Théorème de Noether (physique)
Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.
Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.
Énoncés
Un autre énoncé équivalent est :
Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience<ref>Modèle:Lien web (traduction libre par J. Fric de Modèle:Lang de J. Baez).</ref>.
Démonstrations
Soit <math>q_i(s)</math>, un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre <math>s</math>. Si le lagrangien <math>L</math> est indépendant de <math>s</math>, c'est-à-dire <math>L(q_i(s),\dot q_i(s),t)=L(q_i,\dot q_i,t)</math> avec <math>q_i=q_i(0)</math>, alors :
- <math> I(q_i,\dot q_i)=\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i(s)}{\mathrm ds}\right|_{s=0} </math>
est une intégrale première, c'est-à-dire que <math>I</math> est invariant dans le temps : <math>\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt} =0</math>.
En effet :
- <math> \frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\partial L}{\partial q_i(s)}\frac{\mathrm dq_i(s)}{\mathrm ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q_i(s)}\frac{\mathrm d \dot q_i(s)}{\mathrm ds}=0</math>
- <math>\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i(s)}\frac{\mathrm dq_i(s)}{\mathrm ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q_i(s)}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\mathrm dq_i(s)}{\mathrm ds}</math>
(en utilisant les équations d'Euler-Lagrange <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i(s)}=\frac{\partial L}{\partial q_i(s)}</math>, et <math>\frac{\mathrm d \dot q_i(s)}{\mathrm ds} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dq_i(s)}{\mathrm ds}</math>)
- <math>\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q_i(s)}\frac{\mathrm d q_i(s)}{\mathrm ds}\right|_{\forall\,s}\right)=0</math>
- <math>\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dq_i(s)}{\mathrm ds}\right|_{s=0}\right)=0 </math>.
Remarque : Dans le cas général, on n'a pas nécessairement un unique paramètre <math>s</math> mais plutôt un jeu de paramètres <math>s_j</math> auxquels vont correspondre les invariants
<math display="block"> I_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial q_i(\vec{s}) }{\partial s_j}.</math>
Soit un Lagrangien <math>L=L(q_i, \dot q_i, t)</math> qui dépend de <math>N</math> coordonnées généralisées <math>q_i=q_i(t)</math>, avec <math>i=1, \cdots, N</math>. Selon le principe de moindre action, l'action <math>S=\int Ldt</math> est stationnaire sur une trajectoire physique. Ceci mène directement aux équations d'Euler-Lagrange :
<math display=block>\forall i\quad\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0.</math>
Aussi, sous une transformation infinitésimale des coordonnées <math>q_i\rightarrow q_i'=q_i+\alpha.\delta q_i</math>, si le Lagrangien est invariant à une dérivée temporelle totale près (Modèle:C.-à-d. : <math>L\rightarrow L'=L+\alpha.\delta L=L+\alpha \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}F(q_i,t)</math>, pour une fonction quelconque <math>F(q_i, t)</math> qui ne dépend que des coordonnées généralisées et du temps), alors les équations du mouvement sont inchangées. Sous cette hypothèse, en calculant le Lagrangien au premier ordre du développement de Taylor, on obtient :
<math display=block>\begin{align} \alpha.\delta L &= \frac{\partial L}{\partial q_i}\alpha.\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\alpha.\delta \dot{q}_i\\ &= \frac{\partial L}{\partial q_i}\alpha.\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\alpha.\delta q_i\\ &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\alpha.\delta q_i\right) + \left[\frac{\partial L}{\partial q_i} -\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)\right]\alpha.\delta q_i. \end{align} </math>
Notons que le deuxième terme de la seconde ligne n'est autre que l'un des termes obtensible via la règle de Leibniz :
<math display=block>\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta q_i\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)\cdot \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\delta q_i\right) \end{align} </math>
Nous avons donc simplement remplacé <math>\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\cdot\delta q_i </math> par les autres termes de la règle en tenant compte du facteur <math>\alpha</math>.
Enfin, dans notre dernière ligne, le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour <math>q_i</math>. Ainsi, par comparaison avec l'hypothèse de départ, on a :
<math display=block>F(q_i, t) = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}.\delta q_i.</math>
On définit la quantité conservée du système :
<math display=block>C(q_i, t) = F(q_i, t) - \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}.\delta q_i </math>
car
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}C(q_i, t) = 0.</math>
Dans le cas où la transformation laisse le lagrangien invariant, on a alors <math>F(q_i,t) =0</math> et on retrouve alors le résultat de la démonstration précédente, qui est moins générale mais plus explicite. Modèle:Démonstration/fin
Exemples
| Propriété du système physique | Symétrie | Invariant |
|---|---|---|
| Espace homogène | Invariance par translation dans l'espace | Conservation de l'impulsion |
| Espace isotrope | Invariance par rotation dans l'espace | Conservation du moment cinétique |
| Système indépendant du temps | Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps) | Conservation de l'énergie |
| Pas d'identité propre des particules | Permutation de particules identiques | Statistique de Fermi-Dirac, Statistique de Bose-Einstein |
| Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées | Invariance par changement de phase | Conservation de la charge électrique |
Détaillons quelques-uns de ces exemples.
