Nombre polygonal

En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en disposant d'une certaine manière des cailloux ou des pois.

Exemples : nombres triangulaires et nombres carrés

Par exemple, le nombre 10 peut être représenté par un triangle équilatéral ayant quatre pois sur chaque côté :

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Notations : Modèle:Math = Modèle:Math = 10. Modèle:Article détaillé Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré.

Au contraire : par exemple, le nombre 9 peut être représenté par un carré ayant trois pois sur chaque côté :

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Notations : Modèle:Math = 3² = 9. Modèle:Article détaillé Mais 9 ne peut pas être représenté par un triangle.

En outre : par exemple, le nombre 36 peut être représenté à la fois par un carré ayant six pois sur chaque côté et par un triangle ayant huit pois sur chaque côté :

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Notations : Modèle:Math = 6² = 36 = Modèle:Math = Modèle:Math. Modèle:Article détaillé

Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomons

La méthode pour passer d'un polygone au suivant consiste à prolonger d'un seul point chacun des deux côtés adjacents à un seul sommet, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes ci-dessous, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 3, par convention, posons Modèle:Math = 0 ; pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1, le nombre de points rouges du Modèle:Mvar-ième Modèle:Mvar-gone est :

C'est le gnomon associé à Modèle:Math, et faisant passer à Modèle:Mvar.
Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 3, (Modèle:Mvar – Modèle:Math)_{Modèle:Mvar≥1} est donc la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison Modèle:Mvar – 2 et pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 0, le Modèle:Mvar-ième nombre Modèle:Mvar-gonal est la [[Suite arithmétique#Somme des termes|somme des Modèle:Mvar premiers termes de cette suite]] :

<math>P_{k,n} = \sum_{1\leqslant i\leqslant n}\left(1+(k-2)(i-1)\right) ={n~\big((k-2)n-(k-4)\big) \over 2}</math><ref>Modèle:MathWorld.</ref>.

Exemples

Nombres triangulaires :
Modèle:Math = Modèle:Math = 1		Modèle:Math = Modèle:Math = 3		Modèle:Math = Modèle:Math = 6		Modèle:Math = Modèle:Math = 10
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Nombres carrés :
Modèle:Math = 1² = 1		Modèle:Math = 2² = 4		Modèle:Math = 3² = 9		Modèle:Math = 4² = 16
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Nombres hexagonaux :
Modèle:Math = 1		Modèle:Math = 6		Modèle:Math = 15		Modèle:Math = 28
*		** * * **		* * * * * ** * ***		** * * ** * * * * * * ** * * *** * ****

Relations avec les nombres triangulaires

Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 0, le Modèle:Mvar-ième nombre triangulaire est

<math>T_n:=P_{3,n} = \frac{n(n+1)}2</math>.

De l'expression de Modèle:Mvar Modèle:Supra, on déduit que pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 1 :

pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 3, <math>P_{k,n} = n + (k-2)T_{n-1}</math> ;
Modèle:Pertinence contestée

Nombre à la fois k-gonal et k-gonal centré

Modèle:Pertinence section Pour tout entier Modèle:Mvar ≥ 3, les premier et (Modèle:Mvar + 1)-ième nombres Modèle:Mvar-gonaux sont aussi [[Nombre polygonal centré|Modèle:Mvar-gonaux centrés]] :