Soustraction
La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la différence.
- Soustraire signifie diminuer en comptant.
- Soustraire b de a (calculer a − b) c'est trouver le nombre qui complèterait b pour donner a, c'est-à-dire le nombre d tel que b + d = a
Le signe de soustraction est le symbole « − ». Par exemple : on lit 3 − 2 = 1 comme « trois moins deux font un ».
Les noms des différents termes de la formule
- c − b = a
sont diminuende (c) − diminuteur (b) = différence (a).
Définition générale
Soit (G, +) un groupe abélien (ou commutatif). On définit une nouvelle loi de composition interne dans G, appelée « soustraction » et notée « − » par : Modèle:Retrait où <math>-y</math> est l'opposé de <math>y</math>.
La soustraction est
- anticommutative: pour tout Modèle:Math et tout Modèle:Math, Modèle:Math
- n'est pas associative
- possède un élément neutre uniquement à droite : pour tout Modèle:Math, Modèle:Math, mais en général Modèle:Math
- Tous les éléments du groupe sont involutifs : pour tout Modèle:Math, Modèle:Math .
Le défaut de cette définition est d'utiliser le même signe, à savoir −,
- pour l'opposé <math>-y</math> de <math>y</math> et
- pour l'opération binaire <math>x - y</math>
Cas particulier des nombres
Ici nous travaillons dans (ℤ, +) des nombres entiers relatifs.
Formellement, la soustraction est une loi de composition interne sur un ensemble, notée − à condition toutefois que la soustraction soit toujours définie (ce qui n'est, par exemple, pas le cas dans l'ensemble ℕ des entiers naturels). Cette loi de composition interne (quand elle existe) n'est cependant pas très intéressante car
- elle n'est pas commutative. En effet a − b et b − a sont en général différents
- elle n'est pas associative. En effet (a − b) − c et a − (b − c) sont en général différents
- elle ne possède pas d'élément neutre. En effet, le seul élément neutre possible serait 0 et l'on a
- a − 0 = a, mais en général
- 0 − a est différent de a.
C'est la raison pour laquelle on préfère considérer une soustraction comme l'ajout (somme) de l'opposé, à condition évidemment que cet opposé existe (ce n'est pas toujours le cas dans ℕ).
- L'opposé de a est le nombre noté (−a) qui, ajouté à a, donne 0 : a + (−a) = 0
- a − b peut alors s'écrire a + (−b)
