Identité de Brahmagupta

En mathématiques, l'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne ; Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec vivant probablement au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle avant J.C., en établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne élabora par la suite un algorithme appelé « méthode chakravala », dont un ingrédient de base est l'identité de Brahmagupta.

Identités

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) , ou « identité de Fibonacci » montre que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Plus précisément :

<math>\forall a,b,c,d\in A\quad(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2</math>,

où A désigne un anneau commutatif.

L'usage le plus fréquent est celui où A est l'anneau des entiers relatifs ou le corps des rationnels, des réels ou des complexes.

Sous sa forme générale, l'identité de Brahmagupta est

<math>(a^2-nb^2)(c^2-nd^2)=(ac+nbd)^2-n\left(ad+bc\right)^2.</math>

Elle se déduit de celle de Diophante en multipliant <math>b</math> et <math>d</math> par <math>\sqrt{-n}</math> (c.-à-d. par <math>e</math>, dans l'anneau quotient générique <math>\Z\left[a,b,c,d,n,e\right]/(e^2+n)</math>). Inversement, l'identité de Diophante est le cas particulier <math>n=-1</math> de celle de Brahmagupta.

On obtient des formes équivalentes de ces deux identités en remplaçant <math>b</math> par son opposé :

<math>\begin{align}(a^2+b^2)(c^2+d^2)&=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2,\\ (a^2-nb^2)(c^2-nd^2)&=(ac-nbd)^2-n(ad-bc)^2.\end{align}</math>

Remarques

• L'identité de Brahmagupta exprime la multiplicativité de la norme relative à une extension quadratique.
• Un cas particulier est la multiplicativité du module d'un nombre complexe : si u = a + ib et v = c + id avec a, b, c, d réels, l'identité de Diophante exprime que |u|² |v|² = |uv|².
• Posant dans l'espace euclidien <math>\mathbb{R}^2</math> <math>u=(a,b),v=(d,c)</math>, l'identité de Diophante exprime que <math>\|u\|^2\|v\|^2=(\det (u,v))^2+(u.v)^2</math>.
• L'identité des quatre carrés d'Euler peut être vue comme une généralisation, utilisant la norme des quaternions.
• Il existe une identité similaire en huit carrés, dérivée des nombres de Cayley et liée à la Modèle:Lien.