Quantité de mouvement
Prenons tout d'abord le cas d'une particule libre, on a donc le lagrangien
<math display="block">L = \frac{1}{2}m\dot{\vec{q}}^2</math>
invariant par translation. On voit bien ici que si on change l'origine des coordonnées, cela ne va pas modifier la physique de notre particule libre. Le lagrangien est donc invariant par la transformation de translation<math display="block">q_i \rightarrow \tilde{q}_i = q_i + \alpha_i</math>
avec les <math>\alpha_i</math> les composantes du vecteur décrivant la translation. On voit ici que l'on a, pour une translation infinitésimale d'un vecteur <math>\vec{\delta \alpha} = \delta \alpha_i \vec{e}_i</math> , une variation de nos coordonnées généralisées qui vaut <math>\delta q_i = \tilde{q}_i - q_i = \delta\alpha_i</math> . Les quantités conservées associée à cette transformation sont donc
<math display="block">I_i = \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\frac{\partial q_j}{\partial \alpha_i} = \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\delta_{ij} = m \dot{q}_i = p_i</math>avec <math>\delta_{ij}</math> le delta de Kronecker, on retrouve bien les composantes du vecteur quantité de mouvement.
Moment cinétique
Considérons maintenant le cas d'un système invariant par rotation, prenons par exemple une particule placée dans un potentiel central <math>\Phi(r)</math>, on a alors <math>L = \frac{1}{2}m \dot{\vec{q}}^2 - \Phi(r) </math>. Le système étant invariant par rotation (la norme de la vitesse est invariante par rotation), il semble pertinent de se placer en coordonnées sphériques, on a alors
<math display="block">L = \frac{m}{2} \left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2(\theta) \dot{\phi}^2 \right) - \Phi(r). </math>
La transformation associée à la rotation en coordonnées sphériques peut s'écrire comme <math>(r,\theta, \phi) \rightarrow (r, \tilde{\theta}=\theta +\chi ,\tilde{\phi} = \phi+\psi) </math>, avec <math>\chi </math> et <math>\psi </math> les deux angles caractérisant la transformation. Pour une transformation infinitésimale on a donc <math>\delta \theta = \delta \chi </math> et <math>\delta \phi = \delta \psi </math>. On voit donc ici que les deux quantités conservées vont être
<math display="block">I_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\frac{\partial \theta}{\partial \chi} = mr^2\dot{\theta} \qquad \mathrm{et} \qquad I_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}\frac{\partial \phi}{\partial \psi} = m r^2 \sin^2(\theta)\dot{\phi} </math>c'est-à-dire les deux composantes angulaires du moment cinétique <math>\vec{L} = \vec{r}\times \vec{p} </math>, à un signe près pour <math>L_\theta</math>. Attention cependant aux indices, on a <math>I_\theta = L_\phi </math> et <math>I_\phi = -L_\theta </math>, et on a bien sûr <math>L_r =0 </math> par définition du produit vectoriel.
Énergie
Si on a cette fois un système qui est invariant dans le temps, on a alors un lagrangien qui est indépendant du temps <math>L(t+\delta t) = L(t) </math>, <math>\partial_t L =0 </math>. La transformation est ici une translation dans le temps, et se traduit pour les coordonnées temporelles par <math display="block">q_i(t) \rightarrow \tilde{q}_i(t) = q_i(t+\delta t) = q_i(t) + \delta t \dot{q}_i </math>
ce qui conduit à la quantité conservée
<math display="block">I = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\frac{\partial q_i}{\partial t}. </math>Le lagrangien étant conservé aussi, on a la quantité totale
<math display="block">H = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i - L </math>
qui est conservée, or ce n'est rien d'autre que le hamiltonien du système. Le hamiltonien (l'énergie) est donc conservé pour les systèmes indépendants (explicitement) du temps.
