Principe des tiroirs
En mathématiques, le principe des tiroirs de Dirichlet, affirme que, sans perte de généralité, si <math>n</math> chaussettes sont rangées dans <math>m<n</math> tiroirs, alors au moins un tiroir contient plus d’une chaussette. Mathématiquement, le principe peut s'énoncer ainsi :
- Si <math>E</math> et <math>F</math> sont deux ensembles finis tels que <math>\operatorname{Card}(E) > \operatorname{Card}(F)</math>, alors il n'existe pas d'application injective de <math>E</math> dans <math>F</math>.
Appellation
La première version du principe fut énoncée par Dirichlet en 1834 sous le nom de Modèle:Lang (« principe du tiroir ») ; sa première utilisation lui est cependant antérieure d'au moins deux siècles<ref>Modèle:Article.</ref>,<ref group = "note">Le principe est notamment utilisé au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle par Jean Leurechon dans sa Récréation mathématique: Composée de plusieurs problèmes plaisants</ref>. Dans certains pays comme la Russie, ce principe s'appelle le principe de Dirichlet (à ne pas confondre avec le principe du maximum pour les fonctions harmoniques portant le même nom). Ce principe est aussi appelé principe des tiroirs de Dirichlet-Schläfli.
En anglais, ce principe est appelé Modèle:Lang. Il fait référence à la répartition des pigeons dans les cases (ou « boulins ») d'un pigeonnierModèle:Note.
Généralisations
Une version généralisée de ce principe déclare que, si n objets discrets occupent m récipients, alors au moins un récipient doit contenir au moins <math>\left\lceil\frac{n}{m}\right\rceil</math> objets où <math>\lceil\ \rceil</math> est la fonction partie entière par excès, qui associe à un réel x le plus petit entier supérieur ou égal à x ; ce nombre peut s'écrire avec la fonction partie entière : <math>\left\lceil\frac{n}{m}\right\rceil=-E\left(-\frac{n}{m}\right)</math>.
Le principe des tiroirs est un exemple d'argument de dénombrement. Ce principe peut être appliqué à de nombreux problèmes sérieux, y compris ceux qui impliquent des ensembles infinis qui ne peuvent pas être mis en correspondance univoque. En approximation diophantienne, l'application quantitative du principe montre l'existence de solutions entières d'un système d'équations linéaires, résultat qui porte le nom de lemme de Siegel.
Des généralisations aux ensembles infinis existent ; ainsi, une partition d'un ensemble de cardinal α en β sous-ensembles, avec β<α, contient au moins un sous-ensemble de cardinal α si α est un cardinal régulier (en admettant l'axiome du choix).
Preuve en logique propositionnelle
On considère un nombre entier <math>n</math>. Dire que lorsque l'on répartit <math>n + 1</math> pigeons dans <math>n</math> trous, un trou au moins comprend 2 pigeons, c'est affirmer la négation de la proposition Modèle:Citation.
Or on peut montrer que toutes les preuves par réfutations en résolution de la formule propositionnelle qui dit Modèle:Citation est asymptotiquement de taille au moins <math>\textstyle{2^{\frac{n}{20}}}</math>, c'est-à-dire que la taille minimale d'une preuve de cette proposition croît exponentiellement avec le nombre <math>n</math> de trous<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.
Exemple
On considère le cas où <math>n = 3</math>, c'est-à-dire que l'on essaie de ranger 4 pigeons dans 3 trous. Pour tout <math>p\in \{1,2,3,4\} </math> et tout <math>t \in \{1,2,3\}</math> on définit la variable booléenne <math>x_p^t</math> qui vaut <math>\mathtt{Vrai}</math> si le pigeon numéro <math>p</math> est dans le trou numéro <math>t</math> et qui vaut <math>\mathtt{Faux}</math> sinon.
Expression du rangement des pigeons
Soit <math>p\in \{1,2,3,4\} </math>. On écrit que le pigeon numéro <math>p</math> est dans l'un des trois trous par la formule logique :
Le fait que chacun des quatre pigeons soit dans un des trous s'écrit donc :
Expression de ce qu'aucun trou ne contient plus d'un pigeon
Soit <math>t \in \{1,2,3\}</math>. On écrit que le trou numéro <math>t</math> contient au plus un pigeon, c'est-à-dire qu'il contient soit 0 pigeon, soit un seul des pigeons numérotés de 1 à 4 :
Formule logique résultante
La proposition Modèle:Citation s'écrit donc sous la forme de la conjonction de clauses suivante :
Taille de la preuve de réfutation
Modèle:... On cherche à montrer que la formule logique précédente est fausse. Pour cela il faut montrer qu'aucune des <math>2^{12} = 4096</math> instanciations des 12 variables <math>x_1^1, x_1^2, x_1^3, x_2^1, x_2^2, x_2^3, x_3^1, x_3^2, x_3^3, x_4^1, x_4^2, x_4^3</math> ne satisfait la formule. D'un point de vue informel, le théorème affirme qu'il n'existe pas de moyen « court » de montrer cela.
