Parabole
La parabole est une courbe plane, symétrique par rapport à un axe, ayant approximativement la forme d'un U dont les branches s'écarteraient indéfiniment. Cette courbe intervient dans les problèmes les plus élémentaires de mécanique ou de mathématiques. En effet la trajectoire d'un projectile qui n'est soumis qu'à la pesanteur est une parabole, ou encore, en mathématiques, la représentation graphique des polynômes de degré 2 est une parabole.
La parabole peut se définir mathématiquement de plusieurs façons, équivalentes. Le plus souvent, la parabole est définie comme une courbe plane dont chacun des points est situé à égale distance d'un point fixe, le foyer, et d'une droite fixe, la directrice. Mais on peut aussi la définir comme l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est parallèle avec un autre plan tangent à la surface du cône.
Son nom, parabole (juxtaposition, similitude), lui a été donné par Apollonius de Perge, remarquant, dans sa construction, une égalité d'aire entre un rectangle et un carré.
Il s'agit d'un type de courbe algébrique dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès l'Antiquité et ont reçu des applications techniques variées en optique, télécommunicationModèle:Etc
Section conique
Les paraboles font partie de la famille des coniques, c'est-à-dire des courbes qui s'obtiennent par l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ; en l'occurrence, la parabole est obtenue lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône et perpendiculaire à l'autre plan qui contient la même génératrice et l'axe du cône.
Directrice, foyer et excentricité
Soient Modèle:Mvar une droite et Modèle:Mvar un point n'appartenant pas à Modèle:Mvar, et soit <math>P</math> le plan contenant la droite Modèle:Mvar et le point Modèle:Mvar. On appelle parabole de droite directrice Modèle:Mvar et de foyer Modèle:Mvar l'ensemble des points <math>M</math> du plan <math>P</math> à égale distance du foyer Modèle:Mvar et de la droite Modèle:Mvar, c'est-à-dire vérifiant :
- <math>d(M,F) = d(M,D)</math>
où <math>d(M,F)</math> mesure la distance du point Modèle:Mvar au point Modèle:Mvar et <math>d(M,D)</math> mesure la distance du point Modèle:Mvar à la droite Modèle:Mvar. La parabole est une forme de conique dont l'excentricité <math>e</math> vaut 1.
Paramètre
Dans ses Coniques, Apollonius de Perge exhibe un paramètre permettant de caractériser les points de la parabole à l'aide de l'égalité d'un carré et d'un rectangle de hauteur fixe<ref>Vitrac, Encart 5 : Les coniques selon Apollonius.</ref> correspondant au double de ce que l'on nomme actuellement le paramètre p de la conique. Si S est le sommet de la parabole d'axe (S,x), M un point de la parabole, N son projeté sur l'axe de la parabole, alors l'aire du carré de côté MN est égale à l'aire du rectangle de dimensions SN et 2p. Remarquant que, dans le cas de l'hyperbole, l'aire du carré est plus grande que celle du rectangle et que dans le cas de l'ellipse, cette aire est plus petite, c'est lui qui donne le nom à ces trois courbes : parabole (juxtaposition, similitude) dans le cas de l'égalité, hyperbole (appliqué avec excès) dans le cas où le carré est plus grand que le rectangle et ellipse (appliqué avec défaut) dans le cas où le carré est plus petit que le rectangle<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Équations
À partir du foyer et de la directrice
Si la parabole est donnée par son foyer Modèle:Mvar et sa directrice <math>\mathcal D</math>, on appelle Modèle:Mvar le projeté orthogonal de Modèle:Mvar sur <math>\mathcal D</math>, on appelle Modèle:Mvar (paramètre de la parabole) la distance Modèle:Mvar et l'on appelle Modèle:Mvar le milieu de Modèle:Math. Alors, dans le repère orthonormé <math>(S,\vec i, \vec j)</math> où <math>\vec j</math> a même direction et sens que <math>\overrightarrow{KF}</math>, l'équation de la parabole est
- <math>y = \frac{x^2}{2p}</math>
À partir de la fonction du second degré
Modèle:Article détaillé La courbe représentative d'une fonction polynomiale du second degré d'équation
- <math>y = ax^2 + bx + c</math>
où Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des constantes réelles Modèle:Mvar non nul), est une parabole. Dans le cas Modèle:Math, Modèle:Math, on obtient une expression simple pour une parabole
- <math>y =x^2</math>.
Dans le repère <math>(O,\vec i, \vec j)</math>, le sommet Modèle:Mvar d'une parabole est le point de coordonnées <math>\left(- \tfrac b{2a},-\tfrac{b^2 - 4ac}{4a}\right)</math>. Son axe de symétrie est l'axe <math>(S\vec j)</math>.
Dans le repère <math>(S,\vec i, \vec j)</math>, son équation est Modèle:RetraitSon foyer est le point <math>F\left(0;\tfrac1{4a}\right)</math> et sa directrice est la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>Y = - \frac1{4a}</math>.
