Loi géométrique

Modèle:Infobox/Début Modèle:Infobox/Titre Modèle:Infobox/Image Modèle:Infobox/Image Modèle:Infobox/Séparateur optionnel Modèle:Infobox/Image Modèle:Infobox/Séparateur optionnel Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Ligne mixte optionnelle Modèle:Infobox/Notice Modèle:Infobox/Fin\!</math> | kurtosis = <math>6+\frac{p^2}{q}\!</math> | entropy = <math>\frac{-q\log_2 q - p \log_2 p}{p}\!</math> | mgf = <math>\frac{p{\rm e}^t}{1-q\,{\rm e}^t}\!</math> | char = <math>\frac{p{\rm e}^{{\rm i}t}}{1-q\,{\rm e}^{{\rm i}t}}\!</math> | pgf = <math>\frac{pt}{1-qt}</math> }}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi géométrique désigne, selon la convention choisie, l'une des deux lois de probabilité suivantes :

• la loi du nombre Modèle:Mvar d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès Modèle:Math (ou Modèle:Math d'échec) nécessaire pour obtenir le premier succès. Modèle:Mvar est la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Le support de la loi est alors {1, 2, 3, ...}.
• La loi du nombre Modèle:Mvar – 1 d'échecs avant le premier succès. Le support de la loi est alors {0, 1, 2, 3, ...}.

On dit que Modèle:Mvar suit une loi géométrique de paramètre p.

Ces deux lois sont différentes. C'est pourquoi il faut préciser la convention choisie en indiquant le support. Dans la suite, sauf mention contraire, on suppose que les valeurs de Modèle:Mvar sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ...

Définition

Support {1, 2, 3, ...}

En notant <math>q = 1 - p</math>, la probabilité que Modèle:Mvar est alors, pour Modèle:Mvar = 1, 2, 3, ... :

<math>\mathbb P(X=k) = q^{k-1}p.</math>

La probabilité <math>\mathbb P(X=k)</math> correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de Modèle:Mvar épreuves de Bernoulli, Modèle:Math échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de Modèle:Math. Dans la suite, nous prenons cette définition.

Support {0, 1, 2, ...}

Pour l'autre définition, nous avons :

<math>\mathbb P(Y=k) = q^{k}p.</math>

Il s'agit lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir Modèle:Mvar échecs consécutifs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout instant la probabilité p de mourir.

On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique, au sens suivant. Son espérance n'est plus alors de Modèle:Sfrac mais de Modèle:Math, c'est-à-dire Modèle:Sfrac. La variance est identique pour les deux définitions.

Date de mort, durée de vie

Si on appelle Modèle:Mvar la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive Modèle:Mvar, suit la loi de probabilité suivante :

<math>p(k) = \mathbb P(\mathrm V=k)=q^{k-1}\ \mathrm{ pour }\ k \in \N^*</math>

<math id="http://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/varinfinies.pdf">\mathbb P(\mathrm V > k) =q^k = \mathrm{e}^{k\ln(q)}</math>

Pour Modèle:Mvar petit, Modèle:Math est voisin de Modèle:Math donc

<math>\mathbb P( \mathrm V > k) \approx \mathrm{e}^{-pk}</math>

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.

Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire Modèle:Math suivant une loi géométrique de paramètre Modèle:Math est Modèle:Math, et sa variance est Modèle:Sfrac où Modèle:Math est la probabilité d'échec :

<math>\mathbb E[X]=\frac1p,\qquad\mathbb V[X]=\frac{1-p}{p^2}=\frac q{p^2}.</math>

L'écart type est donc Modèle:Sfrac.

Modèle:DémonstrationPar exemple, pour <math>p=1/2</math>, <math>\mathbb E[X]=2,\mathbb V[X]=2, \sigma[X]=\sqrt2</math> et l'écart moyen <math> \textbf{EM}(X)=\mathbb E(|X-2|)=\sum_{k=1}^{+\infty}{|k-2|/2^k}=1</math>.

Liens avec d'autres lois

Lien avec la loi géométrique tronquée

Dans les programmes 2011 de Première Scientifique en France<ref name=eduscol>Document ressource éduscol - Statistique et probabilité - Juin 2011, pp. 13-24</ref>, on appelle loi géométrique tronquée de paramètres Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, la loi de la variable aléatoire obtenue en limitant à Modèle:Mvar le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre Modèle:Mvar et en notant Modèle:Mvar le rang du premier succès. Par convention, s'il n'advient aucun succès au cours des n essais, on pose Modèle:Mvar = 0 (on trouve parfois pour Modèle:Mvar le nombre d'échecs consécutifs obtenus avant l'obtention d'un premier succès au cours des n épreuves<ref>Cours de probabilité 2011/2012 de l'U.J.F. de Grenoble, p. 7</ref>). La probabilité que Modèle:Mvar = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ..., n :

<math>\mathbb P(X=k) = q^{k-1}p</math>

et pour k = 0

<math>\mathbb P(X=0) = q^n.</math>

Cette loi de probabilité a pour espérance<ref name=eduscol/>: Modèle:Retrait où Modèle:Math.

Le terme « tronquée », ici, n'a pas le même sens que celui que l'on trouve dans la définition d'une loi tronquée.

Lien avec la loi exponentielle

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Modèle:Théorème.</math>}}

Modèle:Démonstration\right)^{k-1}\ \left(1-\mathrm e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}\right).

\end{align}</math>}}

Fichier:Geometrique exponentielle.png

Diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10.

Notons que, pour un nombre réel Modèle:Mvar, <math>\lceil x\rceil</math> désigne la partie entière supérieure de Modèle:Mvar, définie par

<math>\lceil x\rceil\ =\ \min\left\{k\in\mathbb{Z}\ |\ k\geqslant x\right\}.</math>

Réciproquement, Modèle:Théorème Modèle:Démonstration

Lien avec la loi binomiale négative

Si Modèle:Mvar est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, alors Modèle:Mvar a même loi que la somme de Modèle:Mvar variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre Modèle:Mvar.

Voir aussi

• Variables aléatoires élémentaires
• Radioactivité
• Méthode de rejet
• Processus de Bernoulli
• Loi exponentielle
• Loi binomiale négative
• Problème du collectionneur de vignettes (un exemple faisant apparaître une loi géométrique)