Applications
Bien que le principe des tiroirs semble être une observation triviale, il peut être employé de manière inattendue pour démontrer des résultats complexes.
En dehors du champ des sciences
Il est certain qu'au moins deux personnes en Australie ont exactement le même nombre de cheveux sur leur tête. En effet il est raisonnable de supposer que personne n'a plus de Modèle:Nombre sur la tête (une tête normale a environ Modèle:Nombre<ref>Modèle:Youtube</ref>). Or l'Australie compte plus de Modèle:Nombre. Si nous associons à chaque nombre de cheveux sur une tête un tiroir, et si nous plaçons chaque Australien dans le tiroir correspondant à son nombre de cheveux sur la tête, alors d'après le principe des tiroirs, il y a nécessairement au moins deux personnes ayant exactement le même nombre de cheveux sur la tête en Australie<ref name = "mathologer">Modèle:Youtube, chapitre 1.</ref>. De plus comme il y a quatre fois plus d'Australiens que de tiroirs, on peut affirmer qu'il existe au moins quatre Australiens ayant le même nombre de cheveux<ref name = "mathologer"/>.
Géométrie
Subdivisions d'un triangle
Soit un triangle d'aire égale à 1. Si l'on choisit 9 points à l'intérieur de celui-ci, alors on peut en trouver trois d'entre eux qui déterminent un triangle d'aire inférieure à <math>\textstyle\frac{1}{4}</math>. En effet on peut découper le triangle en 4 triangles d'aire quatre fois plus petite, et d'après le principe des tiroirs généralisé l'un au moins de ces petits triangles contiendra au moins trois points, délimitant une aire inférieure au quart de celle du grand triangle<ref name="delahaye">Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref name="Soifer">Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref group=note name="general">En fait les deux références indiquent aussi que l'on peut montrer que cinq points suffisent (et que quatre ne suffisent pas) et donnent une généralisation pour tout polygone convexe, mais la preuve en est beaucoup plus difficile et ne fait plus appel au principe des tiroirs.</ref>.
La méthode peut être raffinée, toujours à l'aide du principe des tiroirs, en faisant usage de ce que trois points dans un parallélogramme d'aire <math>\textstyle\frac{1}{2}</math> délimitent nécessairement une aire inférieure à <math>\textstyle\frac{1}{4}</math><ref name="delahaye"/>. En choisissant comme tiroirs les trois parallélogrammes formés par l'un des sommets et par le Modèle:Lien<ref group=note>Sur l'image ci contre, il s'agit des trois parallélogrammes formés par le triangle rouge et l'un des trois triangles noirs. Le fait que leur intersection soit non-vide n'invalide pas la méthode.</ref>, il s'ensuit que parmi 7 points quelconques dans un triangle d'aire 1, on peut en trouver 3 qui délimitent un triangle d'aire <math>\textstyle\frac{1}{4}</math><ref name="delahaye"/>,<ref name="Soifer"/>,<ref group = note name="general"/>. Modèle:-
Combinatoire
Sous-ensembles d'entiers de même somme
Parmi les nombres allant de 1 à 100, on en choisit dix différents. Il existe toujours deux sous-ensembles disjoints non vides de ces dix nombres ayant la même somme<ref name = "mathologer"/>. En effet les sommes des sous-ensembles peuvent valoir entre 1 et 955<ref group="note">En effet 955 = 91 + 92 + 93 + 94 + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.</ref>, alors qu'il y a 2¹⁰-1 = 1023 sous-ensembles non vide possibles : on doit donc répartir 1023 éléments (les sous-ensembles) dans 955 tiroirs (les différentes sommes) donc l'un des tiroirs contient deux combinaisons différentes ayant la même somme<ref name = "mathologer"/>,. Les deux combinaisons obtenues peuvent ne pas être disjointes mais comme elles sont différentes il est possible de supprimer tous les éléments communs pour obtenir deux combinaisons non-vides de même somme. Cette méthode ne permet cependant pas de trouver d'exemple de deux telles sommes<ref group="note">Par exemple si les nombres de départ sont 15, 22, 24, 29, 31, 37, 45, 68, 76 et 90, la méthode proposée ne permet pas de trouver que 15 + 37 + 68 = 22 + 24 + 29 + 45 = 120.</ref>.