Dans le repère <math>(O,\vec i, \vec j)</math>, le foyer a donc pour coordonnées<ref>Illustration animée avec GeoGebra.</ref> <math>\left(-\frac b{2a}, \frac{1-\Delta}{4a}\right)</math> et la directrice pour équation <math> y=- \frac{1+\Delta}{4a}</math> où <math>\Delta=b^2-4ac</math>.
À partir de l'équation générale
Soit l'équation Modèle:Math, dans un repère orthonormal. Si Modèle:Math alors cette équation est celle d'une parabole ou de deux droites parallèles.
Réciproquement, si (C) est une parabole, alors elle possède, dans tout repère orthonormal, une équation de la forme précédente.
Soit l'équation Modèle:Math, dans un repère orthonormal. Si Modèle:Math avec Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar non nul alors cette équation est celle d'une parabole dont l'axe est parallèle à un des axes du repère.
Équation polaire
Si l'on prend comme pôle le foyer Modèle:Mvar de la parabole et comme axe polaire l'axe focal dirigé vers la directrice, par projection sur l'axe, il vient Modèle:Math.
On en déduit que l'équation polaire de la parabole est <math>\overrightarrow{r} = \overrightarrow{FP} = \frac{p}{1+\cos(\theta)} \vec e_{\theta}</math> que l'on reconnaît comme un cas particulier de conique d'excentricité e = 1.
Paramétrisation
Dans le repère cartésien <math>(S, \vec i, \vec j)</math> où Modèle:Mvar est le point situé au milieu du segment constitué du foyer Modèle:Mvar et de sa projection Modèle:Mvar sur la directrice et où <math>\vec j</math> est un vecteur unitaire orienté de Modèle:Mvar vers Modèle:Mvar, on peut envisager plusieurs paramétrisations de la parabole :
- Une paramétrisation cartésienne par l'abscisse : <math>\overrightarrow{SP}(x)=x\vec i+\frac{x^2}{2p}\vec j</math>, pour tout <math>x\in\R</math> ;
- Une paramétrisation cartésienne par l'ordonnée : <math>\overrightarrow{SP}(y)=(\pm\sqrt{2py})\vec i+y\vec j</math>, pour tout <math>y\in\R^+</math> ;
- Des paramétrisations cartésiennes dépendant chacune d'un constante arbitraire a > 0 : <math>\overrightarrow{SP}(t)=2pat\vec i+2pa^2t^2\vec j=2pa(t\vec i+at^{2}\vec j)</math>, pour tout <math>t\in\R</math>.
(Pour a = 1/(2p), on retrouve la paramétrisation par l'abscisse.) Ces paramétrisations sont régulières (Modèle:C.-à-d. le vecteur dérivé ne s'annule pas). Le vecteur Modèle:Math dirige alors la tangente au point de paramètre Modèle:Mvar.
Quelques propriétés géométriques de la parabole
Cordes parallèles
Toutes les cordes de la parabole parallèles à une même droite Modèle:Mvar ont leur milieu situé sur une même droite Modèle:Mvar parallèle à l'axe : c'est un diamètre relatif à la direction Modèle:Mvar. Les deux tangentes à la parabole aux extrémités d'une telle corde se coupent en Modèle:Mvar. La tangente à la parabole parallèle à Modèle:Mvar a son point de contact sur Modèle:Mvar.
Tangente et bissectrice
Si Modèle:Mvar est un point sur une parabole définie par un foyer Modèle:Mvar et une directrice (d), alors la tangente de la parabole en Modèle:Mvar est la bissectrice intérieure (b) de l'angle formée par Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et le projeté orthogonal de Modèle:Mvar sur (d).
Cette propriété explique le principe des miroirs paraboliques : l'angle que font les droites (AF) et (b) est égal à l'angle que font les droites (AH) et (b), donc les droites (AH) et (AF) sont symétriques par rapport à la tangente, ainsi que par rapport à la normale à la tangente. En optique, cela signifie qu'un rayon issu de F et frappant A subit une réflexion spéculaire de direction (AH), puisque selon la loi de Snell-Descartes, l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion. Donc, tous les rayons issus de F sont réfléchis dans la même direction, perpendiculaire à (d).
Propriété relative à l'orthoptique
Soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar les points d'intersection d'une droite quelconque passant par le foyer de la parabole avec la parabole. Les deux tangentes de la parabole passant par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar se coupent sur la directrice en formant un angle droit entre elles. De plus, si l'on appelle Modèle:Mvar et Modèle:Mvar les projetés respectifs de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sur la directrice et Modèle:Mvar le point d'intersection des deux tangentes et de la directrice, alors Modèle:Mvar est le milieu de Modèle:Math.
Lorsque l'on se déplace le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.
Modèle:Boîte déroulante/début On note Modèle:Mvar le point d'intersection des deux tangentes. Pour des notations plus simples des angles, on note
- <math>\alpha = \widehat {FMO}</math> et <math>\beta = \widehat {FM'O}</math>.
