Trigonométrie
La trigonométrie (du grec Modèle:Grec ancien, « triangulaire », et Modèle:Grec ancien, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus, tangente.
Présentation
Histoire de la trigonométrie
Premières techniques de mesure du triangle
Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus, il y a plus de Modèle:Nombre<ref>Aaboe, Asger: Episodes from the Early History of Astronomy New York: Springer, 2001. Modèle:ISBN</ref>. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système numérique à base 60.
La tablette paléo-babylonienne Plimpton 322 (ca -1800) présenterait des rudiments de trigonométrie<ref>Modèle:Article</ref>.
Les astronomes grecs
L'astronome et mathématicien grec Hipparque de Nicée (-190 ; -120) construisit les premières tables trigonométriques sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle au centre (avec une division du cercle en 360°), la longueur de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ce calcul correspond au double du sinus de l'angle moitié, et donne donc, d'une certaine façon, ce que nous appelons aujourd'hui une table de sinus. Toutefois, les tables d'Hipparque n'étant pas parvenues jusqu'à nous, elles ne nous sont connues que par le grec Ptolémée, qui les publia, vers l'an 150, avec leur mode de construction dans son Almageste. C'est ainsi qu'elles furent redécouvertes à la fin du Moyen Âge par Georg von Purbach et son élève Regiomontanus. On attribue à Ménélaos d'Alexandrie (fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle) des développements en trigonométrie sphérique, au moins partiellement présents dans l'Almageste et longtemps attribués à Ptolémée lui-même.
Les mathématiciens indiens
Vers l'an 400, est rédigé un traité indien d'astronomie, le Surya Siddhanta, qui s'inspire de l'astronomie grecque, mais qui apporte une innovation concernant la trigonométrie. Alors que les mathématiciens grecs associaient la mesure d'une corde à un arc, l'ouvrage préfère associer la demi-corde à un arc donné. Cela donnera naissance à la notion de sinus<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Il en sera de même plus tard des mathématiciens arabes. Le mathématicien indien Âryabhata, en 499, donne une table des sinus et des cosinus. Il utilise zya pour sinus, kotizya pour cosinus et otkram zya pour l'inverse du sinus. Il introduit aussi le sinus verse.
Un autre mathématicien indien, Brahmagupta, utilise en 628 l'interpolation numérique pour calculer la valeur des sinus jusqu'au second ordre.
Essor dans le monde musulman
C'est dans le monde musulman que la trigonométrie prend le statut de discipline à part entière et se détache de l'astronomie<ref>Modèle:Lien web</ref>.
Abu l-Wafa (940-998) simplifie l'Almageste de Ptolémée en remplaçant l'usage du théorème de Ptolémée (qu'il nomme méthode du quadrilatère et des six quantités) par des formules de trigonométrie comparables aux nôtres (sinus de la somme de deux arcs, par exemple)<ref>Modèle:Article</ref>. Omar Khayyam (1048-1131) combine l'utilisation de la trigonométrie et la théorie de l'approximation pour fournir des méthodes de résolutions d'équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien Bhāskara II en 1150. Il développe aussi la trigonométrie sphérique. Au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, Nasir al-Din Tusi, à la suite de Bhāskara, est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques. Enfin, au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, Al-Kachi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie.
En Europe : redécouverte de Ptolémée
En 1220, en Europe, Fibonacci propose une table trigonométrique dans sa Practica Geometriae<ref>cf. Modèle:Lien web. Fibonacci utilise un cercle dont le rayon mesure 21 perches (chaque perche étant subdivisée en 6 pieds, chaque pied en 18 onces et chaque once en 18 points). Il divise la circonférence en 132 parties, et donne la longueur de la corde en fonction de l'arc. Ainsi, un arc de 60° possède 22 parties et sa corde mesure 21 perches.</ref>, mais qui comporte malheureusement plusieurs erreurs.
La mise en place de mesures trigonométriques précises se développe vers le milieu du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, avec la traduction en latin des œuvres de Ptolémée. Les pionniers en ce domaine sont Georg von Peuerbach et surtout son étudiant Regiomontanus. Ce dernier adopte la notion de sinus utilisée par les mathématiciens indiens et arabes. Il dresse une table des sinus avec un rayon de Modèle:Nombre unités, puis Modèle:Nombre d'unités et donne également une table des tangentes<ref name=Kline>Modèle:Ouvrage</ref>. Suivent au début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle les traités d'Oronce Fine, Pedro Nunes et Joachim Rheticus. Ce dernier dresse une table trigonométrique pour un rayon de 1015 d'unités et avec un incrément de 10 secondes d'arc<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Le mathématicien silésien Bartholomäus Pitiscus publie un travail remarquable sur la trigonométrie en 1595, dont le titre (Trigonometria) a donné son nom à la discipline<ref name=Kline/>. Modèle:Refnec.
