petit que maintenant ;
- <math>k \;</math>est le facteur de courbureModèle:Sfn et peut valoir <math>-1</math>, <math>0</math> ou <math>1</math>. La valeur <math>k=-1</math> correspond à un espace à courbure ouverte (correspondant à une géométrie hyperbolique), la valeur <math>k=0</math> correspond à un espace à courbure nulle (correspondant à l'espace euclidien de la relativité restreinte), et la valeur <math>k=1</math> correspond à un espace à courbure fermée (correspondant à une géométrie sphérique) ;
- <math>\textstyle {\rm d}\Omega^2 = {\rm d}\theta^2 + \sin^2 \theta \; {\rm d} \phi^2</math>Modèle:Sfn est la métrique sur la sphère ;
- <math>a</math> est homogène à une longueurModèle:Sfn ;
- <math>t</math> est le temps cosmiqueModèle:Sfn ;
- <math>r</math> est sans dimensionModèle:Sfn ;
En introduisant le changement de coordonnées : <math> \begin{cases} r = \sin (\chi/R_0) & \textrm{si}\ k = 1 \\ r = \chi/R_0 & \textrm{si}\ k = 0\\ r = \sinh (\chi/R_0) & \textrm{si}\ k = -1\\ \end{cases} </math> où <math>\chi \;</math> permet de déterminer la distance comobile, l'élément de longueur <math> ds </math> se reformule :
- <math>S_k(\chi) =R(t_0)
\begin{cases} \sin (\chi/R(t_0)) & \textrm{si}\ k = 1 \\ \chi/R(t_0) & \textrm{si}\ k = 0 \\ \sinh (\chi/R(t_0)) & \textrm{si}\ k = -1 \\ \end{cases}\; </math>.
Métrique FLRW en fonction de la courbure spatiale
Dans un espace plat
Pour <math>k = 0 \;</math>, la métrique FLRW se note :
<math>{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left( {\rm d}r^2 + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right) \;</math>
L'espace est plat mais pas l'espace-temps. La métrique est différente de la métrique de Minkowski caractérisant la relativité restreinte.
Dans un espace de courbure positive
Pour <math>k = +1 \;\;</math>, la métrique FLRW s'écrit :
<math>{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right )</math>
L'élément de longueur possédant une singularité en <math>r=1</math>, on préfèrera utiliser son expression selon <math>\chi</math> :
<math>{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left( {\rm d} \chi^2 + R(t_0)^2\sin^2 \left (\chi/R(t_0)\right ) \; {\rm d} \Omega^2 \right) \;</math>
Dans un espace de courbure négative
Pour <math>k = -1 \;</math>, il vient finalement :
- <math>{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 + r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right) = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left( {\rm d} \chi^2 + R(t_0)^2\sinh^2 \left(\chi/R(t_0)\right) \; {\rm d} \Omega^2 \right) \;</math>
Notes et références
Notes
Références
Voir aussi
Bibliographie
- Modèle:Article.
- Modèle:Article.
- Modèle:Article.
- Modèle:Article.
- Modèle:Article.
- Modèle:Article.
- Modèle:Article.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Chapitre.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Chapitre.
Manuels d'enseignement supérieur
Ouvrages fondamentaux
Dictionnaires et encyclopédies
Articles connexes
- Alexandre Friedmann
- Big Bang
- Équations de Friedmann
- Georges Lemaître
- Modèle standard de la cosmologie
- Relativité générale
- Univers fini de Friedmann