D'après la corrélation montrée plus haut entre tangente et bissectrice, on a :
- <math>\widehat {FMH} = 2 \alpha</math>
- <math>\widehat {FM'H'} = 2 \beta</math>
Puisque les droites (HM) et (H'M') sont parallèles, les deux angles précédents, découpés par (MM') sur ces droites, sont supplémentaires. On a donc :
- <math>2 \beta + 2 \alpha = \pi \Leftrightarrow \beta + \alpha = \frac {\pi}{2}</math>
On en déduit directement avec la somme des angles d'un triangle :
- <math>\widehat {MOM'} = \pi - \left(\alpha + \beta \right) = \frac {\pi}{2}</math>
On appelle Modèle:Mvar le point d'intersection de la perpendiculaire à Modèle:Math passant par Modèle:Mvar avec la directrice. Les triangles FMP et HMP sont égaux car Modèle:Mvar donc le point Modèle:Mvar est sur la bissectrice de l'angle FMH, il est donc sur la tangente passant par Modèle:Mvar ; de même, le point Modèle:Mvar est sur la tangente passant par Modèle:Mvar. Le point Modèle:Mvar est donc aussi le point Modèle:Mvar d'intersection des deux tangentes qui se trouve donc bien sur la directrice.
Les deux tangentes se coupent donc en angle droit sur la directrice.
Enfin, les égalités Modèle:Mvar et Modèle:Mvar prouvent que Modèle:Mvar donc Modèle:Mvar est le milieu de Modèle:Math.Modèle:Boîte déroulante/finEn prenant deux tangentes perpendiculaires pour axes, l'équation prend alors la forme remarquable : <math>\sqrt{{x}\over{a}} + \sqrt {y\over b}-1 = 0</math>
où Modèle:Math et Modèle:Math sont les nouvelles coordonnées des points de contact.
Sous-normale constante
D'un point Modèle:Mvar de la courbe, on mène la normale qui coupe l'axe Modèle:Math en Modèle:Mvar, soit Modèle:Mvar le projeté orthogonal de Modèle:Mvar sur Modèle:Math. La valeur Modèle:Surligner s’appelle la sous-normale. On montre qu'elle admet comme valeur constante Modèle:Mvar, le paramètre de la parabole.
- Démonstration
La pente de la tangente étant <math>y'=\tan \theta</math>, le triangle rectangle Modèle:Mvar donne <math>\overline{HN} = PH \times\tan \theta = y y'</math>.
Or, si l'on dérive par rapport à Modèle:Mvar l'équation de la parabole Modèle:Math, on obtient précisément Modèle:Mvar.
Applications
Balistique
La parabole est la trajectoire décrite par un objet qu'on lance, si l'on peut négliger la courbure de la Terre, le frottement de l'air (vent, ralentissement de l'objet par sa traînée aérodynamique) et la variation de la gravité avec la hauteur<ref>Cette condition est facilement respectée puisque le champ de gravité varie très peu avec l'altitude sur notre planète (les satellites eux-mêmes orbitant dans un champ de gravité assez peu différent de celui existant à la surface de la Terre).</ref>.
Torricelli a démontré en 1640 que l'enveloppe de ces trajectoires est elle-même une parabole : parabole de sûreté.
Dans la pratique, cependant, la trajectoire d'un objet projeté dans l'air (balle de sport, balle de fusil, obus) est très différente d'une parabole, du fait de la traînée atmosphérique, ce qui complique énormément les calculs des balisticiens. Un cas particulier est la courbe décrite par un jet d'eau (image ci-contre) puisque, si ce jet d'eau est bien régulier, seules des forces de friction atmosphériques freinent les parois du jet (il n'y a pas de traînée de pression) : or la traînée de friction est d'un ordre de grandeur beaucoup plus faible que la traînée de pression (cette traînée de pression étant, par contre, très forte sur les projectiles comme les balles de sport).
Ondes hertziennes, acoustiques et lumineuses
Par métonymie, une parabole désigne une antenne parabolique. Il s'agit plus exactement d'une application des propriétés de la surface nommée paraboloïde de révolution.
Les paraboloïdes permettent de concentrer des ondes ou des rayons en un point, le foyer de la parabole. Cette propriété est utilisée par les antennes paraboliques pour concentrer une onde électromagnétique, par le réflecteur parabolique associé à un microphone pour concentrer des ondes acoustiques, ou encore par certains fours solaires pour concentrer la lumière du soleil.
À l'inverse elles peuvent également diffuser sous forme d'un faisceau cylindrique la lumière produite par une lampe au foyer de la parabole. Cette propriété est exploitée par le projecteur et le phare.
Une portion de cylindre de section parabolique permet, de même, de concentrer la lumière sur une droite, par exemple dans des concentrateurs solaires.
Littérature
Dans un des livres de Jules Verne De la Terre à la Lune, la parabole est une forme hypothétique de la trajectoire de sa fusée pour atteindre la Lune.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- Xavier Hubaut, Les théorèmes belges - Coniques et théorème de Dandelin
- Xavier Hubaut, Lancement du poids - Parabole de sûreté
- Modèle:Lien web)
- Parabole, sur le site MathCurve
Bibliographie
- Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 Modèle:ISBN.
- Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie.
- Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, Calvage & Mounet, Modèle:ISBN.
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