Polynôme de Bernstein
Modèle:Confusion Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste<ref>Modèle:Article</ref>,<ref>Modèle:Article</ref>,<ref>Modèle:Lien web</ref>du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.
Description
Pour un degré Modèle:Math, il y a Modèle:Math polynômes de Bernstein Modèle:Math définis, sur l'intervalle Modèle:Math, par
- <math>B_i^m(u) = \binom{m}{i} u^i ( 1-u)^{m-i}</math>,
où les <math>\binom{m}{i}</math> sont les coefficients binomiaux.
Les Modèle:Math polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus Modèle:Mvar.
Premiers polynômes
Les polynômes de Bernstein pour les premiers ordres sont :
- n = 0
- <math>B_0^0(x) = 1</math>
- n = 1
- <math>B_0^1(x) = 1-x,\ B_1^1(x) = x</math>
- n = 2
- <math>B_0^2(x) = (1-x)^2,\ B_1^2(x) = 2x(1-x),\ B_2^2(x) = x^2</math>
- n = 3
- <math>B_0^3(x) = (1-x)^3,\ B_1^3(x) = 3x(1-x)^2,\ B_2^3(x) = 3x^2(1-x),\ B_3^3(x) = x^3</math>
Propriétés
Ces polynômes présentent plusieurs propriétés importantes : <math>\forall u \in [0,1]</math>
- <math>\qquad \sum_{i=0}^m B_i^m(u)=1,</math>
- positivité :
- <math>\forall i\in\{0,\ldots,m\}\quad B_i^m(u)\ge0,</math>
- symétrie :
- <math>\forall i\in\{0,\ldots,m\}\quad B_i^m(u)=B_{m-i}^m(1-u),</math>
- valeurs aux bords :
- <math>\forall i\in\{0,\ldots,m\}\quad B_i^m(0)=\delta_{i,0}, B_i^m(1)=\delta_{i,m}</math>
- avec Modèle:Mvar le symbole de Kronecker
- multiplicité des racines :
- pour Modèle:Mvar, 0 est une racine de multiplicité Modèle:Mvar et 1, une racine de multiplicité Modèle:Mvar.
- formules de récurrence : pour Modèle:Math,
- <math>
B_i^m(u) = \begin{cases} (1-u)B_i^{m-1}(u)&\text{si }i=0\\ (1-u)B_i^{m-1}(u) + u B_{i-1}^{m-1}(u)&\forall i \in \{1, \dots, m-1\}\\ uB_{i-1}^{m-1}(u)&\text{si }i=m. \end{cases} </math>.
- <math>B_i^m\prime(u) = m \left(B_{i-1}^{m-1}(u)-B_i^{m-1}(u) \right).</math>
- décomposition sur la base canonique :
- <math>B_i^m(u) = \binom{m}{i}\sum_{k=0}^{m-i} \binom{m-i}{k}(-1)^k x^{i+k} = \sum_{l=i}^m \binom{m}{l}\binom{l}{i}(-1)^{l-i}x^l</math>
- et inversement
- <math>u^p=\sum_{k=0}^{m-p}\binom{m-p}{k}\frac{1}{\binom{m}{k}}B_{m-k}^m(u)
=\frac{1}{\binom{m}{p}} \sum_{s=p}^m \binom{s}{p}B_{s}^m(u). </math>
Lien avec la loi binomiale
D'un point de vue probabiliste, pour tout Modèle:Math, Modèle:Math est la probabilité <math>\mathbb{P}(X=i)</math>, où Modèle:Mvar est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre Modèle:Math. C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.
Notes et références
<references />
Liens externes
Voir aussi
- Les courbes de Bézier sont construites à l'aide des polynômes de Bernstein
- Algorithme de De Casteljau, permet de calculer efficacement les polynômes de Bernstein
- Approximation de Bernstein, permet d'approcher uniformément des fonctions continues
