Algèbre sur un corps
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Modèle:Voir homonymes En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que :
- (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
- la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ;
- la loi × est bilinéaire.
Définitions
Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :
- (x + y) × z = x × z + y × z ;
- x × (y + z) = x × y + x × z ;
- (a x) × (b y) = (a b) (x × y).
Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.
On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.
Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : A → B telle que
Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.
Généralisation
Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A. Modèle:Article détaillé
Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères
- Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une algèbre associative sur un corps.
- Une algèbre commutative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est commutative.
- Une algèbre unifère<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × admet un élément neutre, noté Modèle:Math.
Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps
Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel<ref name="bourbakiIIIp10">N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.</ref>.
Si <math>a=(a_k)_{k\in I}</math> est une base de A, il existe alors une unique famille <math>(c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I}</math> d'éléments du corps K tels que :
Pour Modèle:Math et Modèle:Math fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que <math>(c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I}</math> sont les constantes de structure<ref name="bourbakiIIIp10"/> de l'algèbre A par rapport à la base Modèle:Math, et que les relations <math>a_i\times a_j=\sum_{k\in I} c_{i,j}^k a_k</math> constituent la table de multiplication de l'algèbre A<ref name="bourbakiIIIp10"/> pour la base Modèle:Mvar. Modèle:...
Exemple d'algèbre de dimension infinie
Soit <math>U</math> un ouvert de <math>\Bbb C</math>. L'ensemble des fonctions analytiques dans <math>U</math> est une <math>\Bbb C</math>-algèbre.
Exemples d'algèbres de dimension finie
Algèbres associatives et commutatives
Nombres complexes
L'ensemble des nombres complexes (ℂ, + , ·, × ) est une ℝ-algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2. Une base de l'algèbre ℂ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :
| 1 | i | |
|---|---|---|
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × i = i |
| i | i × 1 = i | i × i = –1 |
Corps finis
Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (Fp = ℤ/pℤ), donc son ordre est pn.
Par exemple le corps fini F4 est une algèbre de dimension 2 sur le corps F2 = ℤ/2ℤ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :
| 1 | a | |
|---|---|---|
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × a = a |
| a | a × 1 = a | a × a = 1 + a |
Algèbres quadratiques
On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative<ref>N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.</ref>. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :
| 1 | x | |
|---|---|---|
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × x = x |
| x | x × 1 = x | x × x = a1 + bx |
Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type pouvant dépendre de la base choisie).
Par exemple : ℂ est une ℝ-algèbre quadratique de type (–1, 0) pour la base (1, i) et F4 est une F2-algèbre quadratique de type (1, 1).
Algèbres associatives et non commutatives
Matrices carrées
Modèle:Loupe L'ensemble <math>\left(\mathcal M_n(\mathbb R), +,\cdot, \times \right)</math> des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n2.
Quaternions
Modèle:Loupe L'ensemble (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.
| 1 | i | j | k | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × i = i | 1 × j = j | 1 × k = k |
| i | i × 1 = i | i × i = –1 | i × j = k | i × k = –j |
| j | j × 1 = j | j × i = –k | j × j = –1 | j × k = i |
| k | k × 1 = k | k × i = j | k × j = –i | k × k = –1 |
Biquaternions
L'ensemble <math>\scriptstyle(\mathbb B, +,\cdot, \times)</math> des biquaternions est une ℂ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre <math>\left(\mathcal M_2(\mathbb C), +,\cdot, \times \right)</math> des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.
Algèbre unifère non associative
Modèle:Loupe L'ensemble des octonions <math>\scriptstyle(\mathbb O, +,\cdot, \times)</math> est une ℝ-algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.
Algèbres non associatives et non unifères
Produit vectoriel
Modèle:Loupe L'espace euclidien ℝModèle:3 muni du produit vectoriel, <math>(\mathbb R^3, +,\cdot, \wedge)</math>, est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.
La table de multiplication dans une base orthonormale directe (<math>\vec{u}</math>, <math>\vec{v}</math>, <math>\vec{w}</math>) est :
| <math>\vec{u}</math> | <math>\vec{v}</math> | <math>\vec{w}</math> | |
|---|---|---|---|
| <math>\vec{u}</math> | <math>\vec{u}\wedge\vec{u} =\vec{0}</math> | <math>\vec{u}\wedge\vec{v} =\vec{w}</math> | <math>\vec{u}\wedge\vec{w} =-\vec{v}</math> |
| <math>\vec{v}</math> | <math>\vec{v}\wedge\vec{u} =-\vec{w}</math> | <math>\vec{v}\wedge\vec{v} =\vec{0}</math> | <math>\vec{v}\wedge\vec{w} =\vec{u}</math> |
| <math>\vec{w}</math> | <math>\vec{w}\wedge\vec{u} =\vec{v}</math> | <math>\vec{w}\wedge\vec{v} =-\vec{u}</math> | <math>\vec{w}\wedge\vec{w} =\vec{0}</math> |
Crochet de Lie
Modèle:Loupe L'ensemble des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels, muni du crochet de Lie : <math>[M, N]=MN-NM</math>, <math>\left(\mathcal M_n(\R), +,\cdot, [,] \right)</math> est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n2. Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.
Contre-exemple
La ℝ-algèbre (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est un ℂ-espace vectoriel, mais n'est pas une ℂ-algèbre car la multiplication × n'est pas ℂ-bilinéaire : Modèle:Math.
