Lemme d'Euclide
En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide<ref>Modèle:Lien web. (Numérotée proposition 30 dans des éditions plus récentes.)</ref>. Il s'énonce ainsi : Modèle:Théorème
Une généralisation est : Modèle:Théorème
Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c.
Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2), qu'il utilise pour prouver l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier (théorème 16), admettant l'existence comme Modèle:Citation. De cette existence et unicité, il déduit alors « son » lemme (article 19).
Les noms de ces deux propositions sont parfois confondusModèle:Refnec. On notera par ailleurs que le lemme « de Gauss » apparaît déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle<ref> Modèle:Euclide Vitrac, vol. 2, p. 338-339.</ref>.
Le lemme de Gauss se généralise à tout anneau (commutatif, unitaire) intègre à PGCD, en particulier à tout anneau principal comme celui des polynômes sur un corps.
Démonstration directe du lemme d'Euclide
Cette preuve est essentiellement celle de Gauss, qui raisonne par l'absurde, en supposant l'existence d'un nombre premier p et d'entiers naturels a et b non divisibles par p tels que p divise ab. Il choisit d'abord un tel triplet (p, a, b) tel que b soit le plus petit possible (pour p et a fixés). Alors, 1 < b < p (par réduction de b modulo p). Il note ensuite b' le reste de la division euclidienne de p par b. Ainsi, p = mb + b', donc ab' = ap – mab est multiple de p, car ab est multiple de p par hypothèse. Comme Modèle:Nobr, ceci contredit la minimalité de b, concluant ainsi le raisonnement par l'absurde.
Démonstration directe du lemme de Gauss
Soient a, b et c trois entiers, avec PGCD(a, b) = 1 et a|bc. Puisque a divise à la fois ac et bc, il divise leur PGCD, or PGCD(ac, bc) = PGCD(a, b)×c = 1×c = c.
La démonstration pour n'importe quel anneau intègre à PGCD est identique. La démonstration classique pour l'anneau des entiers utilise le théorème de Bézout<ref>Modèle:Note autre projet Ou (dans un anneau d'entiers quadratiques) Modèle:Ouvrage.</ref> et s'étend donc seulement aux anneaux de Bézout.
Conséquences du lemme de Gauss
Primalité avec un produit
Si un anneau A (commutatif, unitaire et intègre) vérifie le lemme de Gauss, alors<ref>Cette implication, notée D ⇒ PP dans Modèle:Chapitre, lemme 2.13, est stricte : cf. leur exemple 3.12.</ref> : Modèle:Énoncé L'anneau A vérifie la propriété ci-dessus (si et) seulement si il vérifie le lemme de Gauss pour les polynômes : Modèle:Énoncé (Un polynôme est dit primitif si ses coefficients sont premiers entre eux, Modèle:C.-à-d. si leurs seuls diviseurs communs sont les inversibles de l'anneau.)
Le sens « si » est immédiat, en considérant deux polynômes primitifs de la forme a + bX et a + cX. Pour la réciproque, voir l'article Lemme de Gauss (polynômes).
Lemme d'Euclide
Les nombres premiers et leurs opposés constituent les éléments irréductibles de l'anneau ℤ des entiers. L'énoncé du lemme d'Euclide dans un anneau quelconque est donc : Modèle:Énoncé (c'est-à-dire divise l'un des deux facteurs dès qu'il divise un produit). Il est vérifié dès que la propriété ci-dessus l'est<ref name=v:Anneau/>,<ref>Cette implication, notée PP ⇒ AP dans Modèle:Harvsp, est stricte : cf. leur exemple 3.13.</ref> et a fortiori dès que le lemme de Gauss l'est.
Lien entre PGCD et PPCM
Dans tout anneau A vérifiant le lemme de Gauss, le plus petit commun multiple de deux éléments premiers entre eux est leur produit. Plus généralement : Modèle:Énoncé
Réciproquement, si A est intègre et vérifie cet énoncé alors il vérifie le lemme de Gauss : Modèle:Démonstration
Unicité de la forme irréductible d'une fraction
Tout nombre rationnel peut s'écrire sous forme d'une fraction irréductible. Le lemme de Gauss permet de montrer qu'une telle écriture est unique : Modèle:Énoncé
Modèle:Démonstration/début Soient r un rationnel et p1, p2, q1, q2 entiers, avec q1, q2 > 0, tels que r = p1/q1 = p2/q2 et PGCD(p1, q1) = PGCD(p2, q2) = 1.
On a donc q2 | p1q2 = p2q1. Or q2 est premier avec p2. Le lemme de Gauss montre que q2|q1.
De même (en intervertissant les indices) q1|q2.
D'où q1 = q2, car q1 et q2 sont positifs.
Puis p1 = rq1 = rq2 = p2.
La forme irréductible d'un rationnel est donc unique. Modèle:Démonstration/fin
De même, pour tout élément du corps des fractions d'un anneau intègre à PGCD, l'existence d'une forme irréductible est assurée et son unicité (à produit près par un inversible) se déduit du lemme de Gauss.
Fermeture intégrale
Modèle:Voir De la conséquence ci-dessus sur la primalité avec un produit (et de l'existence d'une forme irréductible pour un anneau à PGCD) on déduit : Modèle:Énoncé
Réciproque du lemme de Gauss
Soient a non nul et b, deux éléments d'un anneau intègre. Si, pour tout élément c, a divise bc implique que a divise c, alors a et b sont premiers entre eux.
En effet, soit d un diviseur commun à a et b : on peut écrire a = cd et b = ed. Par hypothèse, comme a divise bc, on a que a divise c donc d est inversible.
Notes et références
<references/>
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