Théorie des champs classique
Le théorème de Noether est aussi valide en théorie des champs classique où le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienne qui dépend de champs plutôt que de variables dynamiques. La formulation du théorème reste sensiblement la même<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :
Modèle:Démonstration{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi_i}=0</math>
où la convention d'Einstein sur les indices répétés est utilisée ici. Soit une transformation infinitésimale d'un des champs <math>\varphi_i(x)\rightarrow\varphi_i'(x)=\varphi_i(x)+\alpha\Delta\varphi_i(x)</math> où <math>\Delta\varphi_i(x)</math> représente la déformation du champ et <math>\alpha</math> est un paramètre infinitésimal (la preuve peut facilement être généralisée avec une déformation de plusieurs champs en même temps). Si la densité lagrangienne est invariante à une quadri-divergence près sous cette transformation infinitésimale, c'est-à-dire que :
<math display=block>\mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}+\alpha\Delta\mathcal{L} = \mathcal{L}+\alpha\partial_\mu J^\mu(x)</math>
pour une certaine fonction <math>J^\mu</math>. Alors, en comparant les termes au 1er ordre du développement de Taylor de la densité lagrangienne :
<math display=block>\begin{align}\alpha\Delta\mathcal{L}&=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi_i}(\alpha\Delta\varphi_i) + \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right)\partial_\mu(\alpha\Delta\varphi_i)\\ &=\alpha\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\Delta\varphi_i\right) + \alpha\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi_i}-\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right)\right]\Delta\varphi_i.\end{align}</math>
Le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour le champ <math>\varphi_i</math>. On a donc finalement, par comparaison directe :
<math display=block>\partial_\mu J^\mu(x) = \partial_\mu \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\Delta\varphi_i \right)</math>
Ainsi, la quantité conservée du système est la suivante :
<math display=block> j^\mu\equiv J^\mu(x) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\Delta\varphi_i</math>
car
<math display=block>\partial_\mu j^\mu = 0.</math>}}
Invariance de jauge et second théorème de Noether
On considère de manière générale pour une densité de lagrangien quelconque <math display="block">\mathcal{L}[\psi_i, \partial_\mu\psi_i, x^\mu]</math>
dont l'action associée doit être stationnaire pour toute transformation infinitésimale des champs selon le Principe de Hamilton. On a donc
<math display="block">\delta S = \int \textrm{d}^4x \; \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_i}\delta \psi_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\psi_i)}\delta \partial_\mu \psi_i \right] = \int \textrm{d}^4x \; \left[\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_i}-\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\psi_i)}\right) \delta \psi_i + \partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\psi_i)}\delta \psi_i \right)\right] =0</math>
où on a utilisé la convention d'Einstein pour la sommation sur les indices répétés, et où on a mis de coté les possibles transformations de l'espace temps (on a pris <math>\delta x^\mu = 0 </math> ). On voit donc que l'on peut reformuler ce résultat de manière générale comme
<math display="block">[\psi ]_i \delta\psi_i = -\partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\psi_i)}\delta \psi_i \right), \qquad [\psi]_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi_i} -\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\psi_i)} </math>
avec <math>[\psi]_i </math> représentant donc les équations du mouvement pour le champ <math>\psi_i </math>.
On s'intéresse maintenant à une densité de lagrangien invariante sous une transformation de jauge, c'est-à-dire une transformation locale des champs. Dans ce cas on va voir que l'on applique cette fois le second théorème de Noether.
Plus précisément on considère ici une densité de lagrangien invariante sous un groupe de transformation de dimension infinie et dépendant continûment de <math>\rho </math> fonctions <math>p_{\alpha} (x^{\mu}) , \;\; \alpha = 1,\; ... ,\; \rho </math> , groupe que l'on notera <math>G_{\infty \rho}
</math>. On voit que dans le cas d'une telle transformation la variation infinitésimale des champs <math>\delta\psi_i </math> dans l'équation ci dessus se décompose comme