L'utilisation de rayons ayant comme mesure une puissance de 10 et le développement du calcul décimal à la fin du Modèle:S mini-, avec François Viète<ref>François Viète a publié des tables trigonométriques dans son Canon mathematicus (1579). cf Modèle:Lien web</ref> et Simon Stevin, amenèrent petit à petit à se ramener à un rayon unité et à introduire <math>\pi</math> en tant que nombre et non plus en tant que rapport de deux longueurs.
Applications
Les applications de la trigonométrie sont extrêmement nombreuses. En particulier, elle est utilisée en astronomie et en navigation avec notamment la technique de triangulation. Les autres champs où la trigonométrie intervient sont (liste non exhaustive) : physique, électricité, électronique, mécanique, acoustique, optique, statistiques, économie, biologie, chimie, médecine, météorologie, géodésie, géographie, cartographie, cryptographie, informatique etc.
Trigonométrie
Une définition possible des fonctions trigonométriques est d'utiliser les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90 degrés ou Modèle:Math radians).
Et parce que la somme des angles d'un triangle fait 180° (ou Modèle:Math radians), l'angle le plus grand dans un tel triangle est l'angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le côté opposé à l'angle le plus grand (l'angle droit), s'appelle l'hypoténuse.
Dans la figure à droite, l'angle <math>\widehat{ACB}</math> forme l'angle droit. Le côté Modèle:Math est l'hypoténuse.
Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, en notant <math>\widehat A</math> l'angle <math>\widehat{BAC}</math> :
- <math> \sin \widehat A={\mbox{côté opposé} \over \mbox{hypoténuse}} = {a \over c}
\qquad \cos\widehat A={\mbox{côté adjacent} \over \mbox{hypoténuse}} = {b \over c}
\qquad \tan \widehat A={\mbox{côté opposé} \over \mbox{côté adjacent}} = {a \over b}
</math>
Ce sont les fonctions trigonométriques les plus importantes. Elles ont été définies pour les angles entre 0° et 90° (soit entre 0 et Modèle:Math radians). En utilisant le cercle unité, on peut étendre cette définition à un angle quelconque, comme exposé dans l’article fonctions trigonométriques.
Formules de trigonométrie
Identité remarquable
Quel que soit le réel <math>a</math>, on a (d'après le théorème de Pythagore):
- <math> \cos^{2} a + \sin^{2} a = 1 \,</math>
Formules d'addition et de différence des arcs
Modèle:Article détaillé Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus :
- <math>\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b</math> ;
- <math>\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b</math>.
On en déduit celle pour la tangente :
- <math>\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}</math>,
ainsi que les formules de différence (en remplaçant Modèle:Mvar par Modèle:Mvar, sachant que la fonction cosinus est paire et les fonctions sinus et tangente sont impaires).
Formules de multiplication des arcs
- <math>\cos (2a) = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2\cos^{2} a - 1 = 1 - 2\sin^{2} a \,</math>
- <math>\sin (2a) = 2\sin a \cos a \,</math>
- <math>\tan (2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^{2} a } \,</math>
- <math>\sin (3a) = 3\sin a -4 \sin^{3} a \,</math>
- <math>\cos (3a) = -3\cos a +4 \cos^{3} a \,</math>
- <math>\tan (3a) =\frac{3\tan a-\tan^3a}{1-3\tan^2a}</math>
Formules de développement et de factorisation (formules de Simpson)
Des formules d'addition et de différence Modèle:Supra, on déduit :
- Développement
- <math>\cos a \cos b=\frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}2</math>, en particulier <math>\cos^2a=\frac{1+\cos(2a)}2</math>,
- <math>\sin a \sin b=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}2</math>, en particulier <math>\sin^2a=\frac{1-\cos(2a)}2</math>,
- <math>\sin a \cos b=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}2</math> ;
- Factorisation
- <math>\cos p + \cos q = 2 \cos{{p+q} \over 2}\cos{{p-q} \over 2}</math>,
- <math>\cos p - \cos q = -2 \sin{{p+q} \over 2}\sin{{p-q} \over 2}</math>,
- <math>\sin p + \sin q = 2 \sin{{p+q} \over 2}\cos{{p-q} \over 2}</math>.
Formules de l'arc moitié
Ces formules interviennent dans de très nombreux problèmes. En posant :
- <math>t = \tan \frac a2</math>,
on a :
- <math>\sin a=\frac{2t}{1+t^2}~,\qquad\cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}~,\qquad\tan a=\frac{2t}{1-t^2}</math>.
Théorème d'Al-Kashi ou loi des cosinus
Modèle:Article détailléLes résultats donnés ici et dans les sections suivantes concernent les mesures en géométrie euclidienne. L'étude des mêmes questions en géométrie sphérique est faite à l'article Trigonométrie sphérique, et en géométrie hyperbolique à l'article Fonction hyperbolique.
Pour un triangle ABC de côtés a = BC, b = AC et c = AB, on a (loi des cosinus) :
- <math>a^2=b^2+c^2-2\, b \,c\, \cdot\cos\widehat A</math>.
