Théorème d'Euler (arithmétique)
En mathématiques, le théorème d'Euler ou d'Euler-Fermat en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler<ref>Modèle:Article (E271, écrit en 1758 et présenté en 1760).</ref>, s'énonce ainsi :
Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où Modèle:Mvar est un nombre premier.
Il se démontre en remarquant que l'exposant Modèle:Math (appelé l'indicatrice de Carmichael de Modèle:Mvar) du groupe (ℤ/Modèle:Mvarℤ)× des inversibles de l'[[anneau ℤ/nℤ|anneau ℤ/Modèle:Mvarℤ]] est un diviseur de l'ordre Modèle:Math de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis, se déduit du théorème de Lagrange sur les groupes).
Il permet la [[Exponentiation modulaire|réduction modulo Modèle:Mvar de puissances]]. Par exemple, si l'on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que Modèle:Math. Le théorème d'Euler nous indique donc que Modèle:Retrait On en déduit que Modèle:Retrait Le chiffre recherché est donc 9.
Autre démonstration
Il existe de nombreuses démonstrations de ce théorème. On a déjà fourni ci-dessus celle qui généralise la preuve du petit théorème de Fermat par le théorème de Lagrange. On peut de même généraliser la démonstration arithmétique élémentaire :
Soient Modèle:Math et Modèle:Mvar un entier premier avec Modèle:Mvar. Notons <math>\overline a</math> la classe modulo <math>n</math> d'un entier <math>a</math>, en particulier <math>\overline a\in\left(\Z/n\Z\right)^\times</math> (où <math>\left(\Z/n\Z\right)^\times</math> désigne le groupe des éléments inversibles modulo Modèle:Mvar).
La bijection <math>\left(\Z/n\Z\right)^\times\to\left(\Z/n\Z\right)^\times,\;x\mapsto\overline ax</math> permet de réécrire le produit <math>P:=\prod_{x\in\left(\Z/n\Z\right)^\times}x</math> :
- <math>P\;=\prod_{x\in\left(\Z/n\Z\right)^\times}\left(\overline ax\right)=\;\overline a^{\operatorname{Card}\left(\left(\Z/n\Z\right)^\times\right)}P\;=\overline a^{\varphi (n)}P</math>.
On conclut en simplifiant par l'inversible <math>P</math> :
- <math>\overline 1=\overline a^{\varphi (n)}=\overline{a^{\varphi (n)}}</math>.