<math display="block">\delta \psi_i = \sum_\alpha \left[a_{\alpha i}(\psi_i, \partial_\mu \psi_i, x^\mu)\Delta p_\alpha(x^\mu) + b_{\alpha i}^\nu (\psi_i, \partial_\mu \psi_i, x^\mu) \partial_\nu \Delta p_\alpha (x^{\mu}) \right] </math>
où la notation <math>\Delta p_\alpha </math> dénote le fait que l'on considère un <math>p_\alpha </math> infinitésimal. On voit donc que l'on peut reprendre l'équation précédente sous forme intégrale pour obtenir
<math display="block">\int d^4x \, [\psi]_i \left(a_{\alpha i} \Delta p_\alpha + b_{\alpha i}^\nu \partial_\nu \Delta p_{\alpha} \right) = \int d^4x \, \left(a_{\alpha i}[\psi]_i - \partial_\nu\left(b_{\alpha i}^\nu[\psi]_i\right)\right)\Delta p_\alpha + \int d^4x \, \partial_\nu \left(b_{\alpha i}^\nu [\psi]_i \partial_\nu \Delta p_{\alpha} \right) </math><math display="block">\Longrightarrow \qquad \int d^4x \left(a_{\alpha i}[\psi]_i - \partial_\nu \left(b_{\alpha i}^\nu[\psi]_i\right)\right)\Delta p_\alpha = - \int d^4x\,\partial_\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\psi_i)}\delta \psi_i + b_{\alpha i}^\mu [\psi]_i\Delta p_{\alpha}\right)
</math>or on voit ici que le second terme de la seconde équation est un terme de bord, et les fonctions <math>p_\alpha
</math> étant arbitraires on peut toujours les choisir de sorte que ce terme s'annule. On obtient alors le second théorème de Noether<ref>Modèle:Article.</ref> Modèle:Théorème
Exemple
Considérons par exemple la densité de Lagrangien
<math display="block">\mathcal{L} = (\partial_\mu + iqA_\mu)\psi (\partial^\mu + iq A^\mu)\psi^* - m^2 \psi\psi^* - \frac{1}{4}F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}
</math>où <math>F_{\mu \nu}
</math>ne dépend que des dérivées première de <math>A_\mu
</math> (dans le cas abélien du moins). Elle est invariante sous la transformation de jauge locale
<math display="block">\psi \rightarrow \tilde{\psi} = e^{iq\theta(x)}\psi, \qquad \psi^* \rightarrow \tilde{\psi} ^* = e^{-iq\theta(x)}\psi^*, \qquad A_\mu \rightarrow \tilde{A}_\mu = A_\mu + \partial_\mu\theta(x)
</math>
où voit qu'ici on a une seule fonction continue <math>p_\alpha
</math> dans notre groupe de transformation, que l'on a noté <math>\theta(x)
</math>. Cette transformation correspond sous forme infinitésimale à
<math display="block">\delta \psi = iq\delta \theta \psi, \qquad \delta \psi^* = -iq\delta\theta\psi^*, \qquad \delta A_\mu = \partial_\mu \theta
</math>on a alors <math display="block">a_\psi = iq\psi, \qquad a_{\psi^*} = -iq\psi, \qquad b_\psi=b_{\psi^*} a_{A_\mu} = 0, \qquad b_{A_\mu}^\nu = \delta_\mu^\nu .
</math>
On en déduit que dans le cas de cette densité de Lagrangien on a la relation
<math display="block">[\psi]iq\psi + [\psi^*](-iq\psi^*) = \partial_\mu \left([A_\nu]\delta_\nu^\mu\right) = \partial_\mu[A_\mu].
</math>
On voit alors ici que si les équations du mouvement sont satisfaites pour les deux champs de masse <math>\psi
</math> et <math>\psi^*
</math> on a alors
<math display="block">\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\mu}- \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\nu A_\mu)}\right) = 0
</math>
or sachant que l'on a <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu}=0
</math> et <math>\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\nu A_\mu)} = F^{\mu \nu}
</math> on en déduit qu'ici le courant <math>J^\mu = \partial_\nu F^{\mu \nu}
</math> est conservé. Cela implique notamment que <math>F^{\mu \nu}
</math> soit complètement antisymétrique, et donc construit à partir de <math>\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu
</math>.
De même si à l'inverse on impose que les équations de l'électromagnétisme soient satisfaites c'est-à-dire <math>[A_\mu] = 0
</math> on obtient l'équation de conservation du quadri courant électrique usuel
<math display="block">\partial_\mu j^\mu = 0, \qquad j^\mu = iq\left(\psi^* (\partial^\mu + iqA^\mu) \psi - \psi (\partial^\mu + iqA^\mu)\psi^* \right).
</math>
Symétries internes
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
- Amaury Mouchet, L'Élégante Efficacité des symétries, Modèle:Chap., Dunod, 2013 Modèle:ISBN Modèle:Nombre.
- Modèle:Article, Modèle:Arxiv
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lien, Modèle:Lang, 2003. Modèle:Arxiv
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} G. Sardanashvily, Modèle:Langue, 2003. Modèle:Arxiv
- Modèle:Ouvrage.
- Modèle:Article.
Article original
Dictionnaires et encyclopédies
Articles connexes
- Calcul des variations
- Modèle:Lien
- Mécanique lagrangienne
- Mécanique hamiltonienne
- Action (physique)
- Principe de moindre action
- Électromagnétisme
- Mécanique quantique
- Théorie quantique des champs
- Théorème de Noether (mathématiques)
