Point fixe
Modèle:Voir homonyme En mathématiques, pour une application Modèle:Mvar d'un ensemble Modèle:Mvar dans lui-même, un élément Modèle:Mvar de Modèle:Mvar est un point fixe de Modèle:Mvar si Modèle:Math.
Exemples :
- dans le plan, la symétrie par rapport à un point Modèle:Mvar admet un unique point fixe : Modèle:Mvar ;
- l'application inverse (définie sur l'ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : –1 et 1, solutions de l'équation <math>\frac1{x}=x</math> équivalente à l'équation <math>x^2 = 1</math>.
Graphiquement, les points fixes d'une fonction Modèle:Mvar (d'une variable réelle, à valeurs réelles) sont les points d'intersection de la droite d'équation Modèle:Mvar avec la courbe d'équation Modèle:Math.
Toutes les fonctions n'ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction Modèle:Math n'en possède pas, car il n'existe aucun nombre réel Modèle:Mvar égal à Modèle:Math.
Pour une fonction Modèle:Mvar définie sur Modèle:Mvar et à valeurs dans <math>\mathcal{P}(E)</math>, un point fixe est un élément Modèle:Mvar de Modèle:Mvar tel que <math>x \in f(x)</math>, comme dans le théorème du point fixe de Kakutani.
Point fixe et suites récurrentes
On considère une fonction continue Modèle:Math et Modèle:Math une suite récurrente définie par sa valeur initiale Modèle:Math et par la relation de récurrence Modèle:Math. Si Modèle:Math converge vers un élément Modèle:Mvar de Modèle:Mvar<ref>Cette hypothèse que la limite de la suite appartient au domaine de définition de la fonction est indispensable : Modèle:Lien web.</ref>, la limite Modèle:Mvar est nécessairement un point fixe de Modèle:Mvar.
Une telle suite ne converge pas forcément, même si Modèle:Mvar possède un point fixe.
Point fixe attractif
Un point fixe attractif d'une application Modèle:Mvar est un point fixe Modèle:Math de Modèle:Mvar tel qu'il existe un voisinage V de Modèle:Math sur lequel la suite de nombres réels
(pour tout Modèle:Mvar dans le voisinage V) converge vers Modèle:Math.
Si la fonction Modèle:Mvar possède une dérivée Modèle:Mvar continue et Modèle:Math alors le point fixe Modèle:Math est attractif. La démonstration est basée sur le théorème du point fixe de Banach.
Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe Modèle:Math, qui est attractif car Modèle:Math (voir le nombre de Dottie).
Cependant, tous les points fixes d'une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle Modèle:Math possède un unique point fixe en 0, qui n'est pas attractif.
Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique d'attracteur.
Théorèmes du point fixe
Il existe plusieurs théorèmes permettant de déterminer qu'une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe. Le plus connu est le suivant :
Plus précisément, ce théorème assure que toute suite de la forme Modèle:Math converge vers ce point fixe Modèle:Mvar et que Modèle:Math, ce qui majore la vitesse de convergence de la suite.
Utilisation en automatique
En automatique, un système de régulation contrôle une valeur ou propriété de telle façon qu'elle tende à converger vers un point fixe nommé consigne, défini par l'opérateur ou une autre partie du système. On parle par exemple de régulation de position, régulation de température, régulation de vitesse…