Problèmes d'empilement
Un problème d'empilement est une situation où l'on cherche à agencer des objets dans une forme plus grande de façon à pouvoir en disposer le plus possible sans qu'il n'y ait de recoupement. Trouver le nombre maximal d'objets que l'on peut disposer peut être un problème difficile ; pour obtenir une borne inférieure il suffit d'exhiber un exemple de disposition mais trouver une borne supérieure est nettement plus difficile. L'une des techniques pouvant être utilisée est d'identifier un ensemble de points dont on est sûr que chaque objet de la configuration choisie couvrira au moins l'un des points : le principe des tiroirs assure alors qu'il est impossible de disposer plus d'objet qu'il n'y a de points-tiroirs. Ce type de raisonnement est utilisé dans le problème de l'empilement de carrés dans un carré<ref>Modèle:Lien web.</ref>.
Mathématiques récréatives
Disposition de fous sur un échiquier
Par analogie avec le problème des huit dames, on peut se demander combien de fous au maximum on peut disposer sur un échiquier sans qu'aucun d'eux ne soit en prise si l'on ne tient pas compte de leurs couleurs.
On peut montrer en exhibant un exemple bien choisiModèle:Note que la bonne réponse est supérieure ou égale à 14. Pour montrer qu'elle est également inférieure ou égale à 14, et donc égale à 14, on peut avoir recours au principe des tiroirs. Pour cela on subdivise astucieusement l'échiquier en 14 groupes de cases de telle sorte que deux fous posés sur deux cases d'un même groupe se menacent forcément : le principe des tiroirs permet alors d'affirmer qu'il est impossible de disposer 15 fous sans qu'au moins deux d'entre eux soient placés dans un même groupe et se menacent mutuellement<ref name = "delahaye18">Modèle:Article.</ref>.
Modèle:Diagramme d'échecs petit
Théorie des nombres
Approximation d'un réel
Soient un réel Modèle:Math et un entier Modèle:Math. Pour tout réel Modèle:Math, on note Modèle:Math sa partie fractionnaire (c'est-à-dire la différence entre Modèle:Math et sa partie entière). Les Modèle:Math éléments Modèle:Mathde Modèle:Math (non nécessairement distincts) se répartissent dans les Modèle:Math « tiroirs » Modèle:Math, où Modèle:Math. Il existe donc un entier Modèle:Math et deux entiers Modèle:Math tels que :
et donc :
En notant Modèle:Math la différence des parties entières de Modèle:Math et Modèle:Math, on en déduit :
ou encore, en introduisant l'entier Modèle:Math :
On démontre de même le théorème d'approximation de Dirichlet, un résultat plus général d'approximation simultanée de d réels. Pour d = 1, on en déduit que la mesure d'irrationalité de tout nombre irrationnel est supérieure ou égale à 2.
Informatique
Problème de recherche des plus proches voisins
L'un des problèmes fondateurs de la géométrie algorithmique consiste à identifier parmi un ensemble de points la paire séparée par la plus petite distance. Une technique de résolution efficace repose sur la technique diviser pour régner. Celle-ci nécessite de savoir combien, dans un rectangle de longueur <math>2\delta</math> et de largeur <math>\delta</math>, on peut avoir de points séparés par une distance au moins égale à <math>\delta</math><ref group="note">On se place ici dans le cas où tous les points sont dans un même plan, mais il est possible d'utiliser des arguments analogues pour des dimensions supérieures, par exemple avec 16 sous-cubes d'arête <math>\frac{\delta}{2}</math> si l'on a des points répartis dans l'espace.</ref>. Par principe des tiroirs on peut montrer que ce nombre est nécessairement inférieur ou égal à 8<ref name="rau">Modèle:Article, disponible en accès libre.</ref>.
Lemme de l'étoile
Modèle:Article détaillé La preuve la plus classique du lemme de l'étoile repose essentiellement sur l'application du principe des tiroirs où chaque tiroir est un état d'un automate fini.
Fonction de hachage
Une fonction de hachage est une fonction qui transforme une suite de bits de longueur arbitraire en une chaîne de longueur fixe. Du fait qu'il y a plus de chaînes possibles en entrée qu'en sortie découle par le principe des tiroirs l'existence de collisions : plusieurs chaînes distinctes ont le même haché. Rendre ces collisions difficiles à déterminer efficacement est un enjeu important en cryptographie.
