Primitives de fonctions logarithmes

Modèle:Méta bandeau de section {{#invoke:Bandeau|ébauche}} Cet article donne les primitives de fonctions logarithmes.

<math>\forall n\in\Z\setminus\{-1\},\quad\int(\ln x)^n~\frac{\mathrm dx}x=\frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}+C</math>

<math>\forall m\in\Z\setminus\{-1\},\forall n\in\N,\quad\int(\ln x)^nx^m~\mathrm dx=x^{m+1}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^{n-k}n!}{(m+1)^{n-k+1}k!}(\ln x)^k+C</math>

<math>\forall m\in\Z,</math>

<math>\forall n\in\{2,3,\ldots\},\quad\int\frac{x^m}{(\ln x)^n}~\mathrm dx=-x^{m+1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(k-1)!(m+1)^{n-1-k}}{(n-1)!(\ln x)^k}+\frac{(m+1)^{n-1}}{(n-1)!}\int\frac{x^m}{\ln x}~\mathrm dx+C</math>

<math>\text{et}\quad\int \frac{x^m}{\ln\,x}~\mathrm dx=\ln|\ln\,x|+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(m+1)^{n}(\ln\,x)^n}{n! \cdot n}+C</math>

<math>\forall a\ne0,\quad\int \mathrm{e}^{ax}\ln x~\mathrm dx=\frac1a\mathrm{e}^{ax}\ln |x|-\frac1a\int\frac{\mathrm{e}^{ax}}x~\mathrm dx </math>