Cette formule a une importance particulière en triangulation et a servi à l'origine en astronomie. On doit au mathématicien Ghiyath al-Kashi, de l'école de Samarcande, de mettre le théorème sous une forme utilisable pour la triangulation au cours du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle.
Remarque : lorsque <math> \hat A = 90^\circ</math> ou <math>\pi/2</math>, on a <math>a^2 = b^2 + c^2</math>, c'est-à-dire le théorème de Pythagore.
Résoudre un triangle
Modèle:Article détaillé Résoudre un triangle, c’est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et leur angle B, trouver le triangle correspondant, c’est-à-dire a, b, c, A, B et C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus).
On résout ce genre de problème à l’aide des formules précédentes (plus la formule de projection évidente a = b · cos C + c · cos B).
Par exemple :
- Sur l’axe Ox, OB = 1 et OC = 1,5. OBM = 60° et OCM = 30°. Trouver M :
- Faire l’épure ; M se trouve en (x = 0,75 ; y = 0,45) environ.
- Raisonner : dans le triangle BMC, B = 120° et C = 30° donc M = 30° ; donc le triangle est isocèle en B et BM'= 0,5.
- Puis <math>CM = 2 \times 0,5 \times \cos(C) = {\sqrt{3} \over 2}</math>.
- Soit H la projection de M sur l’axe : HM = y et l'angle HMB vaut 30°.
- <math>y = {\sqrt{3} \over 4} \approx 0,43</math> et <math>x = 1 - {1 \over 4} = {3 \over 4} = 0,75</math>.
- La distance <math>OM = {\sqrt{3} \over 2} = MC</math>, l’azimut de M vaut 30°, et l’angle OMB vaut 90°.
Il est rare que ce soit aussi simple en pratique.
En général, on demande quatre à six chiffres significatifs. Les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de « réduction des triangles ». Rappelons que la mesure du degré de l’arc méridien terrestre de Paris s’est effectuée de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l’abbé Picard, dans le milieu du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle.
Aire du triangle
L'aire A du triangle se détermine à l'aide de la longueur de deux côtés et du sinus de l'angle qu'ils forment :
- <math>A =\frac12a \times b \times \sin\widehat C</math>.
D'une telle égalité, appliquée à chaque sommet du triangle, on peut déduire la loi des sinus.
La formule précédente, complétée par la loi des cosinus, permet également d'établir la formule de Héron :
- <math>A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>,
où a, b et c sont les longueurs de ses côtés et p désigne le demi-périmètre du triangle :
- <math>p = {(a + b + c) \over 2}</math>.
Quelques problèmes célèbres
Flèche et onglet d'un arc de cercle
- Flèche d’une corde AB sous-tendant l’arc AB avec <math>\widehat{AOB} = 2 \alpha</math> : soit I le milieu de AB, et CD le diamètre passant par I ; alors avec f = ID ou f = IC :
- <math> f \cdot (2R - f) = (R \cdot \sin(\alpha))^2</math>
- Aire de l'onglet :
- <math>S = R^2 \cdot \left[\alpha - {{\sin(2\alpha)} \over 2}\right]</math> ;
- Quand α est petit, on compare cette aire à celle de la parabole osculatrice <math>{2 \over 3} \cdot f \cdot AB</math> (théorème d'Archimède) : la différence est d'ordre supérieur à trois.
Formules de Machin
Modèle:Article détaillé John Machin a été le premier à calculer [[pi|Modèle:Math]] avec 100 décimales, en 1706, grâce à sa formule. Des formules de ce type ont été utilisées jusqu’à nos jours, pour calculer un grand nombre de décimales de Modèle:Math.
Polygones réguliers
- Le polygone à 17 côtés (heptadécagone) est constructible à la règle et au compas (théorème de Gauss-Wantzel).
- L’heptagone et l’ennéagone ne sont pas constructibles. En revanche, on peut construire par pliage l’heptagone et l’ennéagone.
- On prouve que pour <math>a = {{2\pi} \over 7}</math> (intervenant dans la construction de l’heptagone par pliage), on a :
<math>\sin(a) \cdot \sin(2a) \cdot \sin(3a) = {\sqrt{7} \over 8}</math> , <math>\quad\cos(a) + \cos(2a) + \cos(3a) = - {1 \over 2}\quad</math> et <math>\quad\cos(a) \cdot \cos(2a) \cdot \cos(3a) = {1 \over 8}</math>. - Des formules semblables existent pour l'ennéagone, pour <math>a = {{2\pi} \over 9}</math> :
<math>\sin(a) \cdot \sin(2a) \cdot \sin(4a) = {\sqrt{3} \over 8}</math> , <math>\quad\cos(a) + \cos(2a) + \cos(4a) = 0\quad</math> et <math>\quad\cos(a) \cdot \cos(2a) \cdot \cos(4a) = {1 \over 8}</math>.
- On prouve que pour <math>a = {{2\pi} \over 7}</math> (intervenant dans la construction de l’heptagone par pliage), on a :
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
